matlab程序的设计矩阵及其运算
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的原因就是它的矩阵函数功能的扩展。矩阵分解在数值 分析和科学研究中有着重要的地位。常用的分解方法有 以下几种：三角分解（lu）、正交分解（qr）、特征值 分解（eig）和奇异值分解（svd）。我们这里主要介绍特 征值分解。
矩阵及其运算
1、特征值分解 由以前学过的知识，我们已经了解到在MATLAB是
以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵 X的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵。
矩阵及其运算
eigs函数使用方法同eig函数相同，eigs函数使用的是迭 代法来求解矩阵的特征值和特征向量。
例九 求矩阵A和X的特征值和特征向量。
矩阵及其运算
六 矩阵的秩 矩阵可以经过初等行或列变换，将其转换为行阶梯行
第二节 矩阵及其运算
矩阵及其运算
MATLAB语言是由早期专门用于矩阵运算的计算机 语言发展而来的，其名称就是“矩阵实验室”的缩写。 MATLAB语言最基本、最重要的功能就是进行实数矩阵 或是复数矩阵的运算，其所有的数值功能都以矩阵为基 本单元来实现。矩阵是MATLAB的重要组成部分，将对 矩阵及其运算进行详细介绍。
矩阵及其运算
一 矩阵的生成 (1)命令窗口直接输入； (2)通过语句和函数产生矩阵； (3)在M文件中建立； (4)从外部的数据文件中导入矩阵 最常用的是在命令窗口中直接输入矩阵。 方式：把矩阵的元素直接排列到方括号中，每行内的元 素用空格或者逗号相隔，行与行之间的内容用分号相 隔。
矩阵及其运算
矩阵及其运算
三 矩阵的特征参数运算 一 矩阵的乘方运算和开方运算
在MATLAB7中，可以使用Ap来计算A的p次方，使用 函数sqrtm来对矩阵进行开方运算。如果有X*X=A,则有
sqrtm（A）=X。
例五 求矩阵的乘方和开方运算。
矩阵及其运算
由此可见，矩阵的开方运算和乘方运算互为逆运算。 二 矩阵的指数和对数运算 矩阵的指数运算用expm函数来实现；对数运算用
的元素数不同时，返回错误。
矩阵及其运算
reshape（X,[M,N,p,…]）：该命令与上个 reshape（X,M,N,p,…）命令的效果一致。
例十一：
矩阵及其运算
2 矩阵的变向 矩阵的变向包括对矩阵进行旋转、上下翻转、左右翻
转以及对指定的维进行翻转。分别由函数rot90、 flipud、fliplr和flipdim来实现。具体用法如下： rot90（A）：命令返回矩阵A按逆时钟方向旋转90度 所得的矩阵。 rot90（A，K）：命令返回矩阵A按逆时针方向旋转 90×K度所得的矩阵。（K=±1, ±2,…）。 flipud（X）：命令将矩阵X上下翻转。
(2)矩阵与矩阵的乘法 在MATLAB7中，矩阵的乘法使用的是运算符“*”。 由 数学知识，我们知道们只有当第一个矩阵（左矩阵）的 列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵的 乘积才有意义。 例四 矩阵的乘法运算。
矩阵及其运算
由上例可以看出，矩阵A为4*4阶，矩阵D为3*3 阶，两者的阶数不符合乘法的要求，因此报错。
矩阵及其运算
2 矩阵之间的四则运算 (1)矩阵与矩阵的加法（减法） 矩阵与矩阵的加法（减法）即是指矩阵各元素之间的 加法（减法）运算。矩阵必须具有相同的阶数时才可以 进行加法（减法）运算。 例三如下：
矩阵及其运算
由上例可以看出，矩阵m3为3*3的，而m1为4*4 的。因而如果求m5＝m3＋m1，系统就会报错。
矩阵及其运算
五 矩阵的特征值运算 在矩阵中，特征值占据着重要的角色，在MATLAB
中，可以利用eig、eigs两个函数来进行矩阵的特征值运
算，其使用的格式和注意事项如下：
E=eig（X）命令生成由矩阵X 的特征值所组成的一
个列向量。其中X必须是方阵。
[V,D]=eig（X）命令生成两个矩阵V和D，其中V是
logm函数来实现。两者互为逆运算。 例六 矩阵的指数和对数运算
矩阵及其运算
三 矩阵的逆运算 矩阵求逆在矩阵运算中，是非常重要的运算。矩阵可
逆的充分必要条件就是矩阵的行列式不为零。在 MATLAB中，所有复杂的问题都化为一个函数inv。 例七 求矩阵A的逆。 四 矩阵的行列式运算
当矩阵的行和列相同时，可以进行矩阵的行列式操 作。MATLAB提供了函数det来求行列式的值。 例八 求矩阵A的及其其逆矩阵B的行列式的值。
二 矩阵的基本数值运算 矩阵的基本运算通常包含有矩阵与常数的四则运算、
矩阵与矩阵之间的的四则运算以及矩阵的逆运算等。本 节将要对矩阵的这些运算作简要的介绍。
1 矩阵与常数的四则运算 矩阵与常数的四则运算即是指矩阵各元素与常数之间 的四则运算。在矩阵与常数进行除法运算时，常数只能 作为除数。例二如下：
例十如下：
矩阵及其运算
五 矩阵的一些特殊处理函数 1 矩阵的变维 在MATLAB中，使用reshape函数对矩阵进行变维操
作，其使用格式如下：
reshape（X,M,N）：该命令将矩阵X的所有元素分配 到一个M×N的新矩阵，当矩阵X的元素不是M×N时，
将返回一个错误。
reshape（X,M,N,P,…）：该命令返回由矩阵X的元素 组成的M×N×P×…多维矩阵，如果M×N×P×…与X
应用函数eig来解决的。但是应用到特征值分解的部分， 需要在形式上作一定的变化，其使用的格式如下：
[V,D]＝eig（X）命令生成两个矩阵V和D，其中V是以
矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵X 的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵，使得满足
关系式X*V=V*D。
矩阵及其运算
[V,D]＝eig（A,B）命令对矩阵A、B做广义特征值分解， 使得满足关系式A*V=B*V*D。
矩阵，而行阶梯行矩阵所包含非零行的行数是一定的， 这个确定的非零行的行数就是矩阵的秩。在MATLAB 中，矩阵的秩可以通过函数rank来求得。 七 矩阵的迹
矩阵的迹是指矩阵主对角线上所有元素的和，也是矩 阵各特征值，矩阵的迹可以通过trace函数求得。
矩阵及其运算
四 矩阵的分解运算 Байду номын сангаасATLAB的数学处理能力之所以强大，很大一部分
(3) 矩阵与矩阵的除法 在MATLAB7中，矩阵的除法有左除和右除两种，分
别以符号“\”和“/”表示。 但是从MATLAB6以来，矩 阵
的左除和右除的区别在逐渐减少。斜杆上面的数据除以 斜杆下面的数据。
三 矩阵的特征参数运算 关于矩阵的运算，主要包括：矩阵的特征值运算、行 列式运算、矩阵的范数运算和矩阵的条件运算等。
矩阵及其运算
1、特征值分解 由以前学过的知识，我们已经了解到在MATLAB是
以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵 X的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵。
矩阵及其运算
eigs函数使用方法同eig函数相同，eigs函数使用的是迭 代法来求解矩阵的特征值和特征向量。
例九 求矩阵A和X的特征值和特征向量。
矩阵及其运算
六 矩阵的秩 矩阵可以经过初等行或列变换，将其转换为行阶梯行
第二节 矩阵及其运算
矩阵及其运算
MATLAB语言是由早期专门用于矩阵运算的计算机 语言发展而来的，其名称就是“矩阵实验室”的缩写。 MATLAB语言最基本、最重要的功能就是进行实数矩阵 或是复数矩阵的运算，其所有的数值功能都以矩阵为基 本单元来实现。矩阵是MATLAB的重要组成部分，将对 矩阵及其运算进行详细介绍。
矩阵及其运算
一 矩阵的生成 (1)命令窗口直接输入； (2)通过语句和函数产生矩阵； (3)在M文件中建立； (4)从外部的数据文件中导入矩阵 最常用的是在命令窗口中直接输入矩阵。 方式：把矩阵的元素直接排列到方括号中，每行内的元 素用空格或者逗号相隔，行与行之间的内容用分号相 隔。
矩阵及其运算
矩阵及其运算
三 矩阵的特征参数运算 一 矩阵的乘方运算和开方运算
在MATLAB7中，可以使用Ap来计算A的p次方，使用 函数sqrtm来对矩阵进行开方运算。如果有X*X=A,则有
sqrtm（A）=X。
例五 求矩阵的乘方和开方运算。
矩阵及其运算
由此可见，矩阵的开方运算和乘方运算互为逆运算。 二 矩阵的指数和对数运算 矩阵的指数运算用expm函数来实现；对数运算用
的元素数不同时，返回错误。
矩阵及其运算
reshape（X,[M,N,p,…]）：该命令与上个 reshape（X,M,N,p,…）命令的效果一致。
例十一：
矩阵及其运算
2 矩阵的变向 矩阵的变向包括对矩阵进行旋转、上下翻转、左右翻
转以及对指定的维进行翻转。分别由函数rot90、 flipud、fliplr和flipdim来实现。具体用法如下： rot90（A）：命令返回矩阵A按逆时钟方向旋转90度 所得的矩阵。 rot90（A，K）：命令返回矩阵A按逆时针方向旋转 90×K度所得的矩阵。（K=±1, ±2,…）。 flipud（X）：命令将矩阵X上下翻转。
(2)矩阵与矩阵的乘法 在MATLAB7中，矩阵的乘法使用的是运算符“*”。 由 数学知识，我们知道们只有当第一个矩阵（左矩阵）的 列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵的 乘积才有意义。 例四 矩阵的乘法运算。
矩阵及其运算
由上例可以看出，矩阵A为4*4阶，矩阵D为3*3 阶，两者的阶数不符合乘法的要求，因此报错。
矩阵及其运算
2 矩阵之间的四则运算 (1)矩阵与矩阵的加法（减法） 矩阵与矩阵的加法（减法）即是指矩阵各元素之间的 加法（减法）运算。矩阵必须具有相同的阶数时才可以 进行加法（减法）运算。 例三如下：
矩阵及其运算
由上例可以看出，矩阵m3为3*3的，而m1为4*4 的。因而如果求m5＝m3＋m1，系统就会报错。
矩阵及其运算
五 矩阵的特征值运算 在矩阵中，特征值占据着重要的角色，在MATLAB
中，可以利用eig、eigs两个函数来进行矩阵的特征值运
算，其使用的格式和注意事项如下：
E=eig（X）命令生成由矩阵X 的特征值所组成的一
个列向量。其中X必须是方阵。
[V,D]=eig（X）命令生成两个矩阵V和D，其中V是
logm函数来实现。两者互为逆运算。 例六 矩阵的指数和对数运算
矩阵及其运算
三 矩阵的逆运算 矩阵求逆在矩阵运算中，是非常重要的运算。矩阵可
逆的充分必要条件就是矩阵的行列式不为零。在 MATLAB中，所有复杂的问题都化为一个函数inv。 例七 求矩阵A的逆。 四 矩阵的行列式运算
当矩阵的行和列相同时，可以进行矩阵的行列式操 作。MATLAB提供了函数det来求行列式的值。 例八 求矩阵A的及其其逆矩阵B的行列式的值。
二 矩阵的基本数值运算 矩阵的基本运算通常包含有矩阵与常数的四则运算、
矩阵与矩阵之间的的四则运算以及矩阵的逆运算等。本 节将要对矩阵的这些运算作简要的介绍。
1 矩阵与常数的四则运算 矩阵与常数的四则运算即是指矩阵各元素与常数之间 的四则运算。在矩阵与常数进行除法运算时，常数只能 作为除数。例二如下：
例十如下：
矩阵及其运算
五 矩阵的一些特殊处理函数 1 矩阵的变维 在MATLAB中，使用reshape函数对矩阵进行变维操
作，其使用格式如下：
reshape（X,M,N）：该命令将矩阵X的所有元素分配 到一个M×N的新矩阵，当矩阵X的元素不是M×N时，
将返回一个错误。
reshape（X,M,N,P,…）：该命令返回由矩阵X的元素 组成的M×N×P×…多维矩阵，如果M×N×P×…与X
应用函数eig来解决的。但是应用到特征值分解的部分， 需要在形式上作一定的变化，其使用的格式如下：
[V,D]＝eig（X）命令生成两个矩阵V和D，其中V是以
矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵X 的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵，使得满足
关系式X*V=V*D。
矩阵及其运算
[V,D]＝eig（A,B）命令对矩阵A、B做广义特征值分解， 使得满足关系式A*V=B*V*D。
矩阵，而行阶梯行矩阵所包含非零行的行数是一定的， 这个确定的非零行的行数就是矩阵的秩。在MATLAB 中，矩阵的秩可以通过函数rank来求得。 七 矩阵的迹
矩阵的迹是指矩阵主对角线上所有元素的和，也是矩 阵各特征值，矩阵的迹可以通过trace函数求得。
矩阵及其运算
四 矩阵的分解运算 Байду номын сангаасATLAB的数学处理能力之所以强大，很大一部分
(3) 矩阵与矩阵的除法 在MATLAB7中，矩阵的除法有左除和右除两种，分
别以符号“\”和“/”表示。 但是从MATLAB6以来，矩 阵
的左除和右除的区别在逐渐减少。斜杆上面的数据除以 斜杆下面的数据。
三 矩阵的特征参数运算 关于矩阵的运算，主要包括：矩阵的特征值运算、行 列式运算、矩阵的范数运算和矩阵的条件运算等。