走向高考

走向高考第2章 第六讲

时间：60分钟 满分：100分

一、选择题(8×5＝40分)

1．如下图所示为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则|OA |·|OB |等于 ( )

A. c a B ．－c a

C ．±c a

D ．无法确定 答案：B

解析：|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a

(∵a <0，c >0)． 2．(2009·武汉四月调研)如果函数f (x )＝x 2－bx ＋2在闭区间[－1,2]上有反函数，那么实

数b 的取值范围是 ( )

A ．(－∞，2]

B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)

C ．[－2，＋∞)

D ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)

答案：D

解析：∵f (x )＝x 2－bx ＋2的对称轴为x ＝b 2，∴b 2≤－1或b 2

≥2，即b ≤－2或b ≥4.故选D.

3．(2009·河南郑州一中)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋6满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．与a 、b 值有关

答案：B

解析：由f (－1)＝f (3)知，对称轴x ＝－b 2a

＝1，∴b ＝－2a . ∴f (2)＝4a ＋2b ＋6＝6，故选B.

4．若f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－2)上是 ( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．部分为增函数，部分为减函数

D ．无法确定增减性

答案：A

解析：由f (x )＝f (－x )，可得m ＝0，

所以f (x )＝－x 2＋3，由此知f (x )在(－5，－2)上单调递增．选A.

5．设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋bx ＋c ， (x ≤0)，2， (x ＞0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：C

解析：由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，得b ＝4，c ＝2，

故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋4x ＋2，(x ≤0)，2， (x ＞0). ∴f (x )＝x 有3个解．

6．(热点预测题)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m

的取值范围是 ( )

A ．[1，＋∞)

B ．[0,2]

C ．[1,2]

D ．(－∞，2]

答案：C

解析：因为二次函数的解析式已确定，而区间的左端点也确定，

故要使函数在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，画出草图来观察(如

图)．

∵f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2.

∴f (0)＝3，f (1)＝2，且f (2)＝3.

可知只有当m ∈[1,2]时，才能满足题目的要求，故应选C.

7．(2009·华南师大附中模拟)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1(a ≠0)的图象如图，

则a 的值为 ( )

A ．1

B ．－1 C.－1－52

D.－1＋52 答案：B 解析：前两个图象的对称轴－b 2a ＝0，b ＝0，不合题意；由后两个图象知－b 2a

>0，且f (0)＝a 2－1＝0，求得a ＝－1，故选B.

8．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )，并且m 、n 是方程f (x )＝0的两根，则实数a 、b 、m 、n

的大小关系可能是 ( )

A ．m

B ．a

C ．a

D ．m

答案：A

解析：方程f (x )＝0，m 、n 可看作f (x )与x 轴交点的横坐标，a 、b 可看作g (x )＝－(x －

a )(x －

b )与x 轴交点的横坐标．

所以a 、b 、m 、n 可以排列成m

二、填空题(4×5＝20分)

9．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集

合是________． 答案：{－3,0,1}

解题思路：当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点(14

，0)． 当m ≠1时，依题意得△＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，

即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.

∴m 的取值集合为{－3,0,1}．

10．(2009·华南师大附中期末测试)函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，

在区间(－∞，－2]上是减函数，则f (1)＝__________.

答案：25

解析：由题意得m 8

＝－2，m ＝－16，f (x )＝4x 2＋16x ＋5，则f (1)＝25，故填25. 11．(2009·河北石家庄二中期中)若函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b ，x ∈[a ，b ]的图象关于直线

x ＝1对称，则f (x )的最大值为________．

答案：30

解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＝1a ＋b ＝2

， 解得a ＝－4，b ＝6.

∴f (x )＝x 2－2x ＋6，x ∈[－4,6]，

x ＝－4或x ＝6时，f (x )max ＝30.

12．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案：1

解析：y ＝|x 2－2x －t |＝|(x －1)2－1－t |.

①当－1－t >0，即t <－1时，y ＝(x －1)2－1－t ，

即x ＝3时，y 取最大值，y max ＝3－t ＝2，即t ＝1(和t <－1矛盾)不符合题意； ②当－1－t ≤0，即t ≥－1时，结合函数y ＝|x 2－2x －t |的图象，

若x ＝1时，y 取最大值，y max ＝|－1－t |＝2，又由t ≥－1可得t ＝1，

若x ＝3时，y 取最大值，y max ＝|3－t |＝2，可得t ＝1或t ＝5，易验证t ＝5时不符合题意． 综上所述，t ＝1.

三、解答题(4×10＝40分)

13．(2009·天津南开中学质检)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．

(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根，求f (x )的解析式．

(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．

命题意图：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数的关系，考查运用数学知识解决问题的能力．

解析：(1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，

∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0.因而

f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①

由方程f (x )＋6a ＝0得

ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②

因为方程②有两个相等的根，

所以△＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，

即5a 2－4a －1＝0.

解得a ＝1或a ＝－15

. 由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①得f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35

. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a (x －1＋2a a )2－a 2＋4a ＋1a

及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a

. 由⎩⎪⎨⎪⎧

－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，

解得a <－2－3或－2＋3

故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是

(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．

14．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解析：令f (x )的最小值为g (a )，则

(1)当－a 2＜－2，即a ＞4时