高三数学一轮总复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 理
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与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考 查数形结合与转化思想．
常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．
[题点全练] 角度一：斜率型最值问题 1．(2016·苏州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求 y－x 的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上
的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆
相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，解得b＝－2± 6 .所
以y－x的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y轴相切，则圆C的方程为________． 解析：由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为 (2，b)，因此有 2－12＋b－02 ＝2，解得b＝± 3 ， 从而圆C的方程为(x－2)2＋(y± 3)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
1＋D＋F＝0， 3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，
解得E＝－4 3 3， F＝1.
∴△ABC外接圆的圆心为
1，23
3
，故△ABC外接圆的
圆心到原点的距离为
答案：
21 3
12＋232 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般 方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．
2．(2016·徐州模拟)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点 (1,0)对称，则圆C的标准方程为________． 解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标 公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1. 答案：x2＋y2＝1
3．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A(1,0)，B(0， 3 )， C(2， 3 )，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离 为________．
第三节 圆的方程
1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： r 方程
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0)
圆心： －D2 ，－E2 ，
半径： 1 2
D2＋E2－4F
＝0，求xy的最大值和最小值．
当直线y＝kx与圆相切时(如图)， 斜解率：k原取方最程大可值化或为最(x小－值2)，2＋y2＝3， 此表 xy的时示几以|2何kk(－ 22＋意,00义1)|为＝是圆圆3心，上，一点3为与半原径点的连圆线．的斜率， 解得k＝± 3. 所所以以xy设的xy最＝大k，值即为y＝3k，x.最小值为－ 3.
2．确定圆心位置的3种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练 透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合， 充分运用圆的几何性质．
考点二 与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 . (2)若M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若M(x0，y0)在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
3．(教材习题改编)已知圆心为C的圆过点A(1,1)，B(2， －2)且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，则圆的标准方 程为________________________． 答案：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实 数 a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 即 a2＜1，故－1＜a＜1. 答案：(－1,1)
[小题体验] 1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是
________． 解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)
2．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的 方程是________． 解析：设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r＝|b|， ∴圆的方程为 x2＋(y－b)2＝b2. ∵点(3,1)在圆上， ∴9＋(1－b)2＝b2，解得 b＝5. ∴圆的方程为 x2＋y2－10y＝0. 答案：x2＋y2－10y＝0
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽 视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．
[小题纠偏] 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是
________． 解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜14或m＞1. 答案：m∈－∞，14∪(1，＋∞)
2．方程 x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0 表示的图形是半 径为 r(r>0)的圆，则该圆圆心位于第________象限． 解析：因为方程 x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0 表示的 图形是半径为 r 的圆，所以 a2＋(－2a)2－4(2a2＋3a) ＝－3a2－12a>0，即 a(a＋4)<0，所以－4<a<0.又该圆 圆心坐标为－a2，a，显然圆心位于第四象限． 答案：四
常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．
[题点全练] 角度一：斜率型最值问题 1．(2016·苏州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求 y－x 的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上
的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆
相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，解得b＝－2± 6 .所
以y－x的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y轴相切，则圆C的方程为________． 解析：由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为 (2，b)，因此有 2－12＋b－02 ＝2，解得b＝± 3 ， 从而圆C的方程为(x－2)2＋(y± 3)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
1＋D＋F＝0， 3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，
解得E＝－4 3 3， F＝1.
∴△ABC外接圆的圆心为
1，23
3
，故△ABC外接圆的
圆心到原点的距离为
答案：
21 3
12＋232 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般 方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．
2．(2016·徐州模拟)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点 (1,0)对称，则圆C的标准方程为________． 解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标 公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1. 答案：x2＋y2＝1
3．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A(1,0)，B(0， 3 )， C(2， 3 )，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离 为________．
第三节 圆的方程
1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： r 方程
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0)
圆心： －D2 ，－E2 ，
半径： 1 2
D2＋E2－4F
＝0，求xy的最大值和最小值．
当直线y＝kx与圆相切时(如图)， 斜解率：k原取方最程大可值化或为最(x小－值2)，2＋y2＝3， 此表 xy的时示几以|2何kk(－ 22＋意,00义1)|为＝是圆圆3心，上，一点3为与半原径点的连圆线．的斜率， 解得k＝± 3. 所所以以xy设的xy最＝大k，值即为y＝3k，x.最小值为－ 3.
2．确定圆心位置的3种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练 透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合， 充分运用圆的几何性质．
考点二 与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 . (2)若M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若M(x0，y0)在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
3．(教材习题改编)已知圆心为C的圆过点A(1,1)，B(2， －2)且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，则圆的标准方 程为________________________． 答案：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实 数 a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 即 a2＜1，故－1＜a＜1. 答案：(－1,1)
[小题体验] 1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是
________． 解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)
2．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的 方程是________． 解析：设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r＝|b|， ∴圆的方程为 x2＋(y－b)2＝b2. ∵点(3,1)在圆上， ∴9＋(1－b)2＝b2，解得 b＝5. ∴圆的方程为 x2＋y2－10y＝0. 答案：x2＋y2－10y＝0
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽 视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．
[小题纠偏] 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是
________． 解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜14或m＞1. 答案：m∈－∞，14∪(1，＋∞)
2．方程 x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0 表示的图形是半 径为 r(r>0)的圆，则该圆圆心位于第________象限． 解析：因为方程 x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0 表示的 图形是半径为 r 的圆，所以 a2＋(－2a)2－4(2a2＋3a) ＝－3a2－12a>0，即 a(a＋4)<0，所以－4<a<0.又该圆 圆心坐标为－a2，a，显然圆心位于第四象限． 答案：四