基于Isabelle的证明信息系统设计

基于Isabelle的证明信息系统设计

摘要 Isabelle定理证明器中的证明

步骤和证明状态是非常具有参考价值的证

明信息。然而目前没有工具可以有效管理这些信息。本文给出一个基于Isabelle的信息系统设计方案。利用该系统的实现，用户可以提取、保存和搜索这两种证明信息。

关键词定理证明；证明信息；Isabelle；关系数据库【Abstract】 Proof steps and proof states in the theorem prover Isabelle are very referable proof information ， but now there is no tool that can manage them efficiently. This paper presents a design of a proof information system based on Isabelle. By using an implementation of the system，users can extract， save and search for the two kinds of proof information. 【Key words】Theorem Proving；Proof Information; Isabelle; Relational

Database

1 引言 Isabelle[1]是一种着名的交互式定理证明器，目前已被应用于数学形式化、逻辑研究、计算机软、硬件以及安全协议的验证等多个领域。使用Isabelle时面临的主要困难是编写定理的证明过程，这一般需要专家级的用户才能完成，这也因此限制了Isabelle进一步的普及。 Isabelle包含许多有重要参考价值的证明信息，例如含有证明方法的证明步骤，反映当前证明形势和效果的证明状态 (proof state)。这些信息都有助于用户开发新的证明文档，然而目前Isabelle并不提供查询这些信息的功能。

目前已经出现了一些专门为Isabelle构建信息数据库方面的工作与研究。Suzuki为Isabelle建立了一个证明状态数据库，但其中的数据来源于Isabelle的显示，包含的信息较少且数据的提取比较受限。另外，网络上存在一个Isabelle的理论文件(theory file)库，其中收集了大量的在不同领域应用Isabelle开发的证明脚本。要浏览这些文档的具体证明过程，必须用Isabelle载

入并执行文档。这一过程是比较耗时并且需要用户具有运行Isabelle的环境。本文提出了一个证明信息系统。该系统以关系数据库为基础，并提供可分别提取证明步骤和证明状态的工具，目标是为用户提供一个简易的证明信息搜索平台。该系统面向的用户主要是用Isabelle来编写证明文档的专家，也可被一般用户用来作为学习了解Isabelle证明过程以及一般数学逻辑知识理论的一个工具。

2 Isabelle Isabelle采用的编程语言是函数式编程语言ML。Isar是Isabelle中专门用于书写证明过程的语言，用这种语言编写的证明脚本具有一定的可读性。以下是与Isabelle相关的重要术语及其定义: 证明脚本：为了证明定理而由用户用Isar语言编写的证明文本。证明行：一行证明脚本。理论文件：主要是为证明某一个理论中部分或所有定理编写的证明脚本文件。除定理及其证明之外，文件中还有相关的常数和操作符定义、注释等。证明步骤：完成一步证明的证明脚本。定理的所有证明步骤组成一

个定理的完整证明脚本。以下是HOL中与函数相关的理论文件中的引理expand_fun_eq 的证明步骤：0) lemma expand_fun_eq: “f = g” = (! X. f(x) = g(x))” 1) apply (rule iffI) 2) apply (simp

(no_asm_simp)) 3) apply (rule ext，simp (no_asm_simp)) 4) done 其中，apply和done是Isabelle的两个证明关键字，apply表示应用；done表示结束当前证明；apply后面的语句表示应用的具体证明

策略入规则、方法等。证明状态：证明时

产生的状态，主要信息是当前剩余的子目标。图1是证明引理expand_fun_eq时执行到第

1步时的证明状态显示。图1 Isabelle的证明状态显示由上图可知，原引理已被化成

两个子目标并等待下一步的证明。

3 系统设计该信息系统的设计目标是利

用Isabelle提取证明步骤和证明状态，并

用标准的数据库技术加以处理，为用户提供一个网络界面可以迅速查找和浏览这两种

证明信息。

结构设计按照系统数据处理和功能的相

关性，可以将此系统分为3个模块: 提取界面、数据库和搜索界面，如图2所示：图2：系统模型其中，提取界面用于提取所需数据；数据库用来存储提取来的纪录数据；搜索界面用于客户端对数据库的访问。系统的工作流程为：首先，用Isabelle载入理论文件并启动证明过程。这时Isabelle会按从上到下的顺序对文件中的每个定理进行证明，可逐步进行，也可成批处理。无论是用何种方式，都可用提取界面提取所有的证明步骤和历史证明状态数据。将二者的记录数据插入到数据库后，便可以在客户端利用搜索界面访问数据库，从而最终实现对这两种信息的查找。根据上面介绍的结构模型及其工作流程，此系统的设计可分为三个部分：提取界面设计、数据库设计及搜索界面的设计。

提取界面设计按照提取数据的种类，此界面可进行：证明步骤提取要从理论文件中提取出每一个证明步骤，可以利用以下算法，共有六个步骤：1）去注释：注释可以位于理论文件的任何位置，形式为并可以