抽样调查第4章分层抽样

K i 1
Wi
2
1
ni
fi
ni
1
2

ni
[( yij
j 1
yi ) bi
xij
xi
]2
Vmin
( yLs )

K
Wi 2
i 1
1 fi ni
SY2i

K
Wi 2
i 1
1 fi ni
S
2 Xi
Bi2
组合回归估计
组合回归估计
yLC yst b( X xst )
若b是事先指定的常数, yLC是Y的无偏估计,其均方偏差为
V ( yLC)

K i 1
Wi
2
1
ni
fi
(SY2i

b
2
S
2 Xi
2biSYiSXi )
取b BC

K
Wi 2
i 1
1 fi ni
S XYi
可得上述均方偏差的最小值为
i 1
1 ni
(1
fi )si2
估 值 法(一)
系2 当各层独立抽取的都是简单随机样本，且各层
的样本额ni
足够大时，用比估值法时, K
yRS Wiri X i
i 1
是Y的近似无偏估计, 其均方偏差近似为
V ( yRS )
K i1
Wi
2
1
ni
fi
1 Ni 1
Ni j 1
适当分层可提高参数估计的精度
分层抽样的提法
分层抽样的问题
如何分层 如何确定各层样本量 如何估值
记号
K
K
Y11, , Y1N1 y11, , y1n1
Ni N
ni n
Y21,


YK1,
, ,
Y2 N2
YKN K

例1 调查某地区居民的奶制品消费支出，以居民户为 抽样单元.根据经济收入水平将居民划分为4层,每层抽 取样本量为10的简单随机样本,调查数据如下表,试估 计该地区居民奶制品的月消费总支出及其置信度为 95%的置信区间.
居民
层 总户
数
1
样本户奶制品月消费支出yij(元) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fi
(s
2 yi
rC2sx2i
2rC sxyi )
例3续：给出Y的组合比估计量，估计其精度，与 分别比估计进行比较
组合比估计
分别比估计与组合比估计的比较
V ( yRC ) V ( yRS )

K i 1
Wi
2
1
ni
f
i
(R2

Ri2
)S
2 Xi

2(R

Ri
)i SYi S Xi
估 值 法(一)
例3（续） 已知某公司一般职员及高级管理人员刚进 入公司时的工资总额分别为5523965元、2541660元， 欲通过抽样调查估计当前该公司职员的工资总额Y。 抽样按照一般职员与高管层进行分层随机抽取。一般 职员共390人，抽取15人；高管层共84人，抽取10名。 调查数据如表。
给出Y的分别回归估计量、联合回归估计以及 差估计，同时估计其精度。
估 值 法(一)
例2 对某地区的居民拥有家庭电脑的情况进行调查， 以居民为抽样单位，根据收入水平将居民户划分为4 层，每层按简单随机抽样抽取10户。调查数据如表。
估计该地区居民拥有家庭电脑的比例及抽样标 准误。
估 值 法(一)
例3 已知某公司一般职员及高级管理人员刚进入公司 时的工资总额分别为5523965元、2541660元，欲通过 抽样调查估计当前该公司职员的工资总额Y。抽样按 照一般职员与高管层进行分层随机抽取。一般职员共 390人，抽取15人；高管层共84人，抽取10名。调查 数据如表。
给出Y的分别比估计量，估计其精度
估 值 法(一)
练习1 为调查某地区住户的平均家庭成员数，将该地 去分为城市和乡村2层，每层按照简单随机抽样抽取 10户。调查数据如表。
估计该地区住户的平均家庭成员数及其95%的 置信区间。
•组合比估计 •组合回归估计
组合比估计 (Ratio combined)
按比例分配 (proportional allocation)
ni

n
Ni N
,i
1,2,,
K
yst

K
Wi yi
i 1
1 n
K i 1
ni
yij
j 1
若总体总值或均值的一个无偏估计量可以表示成 样本总值或均值的常数倍，这种估计量称为自加 权估计量
适用于Ni已知而其他信息很少的情形
K
K
(N) (Ni) N Ni
i 1
i 1
抽样：从每层抽取一个样本构成总的样本
K
yi1, yi2 ,, yini , i 1,2,, K n ni
i 1
采用分层抽样的理由
可同时对子总体进行参数估计 便于组织实施,可根据各层特点采用不同抽样方式
可使样本在总体中分布均匀,从而具有更好代表性
组合比估计的含义
有辅助变量X用于估值分析的，先分别对各层进 行简单估计，再用比估值法获得目标指标量的估计
K
yst Wi yi i 1
K
xst Wi xi i 1
yRC

yst xst
X
rC X
组合比估计只需知道总体的X或X ,无需知道每层的 X i或X i
组合比估计
y21,


yK1,
, ,
y2n2
yKnK
i 1
Wi

Ni N
i 1
wi

ni n
fi

ni Ni
Ni
Yi Yij
j 1
Yi Yi / Ni
1 ni
K Ni
yi ni
yij
j 1
Y
Yij
i1 j1
si2

1 ni 1
§4.1 估值法(一)
§4.2 估值法(二)—— 组合比估计和回归估计
§4.3 样本量的分配 §4.4 与简单随机抽样之比较 §4.5 如何适当分层 §4.6 后分层估计和定额抽样
•分层抽样的提法 •估值法(一)
分层抽样的提法 (Stratified sampling)
分层抽样的步骤
分层：将总体( N )分成互不相交的K个子总体
奈曼(Neyman)最优分配
定理1
分层抽样中, n

K i 1
ni固定, 使V ( yst )

K
Wi 2
i 1
1 fi ni
Si2
达到最小的样本量分配为ni n
Wi Si
K
,i 1,2,, K
WjS j
j 1
Vmin ( yst )
1 n

K i 1
K
Wi 2
i 1
1 fi ni
S
2 Xi
Vmin ( yLC)

K
Wi 2
i 1
1 fi ni
SY2i

K i 1
Wi
2
1
ni
fi
S
2 Xi
BC2

组合回归估计
实践中以bC

K
Wi 2
i 1
1 fi ni
sxyi
K
Wi 2
i 1
1 fi ni
sx2i
Y
)

O
1 n

(2)E( yRC
Y
)2

E( yst

Rxst )2

O
1 n3/ 2


O
1 n3/ 2


K i1
Wi
2
1
ni
fi
(SY2i

R2
S
2 Xi
2RiSYiSXi )
(3)v( yRC )

K i 1
Wi
2
1
ni
ni j 1
( yij

yi )2
Y
Y N

K i 1
NiYi N

K
WiYi
i 1
估 值 法(一)
定理4.1.1 如果分层抽样样本是从每一层独立抽取的， 且每一层Yi有无偏估计Yˆi ,则估计量
Yˆst K WiYˆi i 1
是Y的无偏估计, 其均方偏差为
V (Yˆst ) K Wi2V (Yˆi ) i 1
代替BC，有
V ( yLC)

K
Wi 2
i1
1
ni
fi（SY2i
2BC i SXiSYi

BC2
S
2 Xi
)
v( yLC)
K i 1
Wi
2
1
ni
f
i
1 ni 1
ni j 1
( yij yi ) bC (xij xi ) 2
组合回归估计
分别回归估计与组合回归估计的比较
Wi Si
2

1 N
K
Wi Si2
i1
实践中可用查往法、预查法或类推法获得Si的近似值
实践中因Si采用估计值带来的影响(N n时)为
V Vmin 1 K (ni ni )2
Vmin
n i1 ni
考虑费用的最优分配
K
C C0 niCi i 1
C0是基本调查费用, Ci 是第i层调查一个样本单元的费用
1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0
2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170
3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220
4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30 25
估值定理
定理4.2.1 对分层抽样的组合比估计,有
| E( yRC Y ) | V (xst )
V ( yRC )
|X|
其中V ( yRC )，V (xst )分别是估计量yRC，xst的均方偏差.
组合比估计
当分层抽样的样本分配合理,且xst 0(不依赖与n)时
(1)E(
yRC
•等额样本量 •按比例分配 •奈曼最优分配 •考虑费用的最优分配
等额样本量
各层的样本量相等
ni

n K
,i
1,2,, K
特点：实施方便，便于管理
例1 对各乡收入数据，采用分层抽样，各层采用简单 随机抽样，计划抽取8个乡，按照下列样本量分配方 式，确定各层的样本量
(1)等额分配 (2)按比例分配 (3)Neyman最优分配
定理2 分层抽样中,固定费用C使V ( yst )最小，或固定 V ( yst )使C最小的样本量分配有
ni

Wi Si Ci
,i
1,2,,
K
例 某市有甲、乙两个地区，现要进行家庭收入的调 查。令n=500，已知甲地区共有20000户居民， 乙地区共有50000户居民；甲地区和乙地区居民 收入标准差估计分别为s1=2500,s2=2000；同时 对甲地和乙地每户的平均抽样费用之比为2:3，请 分别计算出甲地和乙地进行比例分配、一般最优 分配（考虑费用因素）以及奈曼最优分配的样本 量。
估 值 法(一)
系1 当各层独立抽取的都是简单随机样本，且每层
的Yi用简单估值时, 则估计量
K
yst Wi yi i 1
是Y的无偏估计, 其均方偏差为
V ( yst )

K
Wi 2
i 1
1 ni
(1
fi )Si2
V ( yst )的一个无偏估计为
v( yst )

K
Wi 2
分别回归估计
分别回归估计 K yLs Wi [ yi bi ( X i xi )] i 1 若b是事先指定的常数, yLS是Y的无偏估计,其均方偏差为
V ( yLs )
K i 1
Wi 2
1
ni
f
i
(SY2i

bi
2
S
2 Xi
2bi i SYi S Xi )
v(yLs )
（1）由于分别估计（分别比或者分别回归估计）要求各层的样 本量都比较大，所以当某些层的样本量不够大时，建议采用联合估 计。 （2）当回归系数需要由样本进行估计时，回归估计是有偏的， 尤其当样本量较小的时候，采取联合比估计更好。 （3）如果各层的样本量都比较大，每层的比估计或回归估计有 效，此时用分别比估计，方差更小。 （4）如果各层的样本量不大，各层的Ri差异较小，采用联合估计。 （5）如果各层的Ri之间的差别不是太大，而且并不是每层的样本 量都相当大，采用联合估计。 （6）如果各层的回归系数都接近于1，则可采用差估计。

K i1
Wi
2
1
ni
fi
(R

Ri
)2
S
2 Xi

2(R

Ri
)(i SYiSXi

Ri
S
2 Xi
)
由于比估计适合的场合( i SYi
S Xi

Ri
S
2 Xi
)通常比较小，上
式一般大于零，分别比估计通常比组合比估计更精确.
仅当层数较多，而各层只有较小的样本量时，才推荐使
用组合比估计.
(Yij

Ri
X ij
)2

K
Wi 2
i 1
1 fi ni
S2 Yi

Ri2
S
2 X
i
2Ri i SYi S Xi
V ( yRS )的一个近似无偏估计为
v( yRS )
K i1
Wi
2
1
ni
fi
1 ni 1
ni
( yij
j 1
ri xij )2
估 值 法(一)
Vmin ( yLC) Vmin
( yLS)

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Wi 2
i 1
1 fi ni
S
2 Xi
(Bi
BC )2
除非各层Bi相同,否则最佳选取系数的分别回归估计优于 组合回归估计
仅当层数较多，而各层只有较小的样本量时，才推荐使 用组合回归估计.
比估计与回归估计小结
当Y与X高度相关时，采用比估计和回归估计都 是有效的。在选择估计方法时，有以下原则：