计算方法非线性方程求根

计算方法第7章 非线性方程求根

本章主要内容：

1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法.

重点、难点

一、区间二分法

区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。

基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b] ,将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。

区间二分法的计算步骤如下： 1.

计算区间端点的函数值f(a) , f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）；

确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2(

b

a f + 取2

1b a x += 3.判断： 若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =*；

若 0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈* ；令[]],[,111b a x a =

若 0)(1

4. 如果│b-a │<ε（ε为误差限），则方程的根为2

b

a x +=

*

；否则转向步骤2，继续二分有根区间[a 1,b 1]，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止，即│b n -a n │<ε

二分次数的确定：如果给定误差限ε，则需要二分的次数可由公式

12

ln ln )ln(---≥

ε

a b n 确定应二分的次数。

例1 用区间二分法求方程0353

=+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001）

【思路】参见上述区间二分法的计算步骤

解 ∵f(1.8)=-0.168＜0, f(1.9)=0.359＞0 ∴f(x)在区间[1.8 ，1.9]内有一个根。

由公式 644.512

ln 001

.0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥

εa b n

取n=6， 计算结果列表如下：

则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x *

≈ x = 1.8328125

区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。

迭代序列收敛阶的概念

设迭代序列{}n x 收敛于*

x ，如果存在实数1≥p 与正常数c ，使得

c x x x x p

n n n =--*

*+∞

→1lim

，则称序列{}n x 是p 阶收敛于*x 。

特别地，当1=p 时，称序列{}n x 为线性（一次）收敛； {}n x 为线性收敛时，必须要求1

当2=p 时，称序列{}n x 为平方（二次）收敛； 当21<

收敛阶p 越大，则序列{}n x 与*

x 的误差缩减越快，也就是序列{}n x 收敛越快。

二、切线法(牛顿法)

1. 切线法的基本思想：假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x *,过曲线y= f(x)上的一点（x 0,f(x 0)），作曲线的切线，用此切线与x 轴的交点的横坐标x 1作为方程的根x *的新的近似值, 再过点（x 1,f(x 1)），作曲线的切线，则又得到新的近似值,按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。

切线法(牛顿法)的迭代公式为 ,...)1,0()

()

(1='-=+n x f x f x x n n n n 2.切线法的收敛性

我们利用定理（7.1）来判断切线法的收敛性。定理（7.1）还给出了一个初始值

x 0的选择方法，

定理7.1. 设f (x )在[a ,b ]上存在二阶连续导数，且满足条件 ⑴ f(a )f (b)< 0；

⑵f /(x ) 在[a ,b ]上不等于零 （3）f //(x ) 在[a ,b ]上不变号

则对任意初值x 0∈[a ,b ] ，只要满足f (x 0) f //(x )≥0. 则由切线法迭代公式得到的近似根

序列{}n x 平方收敛于方程f (x )=0在区间[a ,b ]的唯一根x *。

2. 切线法的计算步骤：先判断有根区间[a,b]，然后选择初始值x 0（一般地，若f //(x)>0，则选择区间的右端点；若f //(x)< 0，则选择区间的左端点），再建立迭代公式进行计算（列表计算）。

例2 用切线法求例1中方程在[1，2]内根的近似值，精确到0.000001

【思路】根据f(x 0)f //

(x)>0在有根区间上选择初始值x 0，代入迭代公式进行计算

解 5

33

2)()(2012)2(,01)2(6)(53)(35)(2

3

111023--='-==∴>=''>==''-='+-=---n n n n n n x x x f x f x x x f f x

x f x x f x x x f 代入迭代公式取初始值

计算得

834243185

.1000001.0000000319.034≈*∴<=-x x x

例3 证明 计算3a 的切线法迭代公式为 )2(3121n

n n x a

x x +=

+ （n=0,1,…） 解 因为计算3a 等同于求方程03

=-a x 的根， 将233)(,)(x x f a x x f ='-=，代入切线法迭代公式得： ,1,0,)(3132

23

1

=+=--=+n x a x x a x x x n

n n n n n 三 、弦位法

1. 弦位法的基本思想：假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x *,在区间[a,b]内的曲线y= f(x)上任取两点作弦，用此弦与x 轴的交点横坐标作为方程根的近似值。按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。 弦位法分为单点弦法和双点弦法。

2.单点弦法 建立弦的迭代公式时，固定其中一个点，而另一个点变动的迭代求根