理论力学第四章

7
斜面自锁条件 f
螺纹自锁条件
8
自锁的应用
W
FR
9
§5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．
几个新特点
1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax，问题的解有时在一个范围内．
10
FA f s FNA FB f s FNB
(d) (e)
解方程可得
FNA FNB FN FA FB Fmax f s FN F 2 Fmax
代入式 (c) 解得
alim
b 2 fs
21
例题
摩 擦
解： 图解法
例 题 4-4
取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩
5
利用摩擦角测定摩擦因数
利用摩擦角的概念， 可用简单的实验方法，测 定静摩擦因数。把要测定 的两种材料分别做成斜面 和物块，把物块放在斜面 上，并逐渐从零起增大斜 面的倾角，直到物块刚开 始下滑为止。这时的角就 是要测定的摩擦角。 临界状态： f
f s tan f tan
6
2 自锁现象
0 F sin30 P cos30 FN 0
Fs 403.6 N (向上)， FN 1499N
而： Fmax f s FN 299 .8N 物块处于非静止状态．
Fd f d FN 269.8N , 向上．
12
例题
摩 擦
例 题 4-2
在倾角 α 大于摩擦角 f 的固定斜面上放有重 P 的 物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上 作用了水平力F。试求这力容许值的范围。
F2 f s FN
一般情况下，

R F1 F2 或 F1 F2
fs 或

R ．
f s
例：某型号车轮半径: R 450 mm 混凝土路面: 3.15mm, f s 0.7
fs R F2 0.7 350 100 F1 3.15
31
例题
摩 擦
例 题 4-7
F M
y
A
0, FN P cos 0
0 , M max P sin r FH r 0
补充方程
M max FN
3.联立求解。
FH P sin cos r
FH 1 504 kN
33
例题
第四章 摩擦
1
摩擦


滑动摩擦 滚动摩擦 干摩擦 湿摩擦

静滑动摩擦 动滑动摩擦 静滚动摩擦 动滚动摩擦
摩擦
《摩擦学》
2
§4-1
Fx 0
FT FS 0
滑动摩擦
FS FT
静滑动摩擦力的特点
方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向；
大小： 0 Fs Fmax
摩 擦
例 题 4-6
解:欲保持木箱平衡，必须（1）不发生滑动，即Fs≤Fmax= fsFN 。
（2）不绕点A翻倒，即d > 0 。 1. 取木箱为研究对象，受力分析如图。列平衡方程
F F
解方程得
x y
0, 0,
Fs F cos 0 FN P F sin 0 hF cos P a FN d 0 2
Fo1y FO1x
FN FS A
F B
C FT FN FS
24
例题
摩 擦
例 题 4-6
图示匀质木箱重P=5kN，它与地面间的静摩擦因数 fs = 0.4。图中 h=2a=2m， α =30°。 （1）问当D处的拉力F=1kN时，木箱是否平衡？ （2）求能保持木箱平衡的最大拉力。
25
例题
P tan
≤
F1 ≤ P tan
按三角公式，展开上式中的 tan( ) 和 tan( ) 得
tan tan P 1 tan tan
≤
F1 ≤
tan tan P 1 tan tan
将 tan fs , tan sin / cos 代入上式，得
FRA
擦力和法向反力分别合成为全约束反力 FRA 和
FRB
FRB。这样一来，推杆受F，FRA和FRB三个力作 用。 用比例尺在图上画出推杆的几何尺寸，并 自 A，B两点各作与水平线成夹角 φf （摩擦角） 的直线，两线交于 C 点，如图所示。 C点至推 杆中心线的距离即为所求的临界值 alim，可用
20
例题
摩 擦
例 题 4-4
解: 取推杆为研究对象，受力分析如图。
列平衡方程
F F
x y
0, 0,
FNA FNB 0 FA FB F 0
(a)
(b)
M A F 0,
补充方程
d F a FNBb FB d 0 (c) 2
摩 擦
例 题 4-8
R
B
MB
半径为 R 的滑轮上作用有力偶， 轮上绕有细绳拉住半径为 R，重量 为 P 的圆柱，如图所示。斜面倾角 为力偶
O
P
α
A
矩 MB 的最大与最小值；并求能使 圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩
擦因数的最小值。
34
例题
FN P cos F sin
因为
所以
0 ≤ Fs ≤ fs FN , fs tan f
F ≥ P tan f
（a）
2.设F 值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax，
受力分析如图。
14
例题
摩 擦
列平衡方程
例 题 4-2
F
F
x
0, F cos Fs P sin 0
35
最小拉力为
P Fmin sin cos R
P tan f
≤F ≤
P tan f
15
例题
摩 擦
例 题 4-3
物块重 P，放于倾角为 α 的斜面上，它与斜面间的静 摩擦因数为 fs，如图所示。当物块处于平衡时，试求水平 力F1的大小。（用几何法求解）
16
例题
摩 擦
解：
例 题 4-3
由图 a 可见，物块在有向上滑动趋势
由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的 最大拉力为
木箱绕 A 点翻倒的条件为d= 0，则
F翻 Ga 1 443 N 2h cos
F = F翻=1 443 N
27
§4-4 滚动摩阻（擦）的概念
静滚动摩阻（擦）
28
Fx 0
MA 0
F Fs 0
M FR 0
0 Fs Fmax
sin fs cos P cos fs sin
≤
F1≤
sin fs cos P cos fs sin
19
例题
摩 擦
例 题 4-4
图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为 fs，滑
道宽度为 b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问 a 为多 大，推杆才不致被卡住。
解:
y
取物块为研究对象。 1.设 F 值较小但仍大于维持平衡的最小值Fmin，
受力分析如图。
x 列平衡方程
F
F
x
0,
0,
F cos Fs P sin 0 FN P cos F sin 0
13
y
例题
摩 擦
x
例 题 4-2
y
联立求解
Fs P sin F cos
摩 擦
解：
Fmin
圆柱有向下滚动的趋势。
例 题 4-8
1. 取圆柱为研究对象，当绳拉力最小时， 列平衡方程
x
M F 0
A
O y A
R M max 0 P sin R Fmin
Fs FN
F
y
0
P
α
M max
FN P cos 0
补充方程
M max FN
F F
x y
0, 0,
Fs F cos 0 FN P F sin 0 hF cos P a FN d 0 2
M A F 0,
木箱发生滑动的条件为 解得
F滑
Fs=Fmax= fsFN
f sG 1 876 N cos f s sin
0 M M max
Fmax fs FN
M max FN
－－最大滚动摩阻（擦）力偶
29
滚动摩阻（擦）系数，长度量纲
的物理意义
30
使圆轮滚动比滑动省力的原因
处于临界滚动状态
M max FN F1R
F1

R
FN
处于临界滑动状态
Fmax f s FN F2
M A F 0,
Fs 866 N, FN 4 500 N, d 0.171 m
因为 Fs<Fmax ，所以木箱不滑动。 又因为d > 0 ，所以木箱不会翻倒。
26
木箱与地面之间的最大摩擦力为
Fmax fs FN 1 800 N
例题
摩 擦
例 题 4-6
2. 求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界中的最小力F。 列平衡方程
的临界状态时，可将法向约束力和最大静 摩擦力用全约束力 FR来代替，这时物块在 P， FR ，F1max三个力作用下平衡，受力如 图。 (a) FR
α +φ
根据汇交力系平衡的几何条件，可画
得如图b所示的封闭的力三角形。 求得水平推力的最大值为
P F1max (b)
F1max P tan
17
例题
摩 擦
例 题 4-3
同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图 c 。
作封闭的力三角形如图 d 所示。
得水平推力的最小值为
P (c)
α -φ
F1min P tan
FR
F1min (d)
18
例题
摩 擦
例 题 4-3
综合上述两个结果，可得力F1的平衡范围，即
Fsmax
临界点
45
FT
静摩擦力 动摩擦力
4
§5-2
1 摩擦角
摩擦角和自锁现象
FRA ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角--摩擦角
Fmax f s FN tan f fs FN FN
全约束力和法线间的夹角的 正切等于静滑动摩擦系数． 摩擦锥
0 f
例题
摩 擦
例 题 4-1
已知： P 1500N , f s 0.2 , f d 0.18 , F 400N 。 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向。
11
例题
摩 擦
例 题 4-1
解：取物块，画受力图，设物块平衡。
F F
x
y
0 F cos30 P sin30 Fs 0
例 题 4-7
匀质轮子的重量P = 3 kN，半径 r = 0.3 m；今在轮中心施加平行
于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成α=30°的斜面匀速向上作纯滚 动。已知轮子与斜面的滚阻系数δ= 0.05 cm，试求力FH的大小。
解:
1.取轮子为研究对象,
受力分析如图。
32
例题
摩 擦
2.列平衡方程。
比例尺从图上量出。
或按下式计算，得
alim
b b cot f 2 2 fs
22
例题
摩 擦
例 题 4-5
制动器的构造和主要尺寸如图所示。制动块与鼓轮表面 间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮转动所必需的力F。
O c R A b a r
O1
F B
C
P
23
例题
摩 擦
rFT RFs 0
例 题 4-5
解： 分别取闸杆与鼓轮为研究对象。 设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮， M O 0
1
b Fs 对闸杆，M O 0 Fa FN c0
, 而 FT P, Fs Fs 且 Fs fs FN
解得——
FOy O FOX
O1
rP(b f s c) F f s Ra
0, FN P cos F sin 0
y
联立求解
Fs P sin F cos
FN P cos F sin 0 ≤Fs ≤fs FN , fs tan f
因为 所以 3. 综合条件（a）和（b），得
F
≤
P tan f
（b）
Fmax fs FN （库仑摩擦定律）
f s ——静滑动摩擦因数
与接触物体的材料和表面情况有关（如粗糙度、温度 3 和湿度等），而与接触面的面积无关。
动滑动摩擦力的特点
方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 大小：Fd f d FN
f d f s（对多数材料，通常情况下）
Fs