高中数学-柯西不等式与排序不等式

3.1 3.2 柯西不等式

1.二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

(0,0)2

a b

a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+

证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥

定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.

2

22||

c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+

22c d ac bd +≥+.

定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则

222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++

（当且仅当1212n n a a a

b b b ===时取等号，假设0i b ≠）

变式：22221

2121

(

)n n a a a a a a n

++

≥++⋅⋅⋅+.

定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.

等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）

练习：已知a 、b 、c 、d

证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式：

① 定理：设1122,,,x y x y R ∈

≥

变式：若112233,,,,,x y x y x y

R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

例1：求函数y =

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式

变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈

例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：11

2x y

+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

要点：2222

111111()()]

22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）

练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.

解答要点：（凑配法）2222222111

()(32)(32)131313

x y x y x y +=++≥+=.

讨论：其它方法 （数形结合法）

练习：已知a 、b R +∈，求证：11

()()4a b a b

++≥.

例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.

练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23

y z

x ++的最小值.

变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值.

变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.

例2：若a >b >c ，求证：c

a c

b b a -≥

-+-4

11. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c

-+=-+-+≥+=----

例3已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

证明：利用柯西不等式(

)

2

313131

2

22

2222222a b c

a a

b b

c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭

[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

()()2

333a b c a b c =++++ ()1a b c ++= 又因为 2

2

2

a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2

2

2

a b c ++得：

()()2223a b c a b c ++≤++

()

()()2

2

2

23

3

3

2

2

2

3a

b c

a b c a b c ++≤++•++故222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

例4 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，

≤

证明：由柯西不等式得，

=111

cz a b c

≤++记S 为ABC 的面积，则22

42abc abc

ax by cz S R R

++===

≤

=≤

故不等式成立。

练习：已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 2222

2365a b c d +++=试求a 的最值

解：由柯西不等式得，有(

)()2

222

111236236b c d

b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭

即()2

2

2

2

236b c d b c d ++≥++由条件可得， ()2

253a a -≥-

解得，12a ≤≤

==

时等号成立， 代入111,,36b c d ===时， max 2a = 21

1,,33

b c d ===时 min 1a =

3.3 排序不等式

排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数

组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有 1122a b a b ++···+n n a b (同序和)

1122a c a c ≥++·

··+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++·

··+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. 排序不等式的应用：

例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：

321222

111

12323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+

. 证明过程：

设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.

又222111

123n

>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得

33

2211

222222

2323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.

练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.

解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，

于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，

两式相加即得.