高等数学讲义

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1.

0 () (0)()2() ()a

a

a

f x a f x dx f x dx f x ->⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰

⎰当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。

2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1

求1

51

[()ln(.x x I x x e e x dx --=

+-+⎰

解 1()x x

f x e e -=-是奇函数，

∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇

函数，

∵

222()ln(f x x -=-+

=

2ln1ln(()x f x =-=-

因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1

1

6

61

2027

I x dx x dx -=

+==

⎰

⎰。

例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是

(A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。

解 (B)不成立，反例3

2

(),()13

x f x x F x ==+

(C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2

()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。

证明 0

()(0)(),x

F x F f t dt f =+

⎰

为奇函数，

00

()(0)()(0)()()

(0)()()

x

x

x

F x F f t dt F f u d u F f u du F x --=+=+--=+=⎰

⎰⎰

所以，()F x 为偶函数。

例 3 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当

a x

b <<时，下列结论成立的是

(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a >

解 ∵2

()1[()()()()]0()()

f x f x

g x f x g x g x g x '⎡⎤''=-<⎢⎥⎣⎦，∴()

()f x g x 单调减少 于是x

()()

()()

f x f b

g x g b >

，故(A)成立。 二、有关复合函数

1. 已知()f x ，()g x 求[()]f g x

2. 已知[()]f g x 和()g x ，求()f x

例1、已知12() ()() f x x a f x f x x a ≤⎧=⎨>⎩和12

() ()() g x x b

g x g x x b ≤⎧=⎨>⎩

求[()]f g x

解：11112221122

2[()] ()[()] ()[()][()] ()[()] ()f g x x b g x a f g x x b g x a f g x f g x x b g x a f g x x b g x a ≤≤⎧⎪

>≤⎪=⎨≤>⎪⎪>>⎩当，当，

当，

当，

例2、已知()x

x

f e xe -'=，且(1)0f =，求()f x 解：令x e t =，则ln x t =，因此

ln ()()x t

f e f t t

''==

于是，1

ln ()(1)x

t f x f dt t

-=

⎰

2121

ln 21

ln 2

x

t x == §1.2 极限

一、有关无穷小量

1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；

2.等价无穷小代换；

3.无穷小的阶的比较。

例1 求x

x x x 30

sin sin lim -→

解 原式6

1

3cos 1lim sin lim 2030=-=-=→→x x x x x x x 例2 设当x →0时(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而

x sin x n 是比

()

12

-x e

高阶的无穷小，则正整数n 等于

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解：

()42

2

1)1ln(cos 1x x x →+- 2

11sin 2

x

e x x x x n n →-→+

由题意可知，4>n+1>2， ∴n+1=3, n=2 选(B) 例3 设dt t x dt t

t

x t

x

x 1

50

sin 0)1()(,sin )(⎰

⎰+==

βα，则当x →0时，

)(x α是)(x β的 ( )

(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小

解 ()()()()e

x

x x x

x x x x x

x x x 5cos )

sin 1(555sin lim ''lim lim sin 10

00=⋅+⋅==→→→βαβα