浙江大学计算理论复习总结

浙江大学2012-2013冬学期计算理论重点复习
一个学期的计算理论课程已经结束，给我的感觉吧，计算理论是一门计算机不得不学，学了短期又没用，但是可以培养一些逻辑思维的课程。

其最关注的问题是什么是可计算性，什么问题可计算，问题之间的映射/归约，计算代价及难易。

在分析问题和检验模型计算能力之前需要掌握的工具是形式语言、图灵机等。

本文主要对计算理论中的重点进行了总结，总结了一些定理和理解上容易有障碍的知识点，但是里面还有一些点没有提到，比如NFA、DFA 的相互转化，CFL和PDA的相互转化，需要书中的题目和证明辅助。

Textbook Summary
1.与自然数集合N等势的集合是可数无穷的，称有穷的or可数无穷的集合是可数的。

非
可数的集合称作不可数的。

2.DFA ( K, Σ, s, F, δ) ；NFA（K, Σ，s，F，Δ）
3.每台NFA都有一台等价的DFA（method: find closure）
4.有穷自动机接受的语言类= 正则语言类（正则表达式描述的语言类）
5.正则语言在各种运算下封闭
6.语言是正则的，iff 其等价语言中有有穷个等价类。

7.DFA状态最小化->寻找等价类（初始等价类F & K-F）
8.CFL（V，Σ，R，S）
9.存在非正则的CFL
10.能够生成>=两棵语法分析树的字符串的文法叫做歧义的。

11.PDA M=（K，Σ，Γ，Δ，s，F），Γ为栈符号
12.PDA接受的语言正好是CFL
13.正则语言（xy n z）和CFL（uv n xy n z）的泵定理
14.L={a n b n}∈CFL，L={a n b n c n}∉CFL但是是递归的，L={a n,n为素数}不是CFL
15.Chomsky范式（CNF）：若R⊆(V-Σ)×V2，则称G=（V，Σ，R，S）为Chomsky范式
16.有穷自动机总是停机。

17.CFG到CNF的转化：
1)消除长rules
2)消除空rules（A->e）
3)消除短rules（A->a or A->B）
18.对任意CFL G，都可以在多项式时间构造Chomsky范式G’,使得L(G’)=L(G)-(Σ∪{e})
19.没有chomsky范式能够表示length<2的字符串，所以包含<2的字符串的语言不能转化
到chomsky范式。

20.确定型CFL（确定型PDA接受的语言类）在补下封闭。

21.TM (K，Σ，δ，s，H)，注意字母表Σ不包含←和→
22.若存在TM判定L，则称L是递归的。

23.如果对于所有w属于Σ*，M(w) = f(w)，我们说M计算函数f，若存在TM计算f，则f
称为递归的。

24.半判定语言的TM都不是算法
25.多带、多带头、双向无穷带or多维带的TM，其判定or半判定的任何语言及任何函数，
都分别可用标准TM判定、半判定or计算。

26.非确定型TM：一个格局可在一步里产生多个其他格局，NDTM is no more powerful than original TM
27.若非确定型TM M半判定或者判定语言L，或者计算函数f，则存在标准型TM M’半判定or判定L，or计算函数f。

28.文法是CFG的推广，任何CFG都是文法。

G=（V，Σ，R，S）
29.语言被文法生成iff它是r.e.的。

30.所有数值函数都是原始递归的
31.原始递归函数集是递归可枚举的。

32.特殊语言/问题：
H = {“M””w”: M在w上停机}
﹁H = { “M””w”：M是一台在”w”上不停机的TM }
H1 = {“M”：M在“M”上停机}
﹁H1 = { w：要么w不是一台TM的编码，
要么w是M的编码，M是一台在”M”上不停机的TM } H：r.e. ; H1：r.e.；﹁H, ﹁H1：非r.e. ；2-SAT∈P； SAT∈NP
33.没有算法的问题称作不可判定的or不可解的，如TM的停机问题
34.证明不可判定：从通用图灵机U通过递归函数归约到L，如果L是递归的则U是递归的。

i.e.若L1非递归，并存在L1到L2的归约，则L2也非递归。

递归函数是Turing Computable的。

35.语言是图灵可枚举的，iff存在枚举它的图灵机。

（M通过空格代开始，周期性的经过特
殊状态q来枚举L，任意顺序且可重复）
36.不可判定语言与递归语言互为补集，与r.e.语言有交集。

37.语言是r.e.，iff它是图灵可枚举的；语言是递归的，iff它是以字典序Turing可枚举的。

38.P在并交连接和补运算下封闭，NP在并、连接运算下封闭。

若NP在补下封闭，则NP=P。

39.H = {“M””w”: M在最多2|w|步后停机} ∉P
40.所有正则语言和所有CFL都属于P
41.NP：
A.机器角度去定义：被多项式界限非确定型图灵机判定的所有语言的类。

B.基于verifier的定义：NP问题上建立的非确定机包含两步：
1)非确定地猜一个解
2)用一个确定的算法判定该解是否为可行解
判定一个给定猜测值是否满足该问题这两个定义是不矛盾的，因为如果一台非确定TM 在多项式时间内可以判定一个非确定选择的输入是否满足，就是基于verifier 的定义。

（可满足性）的算法称作verifier ，一个问题称作NP 问题当且仅当存在一个多项式时间的verifier 。

P 和NP 的区别：
A problem is in P if we can decide them in polynomial time. It is in NP if we can decide them in polynomial time, if we are given the right certificate . 42. 若存在计算函数f 的多项式界限的图灵机M ，则f 称为多项式时间可计算的。

43. 若τ1是L1->L2的多项式归约，τ2是L2->L3的多项式归约，则τ1·τ2是L1->L3的多项式归约。

44. 证明NP 完全： 法一、按定义：L ⊆Σ*，若
（a ） L ∈NP ，且
（b ） 对每个语言L’∈NP ，存在从L’到L 的多项式归约
则L 称为NP 完全的。

法二、归约，对于语言L ，
（a ） 若L ∈NP
（b ） 一个NP 完全问题可以在多项式时间规约到L ，i.e. SAT ≤p L 则L 称为NP 完全的。

45. L 是NP 完全语言，则P=NP ，iff L ∈P 46. SAT 是NP-complete ，3-SAT ，最大可满足性也是NP 完全的
47. 覆盖问题，Hamilton 圈（有向无向），旅行商问题，背包问题都是NP-complete 。

48. a*b*c* - {a n b n c n , n ≥ 0} is context-free but not regular
49.L=L1L2，L是CFL，则L1一定是CFL （×）
50.Regular-CFL不一定是CFL，如a*b*c*-anbn包含anbncn
51.2-way PDA(i.e. PDA whose input heads can move both left and right) are more powerful than 1-way PDA
52.Given a PDA M1 and an FA M2, the problem L(M1)⊆L(M2) is decidable
53.DFA/NFA识别的是exactly正则语言。

54.R.e. 只在补和差下不封闭，CFL在交下也不封闭。

55.非正则语言的*可能是正则语言。

比如A:{ w=w R },及所有回文，A*=Σ*，为正则语言
56.典型非正则：w=w R
57.正则语言的子集可能非正则，如a n b n c n,是a*b*c*的子集；又如Σ*是正则语言，H ⊆Σ*。

58.归约：X到Y的归约可以理解为X到Y问题的映射, reduction可以解释为at least as difficult as… 比如X可以被Y的算法解决，则X is no more difficult than Y, X可以归约到Y，记X≤Y。

e.g. x2可以归约到任意两数的乘积。

∴若有A≤r B，
A是不可判定问题->B不可判定 A不递归->B不递归
B可判定->A可判定 B是递归的->A是递归的
59.若X多项式时间归约到Y，Y多项式时间可解，则X多项式时间可解；
若X多项式时间归约到Y，X多项式时间不可解，则Y多项式时间不可解
60.X多项式时间归约到Y，Y多项式时间归约到Z，则X多项式时间归约到Z
61.PRIME（COMPOSITE）多项式时间归约到Factor，但是Factor多项式时间不能归约到PRIME（COMPOSITE）。

62.若A≤P B，B∈NP，则A∈NP。

证明：
A≤P B⇒存在确定图灵机X，可将A归约到B。

B∈NP⇒存在一个非确定图灵机N可判定B。

我们希望构造一个新的TM（X*N），是的X*N非确定多项式时间求解A，则A∈NP。

Running time of X*N≤1+p(n)<A->B>+q(p(n))(B多项式时间非确定判定)是多项式时间所以A∈NP
63.若A≤P B，B∈P，则A∈P。

64.若X是NPC的，则X在多项式时间内可解iff P=NP.
65.SAT多项式时间归约到3-SAT(3-SAT是NPC的)
66.证明语言L是R./R.e./Non R.e.
a)Intuitively想想有没有半判定（判定）的TM，有则R.e.(R)。

若非R,执行下一步。

b)用能否由R.e.（Non R.e.）语言归约到该语言，能则R.e.而非R（Non R.e）.
严格用归约函数定义f：A≤p B，r1∈A当且仅当f(r1)∈B
e.g.1 <M,w>∈H, iff M∈L 证明R.e.
e.g.2 <M,w>∈非H，iff M∈L 证明Non R.e.
注意方向：是从A的实例经过递归函数推向B的实例。

详细介绍：/~nakhleh/COMP481/final_review_sp06_sol.pdf
67.递归与μ递归等价
68.PDA中，若每一个格局至多有一个格局接在它后面，则为确定型的。

确定型CFL在补下
封闭。

69.M半判定L：w∈L，iff M在w上停机，注意半判定图灵机中不存在“拒绝”状态。

只
要不接受w，就不停机。

70.Chomsky hierarchy
71.俩证明：
7.6 证明P在并、交、Kleene*连接和补运算下封闭。

(1) 并：
对任意L1, L2∈P，设有n a时间图灵机M1和n b时间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。

对L1∪L2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w :
1)在w上运行M1，在w上运行M2。

2)若有一个接受则接受，否则拒绝。

”
时间复杂度：设M1为O(n a),M2为O(n b)。

令c=max{a,b}。

第一步用时O(n a+n b) ，因此总时间为O(n a+ n b)=O(n c),
所以L1∪L2属于P类，即P在并的运算下封闭。

(2) 连接：
对任意L1, L2属于P 类，设有n a时间图灵机M1和n b时间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。

对L1 L2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w=w1,w2,…,w n，
1)对k=0,1,2,…,n重复下列步骤。

2)在w1w2…w k上运行M1，在w k+1w k+2…w n上运行M2。

3)若都接受，则接受。

否则继续。

4)若对所有分法都不接受则拒绝。

“
时间复杂度：(n+1)×(O(n a)+O(n b))=O(n a+1)+O(n b+1)=O(n c+1)，所以L1 L2属于P类，即P在连接的运算下封闭。

(3)补：对任意L
1属于P 类，设有时间O(n a)判定器M1判定它，对1L构造判定器M:
M=“对于输入字符串w :
(1)在w上运行M1。

(2)若M1接受则拒绝，若M1拒绝则接受。

”
时间复杂度为：O(n a)。

所以1L属于P类，即P在补的运算下封闭。

7.7 证明NP在并和连接运算下封闭。

(1) 并：
对任意L1, L2∈NP，设分别有n a时间非确定图灵机M1和n b时间非确定图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。

构造判定L1∪L2的非确定图灵机M:
M=“对于输入字符串w :
1)在w上运行M1，在w上运行M2。

2)若有一个接受则接受，否则拒绝。

”
对于每一个非确定计算分支，第一步用时为O(n a)+O(n b)，因此总时间为O(n a+n b)=O(n c)。

所以L1∪L2∈NP，即NP在并的运算下封闭。

(2) 连接：
对任意L1, L2∈NP，设分别有n a时间非确定图灵机M1和n b时间非确定图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。

构造判定L1 L2的非确定图灵机M:
M=“对于输入字符串w :
1)非确定地将分成两段x,y，使得w=xy。

2)在x上运行M1，在y上运行M2。

3)若都接受则接受，否则拒绝。

”
对于每一个非确定计算分支，第一步用时O(n),第二步用时为O(n a)+O(n b)，因此总时间为O(n a+ n b)=O(n c)。

所以L1 L2∈NP，即NP在连接运算下封闭。

专题——图灵机可判定性问题
判定以下问题是否可判定：
声明：思路——想证明B问题不可解，
1.从一个不可解问题A入手（如停机问题）
2.创建B的一个实例，从中推出如果能解决B，A也就可以解决了
3.所以B是不可解的
1.一个图灵机有至少481个状态。

<YES>
我们可以给出这样一个TM N进行enc（M），
a)数M中状态数，直到481.
b)如果达到了481，N就接受，否则拒绝。

2.给定图灵机在空串上走了481步还没停机。

<YES>
构造2带图灵机N，
a)2nd带: 写481个0
b)1st带在空串上模拟M，每走一步，第2带就删掉一个0
c)如果M在所有0都删掉之后停机，则N接受，否则不接受
3.给定图灵机，判定它是否在一些输入上经过481步还没停机？<YES>
a)按字典序找出所有length<=481的串x
b)在每个x上面run M，看是否在481步以内停机
c)是则接受，否则reject
4.给定图灵机，判定在所有输入上是否经过481步还没停机？<YES>
a)原因同(3)类似
5.给定图灵机是否接受空串？<NO>
设两个语言：L1 = {M|M(e)停机}；H = {<M,w>|M(w)停机}
已知H不可判定，只需要找到H->L1的归约即可。

令f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, M’ 输入任何y的输出都是M在w上的模拟结果（获得的具体做法是删除任何输入，写入w，再在w上模拟M）。

则{“M”,”w“}∈H，iff M’ 在任何串上停机，iff M’在空串停机M‘∈L1。

6.①给定TM M，是否存在在M上停机的串？<NO>
②给定TM M，M是否在所有上停机的串？<NO>
设L = {M|M(a) where a∈Σ*} ，H = {<M,w>|M(w)停机}。

寻找H到L的归约。

令f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, M’ 输入任何y输出都是M在w上的模拟结果（获得的具体做法是删除任何输入，写入w，再在w上模拟M）。

{“M”,”w“}∈H，iff M’ 在任何串上停机，iff M’在任何串上停机，iff M’在所有a上停机(a∈Σ*), i.e. M’∈L。

7.给定TM M，is L(M) finite? <NO>
设Finite = {L(M) where L(M) is finite}; AH = {<M,w>|M accept w}
存在从AH（非递归）到﹁Finite的递归函数f，f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, 显然f可计算。

则{M,w}∈AH ⇔ M halts on w ⇔ M’ accept any y∈Σ* ⇔f(M,w) is infinite, i.e. M’∈﹁Finite。

由于AH归约到﹁Finite，所以﹁Finite非确定，又∵确定性在补下封闭，所以Finite也是非确定的。

8.给定TM M, 带上是否出现过a（a∈Σ）？<NO>
设Write_a = {<M,w>|M有一条在带上写a的规则}；AH = {<M,w>|M accept w}
存在从AH（非递归）到﹁Finite的递归函数f，f(“M”,“w”) =M’(“T”,”a”) = Simulate M(w).
若M接受w，在带上写a；否则什么也不写。

则{M,w}∈AH ⇔M halts on w ⇔M’在带上写了一个a⇔f(“M”,“w”)∈Write_a. 所以Write_a非确定。

9.给定M1，M2，它们是否在一个相同串上停机？<NO>
设2Halts = {<M1,M2>|存在令他们都停机的串w}；H = {<M,w>|M(w)停机} 构造新机器M’，在M’带上写w，模拟M1若停机则清空带，写w，再模拟M2，若M2在w上也停机，则M’停机。

则有M’停机⇔<M1,M2>∈2Halt ⇔<M1,w>∈H且<M2,w>∈H。

10.给定M，只要M接受w，M就接受w R <NO>
设S = {M| M accepts w R whenever it accept w}; AH = {<M,w>|M accept w}
递归函数f定义如下，f(M,w) = M’(y), 在M’上模拟M(w).
当M接受w时，create M’ 只接受串1111；当M拒绝w时，create M’只接受串01。

则<M,w>∈AH ⇔ M接受w ⇔ M’只接受1111 ⇔ M’∈S，类似的<M,w>∉AH⇔M’接受01不接受10⇔M’∉S
判定语言Recursive/Recursive Enumerable / Not R.e.
1.L1 = {M| there exists an input on which M halts in less than |<M>| steps} R. Test on all w less than |M|
2.L2 = {M| |L(M)|<4} Not R.e.
a)Reduction from H , 说明是R.e.或非R.e.
b)<M,x>∈非H，当且仅当M’属于L2
3.L3 = {M| |L(M)|>2} R.e. not R
整理人：Rachel Zhang @ /abcjennifer 感谢金老师（/home.php?mod=space&uid=562030）授课。