多目标优化

7.1.3关于约束条件问题
设计约束是在设计中对设计变量所提出的种种限制来确 定的。约束条件表达式同常有显性约束与隐性约束；不等 式约数与等式约束；边界约束与性能约束等。 在设计中应尽量减少约束条件的个数。在众多约束条件 中，可能存在消极约束，所谓消极约束是指在某些约束得 到满足时，而有另一个或几个约束必然得到满足，其作用 被覆盖，被覆盖了作用的约束称为消极约束。如果经分析 能确认是消极约束，在建立数学模型时，应将其除掉。在 一般情况下，消极约束是不容易识别出来的。所以，在很 多时候，仍是将全部约束都列出来，不加区别的代进算法 程序中求解计算。
对一般表达式的多目标优化设计问题，给各分目标函数 最优值的宽容量分别是 …… 则宽容 分层序列法的步骤如下 ① ② ③ „„„„„„„„„„„„„„„„
m
求解得到最优解
上式也可写为 ① ② i=1，2，„„，m-1 求解得到最优解
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取最后一个目标函数的最优点 的最优点x*。
即
作为多目标优化问题
二，线形加权法 线形加权法又称线形组合法，它是处理多目标优化问题 常用的较简单的一种方法。 按各分函数的重要程度，对应的选择一组加权系数λ1， Λ2，„„，λm。其界线为 （j=1，2，„„m） 用fj(x)与λj(x)（j=1，2，„„m）的线形组合构成一个评 价函数
设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。
按设计问题维数的大小，通常把优化设计问题规模分为 三类： 小型优化问题：维数2-10 中型优化问题：维数10-50 大型优化问题：维数50以上
四，乘除法
该方法适于处理下面问题。按分目标函数的性质可分为 两类，两类的期望相反。其中的一类是表现目标函数值越 小越好，如追求体重轻，结构紧凑，原材料消耗少，加工 成本和加工费低，磨损量和应力小等；另外一类表现为目 标函数值越大越好，如产品产量，机械效率，零件强度及 刚度，利润，承载能力等。建议如下构造评价函数：
无约束一维多目标 优化设计问题 (维数n=1， 分目标m=2) x*为绝对最优解得 迭代点，绝对最优 解（x*，F*）
约束一维多目标优 化设计解的情况。 在可行域[0，1]中， 绝对最优解发生在 x*=1处。 存在绝对最优解 （x*，F*）
n=2 m=2约束多目标 优化设计解的情 况，点x*为最优 点。
该优化问题不存在绝对最优解， 可行域D边界上一段曲线A1至 A2为有效解集，在可行域的其 余部分全部构成劣解集。 将其映射到目标函数构成空间图 (b)，曲线A1A2与Q1Q2对应，一 些目标函数值比较小的解集在曲 线Q1Q2上，为有效集。
3最终解（选好解） 从有效解中选出最终解或称选好解。如无某种要求， 一般从有效解集（A1A2曲线或Q1Q2曲线）中任选一点， 都可作为最终解；有时，设计者要根据设计问题的不同 要求与意愿，从中选出一个符合某种要求“满意”的解 作为最终解。
当固定 目标函数值为
，极小化f1(x)的可行域边界点C，C点的分
当固定 目标函数值为
，极小化f2(x)的可行域边界点C，C点的分
可见，C，D两点都优于B点，在CD曲线上任选一点代表 的方案至少有一个目标函数值的到改善，所以CD曲线上任 一点都优于B点。曲线A1CDA2代表着有效解的解集，故称 此曲线为协调曲线。选好解（最终解）应从协调曲线上选 取。 为从协调曲线上确定选好解，再以f1(x),f2(x)为坐标建立 一个新的坐标系，见前面图2。将图1的协调曲线转换到新 的坐标系中，对应关系为A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，则 将A1CDA2曲线转换到2图中的Q1GHQ2曲线。 为在协调曲线上确定一个选好解，一般需另外一项指标， 为此在2图中画出满意曲线，随着满意程度的增加可使分目 标函数值均有所下降，直到o点，此点是从协调曲线上得出 的最满意设计方案。分目标函数值为
7.2.1数学模型中的尺度变换
数学模型中的尺度变换问题，是指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。
7.2.1设计变量的尺度变换
7.2.2约束条件的尺度变换 7.2.3目标函数的尺度变换
7.3多目标函数优化问题
在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。 在许多实际设计中，一个设计方案又企望有几项设计指 标同时都达到最优值，这种在优化设计中同时要求两项极其 以上设计指标达到最优值得问题，成为多目标优化设计，目 标函数称为多目标函数。
三，理想点法
多目标优化问题的一般式中，先求出各分目标函数在可 行域D内的最优解 （j=1，2„„，m）最有函数值 向量
上式称为理想解。 如果在本问题不存在绝对最优解的情况下，对于向量目 标函数 来说理想解似得 不到的；但要力求使各分目标仅可能接近各自的理想值， 则可以认为达到有效解中的选好解。
在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定 出一个合理的各分目标函数值构成理想解
将 与 在写法上统一为 ，在构造设计方案与理想 解之间的离差函数U(x),U(x)函数可取以下形式 相对离差 加权相对离差
平方和加权离差 绝对值离差 将式 中的多目标 函数构造出以上几式的单目标函数作为评价函数，用评价 目标函数的解作为原多目标优化问题的最终解。其表达式 为
D：
gu(x) ≥0 hv(x)=0
7.1.2关于目标函数的建立
优化设计数学模型中的目标函数F（x），是以设计变量表 示设计问题所追求的某一种或几种性能指标的解析表达式， 用它来评价设计方案的优劣程度。通常，设计所追求的性能 指标较多，建立目标函数，要针对影响质量和性能最为重要 的，最显著的指标作为设计追求的根本目标写入目标函数。 所建立的目标函数一般分为：单目标函数，多目标函数 一般的，所包含的分目标函数越多，设计结果越完善，但 设计求解的难度增大。因此，在实际设计中，在满足设计性 能要求的前提下，应尽量减少分目标函数的个数。
定义三：在可行域D内，除绝对最优解与有效解集以外， 部分的设计点均称劣解点，劣解点的全部称为劣解集。 例7.2一个二维分目标的多目标优化设计问题。
D：
见右图，在可行域[0，4]内，区间 [1，3]为有效解集；[0，1]，[3，4] 为劣解集。
例7.3二维（n=2）两个分目标（m=2）优化问题。分目标 函数为f1(x),f2(x)，可行域D目标函数等值线见右下图。
2有效解（非裂解）与劣解
定义二：对于一般表达式，若有设计点x∈D，不存在任意 的x∈D，使F(x) ≤F(x*)成立，或fj(x) ≥fj(x*)，对于所有的 j=1，2，„„m成立。则称x*为有效解或非劣解。
例7.1 一个二维分目标（n=1，m=2）的多目标优化问题为
D：
见右下图。 取x=b，该点是有效解。因为在可行域D内，任取另一点 X，不存在F(x) ≤F(b)， 即f1(x) ≤f1(b)， 又同时有f2(x) ≤f2(b)。 x=b点满足有效解定义。 同理，区间[1，2]中的 任意一点都满足有效解 定义。所以，区间[1，2] 组成了有效解（非劣解） 集。
如何确定满意函数或满意曲线，要按工程实际情况，很多 时候是依设计者的实践经验而设置；也可以根据实验数据而 定。必要时对分目标函数实行线形加权。
协调曲线法适合分目标追求出现矛盾情况。要在有效解集 中找出最满意的设计方案。在优化过程中，有时为了某个具 有较差值的分目标也能达到较为理想，则要增大其他分目标 函数值为代价，其主要思想是对各分目标函数进行协调，互 相之间做出让步，最终取得一个工程实际能认可的满意方案。 对于两个以上的分目标的多目标优化问题，所画的协调曲 线就变成多维抽象空间的超曲面，不可能用图形来表示，则 只能按数学模型由计算机自动处理。
7.3.3多目标优化问题的求解方法
多目标优化求解方法大体分为两大类。 其一是将多目标优化问题化为一系列单目标优化问题求 解；另一是将多目标优化问题重新构造成一个新的函数， 即评价函数，从而将多目标优化求解转变为求评价目标函 数的最优解。 一，宽容分层序列法 该方法的基本思想是将
中的m个目标函数按工程中某种意义分清主次，按重要程 度逐一排队，重要的目标函数排在前面，然后依次对分目 标函数求各自的最优解，只是最后一个目标函数求优应在 前一个目标最优解的集合域内求优。但由于分目标函数的 最优解常常是唯一的，其最优解域的集合只有一个设计点 那么求下一个目标函数的最优解就无意义了。 为了使分层序列法不是去在有效解中秋最终解（选好 解）的功能，则将各目标函数的最优值给与放宽，使在后 一个分目标函数求优时，能在前一个最优值附近的某一范 围内求优。具体做法如下：
第七章 关于机械优化设计当中的 几个问题
建立优化数学模型的有关问题 数学模型中的尺度变换 多目标函数优化设计 关于离散变量的优化设计问题 优化方法的选择及评价准则
7.1建立优化数学模型的有关问题
优化数学模型总体包含：设计变量，目标函数，约束条件
7.1.1关于设计变量的确定
工程设计中总是包含许多各种设计参数。在确定设计变 量时，要对各种参数加以分析，以进行取舍。 设计变量必须是独立变量。要从优互相依赖关系的变量 中剔除非独立变量。
7.3.1多目标优化设计数学模型
优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时 达到最优，则表示为
上式称为向量目标函数，是多目标函数； 式中的f1(x),f2(x),„„，fm(x)称为目标函数中的各分目标函数
数学模型的一般表达式
gu(x) ≥0 hv(x)=0
(u=1,2,„„，p) (v=1,2„„，q<n)
五，协调曲线法 这种方法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标设计优化 问题，为求最终解须对一般式个分目标函数加以协调，以求 在有效解集中求出选好解，作为多目标优化问题的最终解。 现以两个分目标函数组成的多目标优化问题为例。
两分目标的最优点分别在A1及A2，它们的分目标函数值为 A1点
A2点
在可行域D内任取一点B，其分目标函数值为
下图所示为汽车前轮转向梯形机构。 等腰梯形机构ABCD中，给定机架长度LAD=a（常数）。 当汽车转弯时，为了保证所有车轮都处于纯滚动，要求从 动件CD转角 与主动件AB转角 保持某确定关系 该四杆机构的参数有各杆长度：l1,l2,l3,l4，和初始角 其中l4=a为已知，是设计常 量；又l1=l3，l3为非独立变 量；又 ，l2是l1与 的函数，故l2也 为非独立变量。所以只有两 个参数是独立变量
为了与单目标优化问题相区别，在目标函数前加V， 即表示为
7.3.2多目标优化设计的概念
在单目标优化设计中，对于各种性态函数，总可以通过对 迭代点函数值的比较，找出全局最优解，对任意两个解都能 判断其优劣。而多目标函数问题与单目标则有根本区别，任 意两个解之间，就不一定能判断出优劣。 1绝对最优解 定义一：一般表达式多目标设计优化问题，若包括所有的 J=1，2，„„m对于任意的设计点x∈D都有 fj(x) ≥fj(x*) 成立，则点x*是多目标优化问题的绝对最优解。
其中，s(s<m)为第一类函数，(分目标函数期望取小)
如果有两个分目标函数f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。 如下图所示 过域Df内的任一通过原点o的直线oA，它的斜率为
当 时，即直线oA移到 与域Df边界的左方相切，切点 为Q，点Q对应的函数值 即为乘除法求得的选好 解
求新的评价函数最优解，即
D：
x*
gu(x) ≥0 hv(x)=0
即将一般式的单多目标优化问题转化成求上式的单目标 优化问题
关于确定一组合理的加权系数λj（j=1，2„„，m）， 希望能准确的反映各目标函数在整个多目标优化问题中的 重要程度，它是一个困难且较复杂的问题，如果取得合理， 则可以达到预期优化的目的，否则有可能造成计算谬误而 失败。目前，确定加权系数有的是设计者评设计经验直接 给定，也有用试算统计计算。 （j=1，2，„„m） 其中， （j=1，2„„，m）即分目标在可 行域内的最优目标函数值。式中的 反映了各分目标函数 离开各自最优值得程度。