自由电子费米气体详解演示文稿

问题
在固定电场中，如何推导电子动量随时间的变化？ 直流电导率的推导以及可否直接用于交流电导率的
推导？为什么？ 怎么用此模型来考虑焦耳热的问题？
3）金属的比热
特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能 量均分定律：
—— 每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的 平均能量
—— 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密
自由电子费米气体详解演示文 稿
（优选）自由电子费米气体
许多固体具有导电性，这意味着在这固体内 有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的 这些电子可以在固体内遨游。
具有导电性的固体可被区分成两类，那便是 金属与半导体。
在这章节内我们将只针对金属进行讨论。
§6.1 金属自由电子论
的物理模型
1. Drude的金属自由电子论
2．Sommerfeld的自由电子论
索末菲模型的基本假设： 1）free electron approximation 2）independent approximation 3）价电子的能量分布服从费米—狄拉克统计，称为 自由电子费米气体（free electron Fermi gas） 4）不考虑电子和离子实的碰撞（no collision）
v平
eEt
me
me——电子的质量
t ——传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间
ne2t
j nev平 me E
ne2t 1 me
j E E j 欧姆定律
2）金属的平均自由时间和平均自由程 ——实验测定金属的电阻率，来估计平均自由时间t
t
me
ne2
1015
1014 s
——平均自由程l (电子在连续两次碰撞之间的平均运动距离)
Hale Waihona Puke Baidu
Drude经典理论的基本假设:
将金属中高浓度（1022-1023/cm3)的价电子看作理 想气体，其基本假设为：
1）金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞 （后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率基本 可以忽略），忽略了离子实与传导电子之间的库仑 相互作用，称为自由电子近似（free electron approximation）。
讨论：
外电场E=0时， v平=0
电子运动是随机的
净定向电流为零，对电流密度没有贡献
外电场E≠ 0时， v平≠ 0 —— 产生净定向电流 在外场E作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机 的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。
因此，电子平均速度v平起源于在外场E作用下，电子在连续 两次碰撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：
不足之处产生的原因分析
经典理论在微观世界的不适用
量子力学对金属中电子的处理
1926 年 费 米 — 狄 拉 克 统 计 理 论 和 量 子 力 学 建 立 ， 1928年，索末菲在自由电子模型基础上，提出应该 利用量子力学原理去计算电子气体的能量和动量， 并由此考察金属的一些特性。
索末菲提出：电子在离子产生的平均势场中运动， 电子气体服从费米 — 狄拉克分布和泡利不相容原理。 并成功地计算了电子的热容，解决了经典理论的困 难。
曼统计分布律。
5）特鲁德模型的成功与失败
成功之处：
经典的特鲁德—洛伦兹自由电子模型从微观上定性的解
释了金属的高电导率、高热导率、霍尔效应以及某些光学性 质。
不足之处：
获得的平均自由程和热容与实验结果严重不符，实验 上热容仅是理论值的1%(电子参与导电过程，但对热 导好像没有参与，为什么？）；在处理磁化率等问题 上也遇到根本性的困难。
1. Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论:
自由电子是经典离子气体，服从玻尔 兹曼分布(速度分布)，与中性稀薄气体一 样去处理，完全套用经典气体模型，认为 电子之间无相互作用，同时也不考虑离子 实势场的作用。
这样一个简单的物理模型处理金属的 许多动力学问题是成功的，特别是对我们 理解简单金属的许多性质是有帮助的。
以下应l该不v是平用t v平来表示速度
——根据经典的能量均分定律，有
1 2
mev平2
3 2
kBT
l v平t 110 A
l v平t 110 A
free electron approximation
离子实（金属原子间距）大约也就是这个量级，可 以看出，与Drude模型的假设比较吻合。
——但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特 鲁德模型的估算值大得多。Cu： T=4K， l 103 A 也就是Drude模型当中的假设并不是适用于一切情况。
Drude的经典理论建立的历史背景:
1870年前后，玻尔兹曼、麦克斯韦等 建立了气体分子运动论和统计理论；1897 年，T.T.Thomson发现电子，使得人们轻 易就可以猜测出金属导电的机制。
在总结 金属本身总是具有高电导率、 高热导率和高的反射率的实验事实的基础 上，Drude于1900年建立了Drude模型，主 要研究金属的电导和热导问题。
2）忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用， 成为独立电子近似（independent electron approximation）。
3） 传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞(受正 离子实的散射)且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地 改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞 地点的温度有关，而与碰前速度无关。电子只是通 过碰撞与周围环境达到热平衡。在相继的两次碰撞 之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为 碰撞近似（collision approximation）。
4）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔 称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为 弛豫时间近似（relaxation approximation）。
特鲁德模型的应用
1）金属的直流电导金属晶体内的电子运动类 似理想气体分子的运动，因此电流密度为
j = -nev平
n —— 金属导体内的电子数密度 v平—— 电子运动的平均定向速度
度为
U
3 2
nkBT
电子气的热容：
C Classical v
3 2
nkB
高温下与晶格振动的贡献相当， 这与实验结果不符。
大多数金属
C Experimental V
/ CClassical V
0.01
4）特鲁德模型的发展：
1904年，洛伦兹发展了该模型，将麦克斯韦—玻尔 兹曼统计规律引人，认为电子速度服从麦克斯韦—玻尔兹