计算方法：非线性方程迭代求解.
迭代法求非线性方程的根讲解
迭代法是求解非线性方程近似根的一 种方法，这种方法的关键是确定迭代函数 (x)，简单迭代法 用直接的方法从原方程 中隐含的求出x，从而确定迭代函数(x)， 这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多， 因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一 种迭代格式, 具有较快的收敛速度，由牛顿 迭代法可以得到很多其他迭代格式。
( p ) ( )
p!
用条件(*)，则有 ( x
k
) (x )
*
( xk x * ) p
*
注意到 ( xk ) xk 1， ( x * )
( p) ( ) * p * x x ( x x ) 由上式得 k 1 k x p!
11
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ek 1 ( p ) ( x*) 因此对迭代误差有: p 。这表明迭代过程 p! ek
1
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迭代法
• • • • • • • 一、简单迭代法的概念与结论 二、 Newton迭代法的基本思想 三、牛顿法的几何意义 四、牛顿迭代法的步骤 五、例题 六、其他注意的事项
2
一、简单迭代法的概念与结论
• 简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求 得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式， •
x0 均收敛。证毕。 R
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14
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二. Newton迭代法的基本思想
• 设X K 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 X K 处作泰勒展开
的邻近连续，并且 / ( x* ) ( x* ) ( p1) ( x* ) 0 (*) ( p ) ( x * ) 0
则该迭代过程在点 x * 邻近是P阶收敛的。
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法
迭代法是一种通过迭代逼近的方式来求解方程的方法。
它的基本思想是通过不断逼近
方程的解，使得逼近值与真实解的差距越来越小，最终得到方程的解。
下面介绍三种新的迭代法：牛顿迭代法，弦截法和切线法。
一、牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种通过利用函数导数的信息来逼近方程解的方法。
它的迭代公式为：
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n表示第n次迭代得到的逼近解，f(x_n)表示在x_n处的函数值，f'(x_n)表示在x_n 处的导数值。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，通常是二阶收敛，但其缺点是需要计算函数的导数，如果导数计算困难或者导数为零的情况下，该方法可能不适用。
二、弦截法
三、切线法
切线法的优点和牛顿迭代法类似，但其缺点是需要计算函数的导数，且对于初始逼近
解的选择比较敏感。
牛顿迭代法、弦截法和切线法都是三种常用的非线性方程迭代法。
它们各自有着优点
和缺点，适用的领域和条件也不尽相同。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方
法来求解非线性方程。
第7章.非线性方程迭代法
f
的重根
=
的单根。
➢ 正割法 / Secant Method / ：
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于2个函数值， 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。
割线
/ secant line /
收敛比Newton’s Method 慢， 且对初值要求同样高。
牛顿迭代法的改进与推广
➢ 重根 / multiple root / 加速收敛法：
Q1: 若 f (x*) ，0 Newton’s Method 是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则：f ( x) ( x x*)n q( x) 且 q( x*) 0。
因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，
④
|
x
*
xk
|
1
1
L
|
xk 1
xk
|
?
✓ | xk1 xk | | x * xk | | x * xk1 | | x * xk | L | x * xk |
⑤
|
x*
xk
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|
?
可用 | xk1 xk |来 控制收敛精度
| xk1 xk | | g( xk ) g( xk1 ) | | g(ξk )(xk xk1 ) |
3
| g( x) | | x2 | 1
现令 ( x) (1 K )x Kg( x) (1 K )x K ( x3 1)
3
希望 | ( x) | | 1 K Kx2 | 1，即
2 K 0 x2 1
在 (1, 2) 上可取任意 2 K，例0如K = 0.5，则对应
第4章 非线性方程求根的迭代法
精选版课件ppt
18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
精选版课件ppt
19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
精选版课件ppt
20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
精选版课件ppt
30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
精选版课件ppt
31
简单迭代收敛情况的几何解释
精选版课件ppt
32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
精选版课件ppt
48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
第1章 非线性方程迭代解法
ba xk x k 1 2 1 1 k 0.05 2 10 k 1 2 20 k log 2 10 3.3219
K 4
二分法的特点
优点： 总可以保证收敛，不会增根。 缺点： 只能对单个根的情况求解，无法求多根。 收敛速度较慢，计算量较大。 因此，先画图，找到根大致范围；再划分为 较小隔根区间；最后采用二分法，精确求根， 是求解简单非线性问题的有效途径。
改进：二分法
3) 二分法
思想：逐步缩小隔根区间，而逼近精确根。 方法：
ab )， 计算中点 f ( 2
若有隔根区间[a,b]，则f(a)*f(b)<=0，
ab ab f ( ) f ( a ) 0 ]为新隔根区间 若 ，则 [a, 2 2 ab [ , b] 为新的隔根区间。 反之， 2
非线性问题的处理思路
非线性问题的处理思路： 作图——根存在的范围 隔根区间——单个根存在范围 二分法——精确求根 为加快求根速度： 迭代法取代二分法，其它部分不变
2. 迭代法原理
主要内容： 1) 基本原理 2) 迭代有效性的判断 3) 迭代的加速技巧
1) 迭代法基本原理
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
迭代次数 n
迭代的绝对误差限
0.07 0.06
误差限
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
迭代次数 n
迭代公式φ一阶导数
解非线性方程组的牛顿迭代法
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1） 简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为 （4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
8
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解 求 115 .
表7 6 计算结果 k 0 1 2 3 4 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
f ( x) , f ( x)
由于
( x)
f ( x) f ( x) . 2 [ f ( x)]
假定 x *是 f ( x) 的一个单根，即 f ( x*) 0, f ( x*) 0 ， 则由上式知 ( x*) 0 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法 在根 x *的邻近是平方收敛的.
准备 迭代
x0 ，计算 f 0 f ( x0 ), 选定初始近似值
步骤2
按公式
x1 x0 f 0 / f 0
迭代一次，得新的近似值 x1，计算 f1 f ( x1 ), f1 f ( x1 ). 步骤3 控制
x1 满足 1 如果
f1 2 ，则终 或
5
止迭代，以 x1作为所求的根；否则转步骤4. 允许误差，而
3
又因
( x*)
f ( x*) , f ( x*)
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
科克伦奥科特迭代法
科克伦奥科特迭代法科克伦奥科特迭代法是一种求解非线性方程的迭代方法，也称为收敛加速方法，其主要思想是通过适当构造迭代函数使原问题的收敛速度加快。
科克伦奥科特迭代法的基本形式为：$x_{i+1}=g(x_i)$其中，$g(x)$是迭代函数，$x_i$和$x_{i+1}$分别为第$i$和第$i+1$次迭代的解。
在实际应用中，科克伦奥科特迭代法可以通过以下两种方式进行改进，以提高其求解效率。
一、牛顿下山法在科克伦奥科特迭代法中，迭代函数的构造是基于原问题的某些特性，这种迭代方式有可能会导致收敛速度过慢，甚至发散。
为了克服这种不足，可以将牛顿下山法引入到科克伦奥科特迭代法中，即将牛顿迭代法的步长乘上一个因子，从而得到一个更优的迭代函数。
具体而言，牛顿下山法的迭代函数为：$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\lambda_i$其中，$\lambda_i$为步长因子，一般取小于$1$的正实数。
二、Aitken加速法由于科克伦奥科特迭代法的收敛速度依赖于迭代函数的构造和初始值的选取，因此有时会由于初始点选取不当而使其收敛速度过慢。
为了克服这种不足，可以引入Aitken加速法来提高其收敛速度。
Aitken加速法的基本思想是，计算出三个近似解$x_i,x_{i+1}$和$x_{i+2}$，然后通过以下公式进行加速：$x_{{i+1}}^{(1)}=g(x_i),$$x_{{i+1}}^{(2)}=g(x_{i+1}),$$x_{{i+1}}^{(3)}=g(x_{i+2}),$$\bar{x}_{i+1}=x_{{i+1}}^{(3)}-\frac{(x_{{i+1}}^{(2)}-x_{{i+1}}^{(1)})^2}{x_{{ i+1}}^{(3)}-2x_{{i+1}}^{(2)}+x_{{i+1}}^{(1)}}.$其中，$\bar{x}_{i+1}$为加速后的近似解。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法1. 引言1.1 介绍迭代法迭代法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于非线性方程的求解、函数极值点的求解等问题中。
迭代法的基本思想是通过逐步逼近的方式，找到函数的根或者极值点。
这种方法在面对复杂的数学问题时具有很大的优势，可以通过简单的计算步骤逐渐接近最终解。
与解析解相比，迭代法更适用于无法通过代数运算求解的问题，或者求解过程较为繁琐的问题。
迭代法的实现通常需要选择一个初始值，并通过反复迭代计算来逼近真实解。
在每一步迭代中，都会根据当前的估计值计算新的估计值，直到满足一定的精度要求为止。
迭代法虽然不能保证每次都能得到精确解，但在实际应用中往往能够取得较好的结果。
迭代法是一种简单而有效的数值计算方法，尤其适用于非线性方程求解等复杂问题。
通过逐步逼近的方式，迭代法可以帮助我们解决那些传统方法难以处理的问题，为现代科学技术的发展提供重要支持。
1.2 非线性方程的求解意义非线性方程在数学和工程领域中广泛存在，其求解具有重要的理论和实际意义。
非线性方程的求解能够帮助解释和预测许多自然现象，包括流体动力学、电路分析、材料力学等领域中的问题。
非线性方程的求解也是许多科学研究和工程设计中必不可少的一环，例如在经济学、生物学、物理学等多个学科中都有非线性方程存在。
传统的解析方法难以解决非线性方程，因此迭代法成为求解非线性方程的重要工具。
迭代法是一种通过不断逼近解的方法，逐步逼近方程的解。
通过迭代法，可以在复杂的非线性方程中找到数值解，从而解决实际问题。
非线性方程的求解意义在于帮助我们更好地理解和掌握复杂系统的性质和行为。
通过求解非线性方程，我们可以揭示系统中隐藏的规律和关系，为科学研究和工程设计提供重要的参考和支持。
发展高效的迭代法求解非线性方程具有重要意义，可以推动科学技术的进步，促进社会的发展和进步。
2. 正文2.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种非常经典的求解非线性方程的方法，其基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解方程。
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
非线性方程与非线性方程组的迭代解法课件
迭代解法是否能够收敛到方程的解是关键问题，收敛性的判定需要满足一定的条 件。
收敛速度
迭代解法的收敛速度是指迭代过程逼近解的速度，收敛速度越快，求解效率越高 。
迭代解法的误差估计与收敛性判定
误差估计
在迭代过程中，我们需要对每次迭代的误差进行估计，以便 了解近似解的精度。
收敛性判定
为了确保迭代过程能够收敛到方程的解，我们需要根据一定 的收敛性判定准则来判断迭代过程是否可以终止。
三角函数求解
对于涉及三角函数的非线性方程，如 (sin x = a)，可以通过迭代法求解，例如初始值 (x_0 = a)，迭代 公式 (x_{n+1} = x_n + frac{a - sin x_n}{1 - cos x_n})。
非线性方程组求解实例
牛顿迭代法
对于非线性方程组 (f_1(x) = 0, f_2(x) = 0) 等，可以使用牛顿迭代法求解，通过迭代公式 (x_{n+1} = x_n - J^{1} cdot f(x_n)) 逐步逼近方程组的解。
适用于求解具有简单形式和已知导数的非线性方程。
弦截法
总结词
详细描述
公式
应用场景
一简单且易于实现的迭代方 法
弦截法基于线性方程组的求解 方法，通过不断修正近似解来 逼近非线性方程的解。在每次 迭代中，使用当前近似值和方 程的函数值来计算下一个近似 值。
$x_{n+1} = x_n - f(x_n) cdot frac{f(x_0) - f(x_n)}{f(x_0) 2f(x_n) + f(x_1)}$
适用于求解形式简单且导数不 易求得的非线性方程。
抛物线法
总结词
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法如何构造合适的迭代法求解非线性方程是数值计算中的一个基本问题。
本文对解非线性方程的迭代法进行分析与拓展，以经典的牛顿迭代法和弦截法为基础，构造了三种新的迭代法。
通过数值例子表明，这三种迭代法在一定程度上加快了收敛速度。
标签：非线性方程；迭代法；数值模拟众所周知，现实生活中的许多问题都可以转化为非线性方程解的问题。
但是，由于方程求解问题的复杂性以及直接求解问题的多变性，使得非线性方程的求解绝非易事，一般不能直接对其求解。
因此，迭代法[1-3]是非线性方程求根中最基本、最常用的方法，其思想是寻找一个精确度较高的近似解来代替无法得到的精确解，而不同的迭代格式具有不同的逼近速度与准确度。
近年来，很多学者在牛顿迭代方法的基础上提出了许多改进的迭代法。
张旭[4]构造了一种三阶含牛顿迭代法；单吉宁等[5]对解非线性方程的牛顿法进行了改进；张辉等[6]基于四点牛顿-柯特斯求积公式提出了六阶迭代方法；黄娜等[7]提出一种新的三阶迭代法；王小瑞等[8]构造了条件最优两步迭代法；高建强等[9]探究了牛顿迭代对收敛速度的影响；王尧等[10]提出求解非线性方程的三步六阶迭代法。
为此，本文在上述工作基础上提出了一些新的迭代格式用于求解非线性方程，通过数值例子来检验迭代法的有效性与实用性。
1 三种新的迭代格式1.1 迭代格式一设非线性方程，在方程的解区间之内有一个近似解为，将在近似解点处依泰勒公式对其作展开处理：在牛顿迭代格式中取前两项近似的表示原方程，即：类似地，取前三项近似表示原方程，可以得到：设方程的解为且则有如下：经处理得到新的迭代格式如下：迭代格式（1）式中的右边存在了这一项，将其记作加以区分，将迭代格式更改为：同时对于这一项的计算利用牛顿迭代格式来计算，即，则可得新的迭代格式一：设可控制误差为，则在进行次迭代之后的近似值为。
那么只需时，迭代终止。
1.2 迭代格式二牛顿迭代格式中用差商替换得到了割线法的迭代格式。
化工系统工程-非线性代数方程组迭代解法 数值计算方法
如简单地套用现成的算法往往导致求解效率低下，甚至根本无 法求解。
在化工流程模拟实践中，总是需要先对数学模型进行一定 的处理，将复杂问题分解为一系列较简单的问题，然后再根据 具体情况，调用适当的算法进行求解。切割技术就是其中最重 要的一种。(基于化工系统工程那部分内容?)
案例1
f1(x2 , x3 ) 0
f1(x1, x2 , x3, x4 ) 0
f2 f3
( (
x1, x1,
x2 x2
, ,
x3 x3
, ,
x4 x4
) )
0 0
， f4 (x1, x2 , x3, x4 ) 0
x
0 2
x
0 3
x
0 4
f1f2f3
f4
x10
X1*
信息流图
f1，f2，f3为关于x2，x3，x4的线性方程组，迭代策略？
4.若将切割变量计算值直接用于下一轮对切割变量的迭代，则 实际上对切割变量是在使用直接迭代法。
5. 使用切割技术，将n个未知数的联立求解问题转化为对少 数m个切割变量的求解问题，将复杂的问题分解为一系列简 单的问题。关键在于：适当或巧妙地选取切割变量与中间变 ， 量，并将原方程组适当地分解为中间变量方程组和切割变量 方程组；所选切割变量（组）最宜是那些物理意义明确、易 给初值并密切相关的一组变量。
（关于切割技术将在第四章结合化工过程模拟系统（序贯模块法）进 行介绍。
方程组切割技术
对切割技术运用得当，可从以下许多方面改善计算效率。
１容易选取初始值，扩大收敛域。往往选取了切割变量的初值后，中间变 量的初值就变得非常容易选取，甚或可直接计算出来。
非线性方程组迭代法
第5章非线性方程(组)迭代法内容5.1 根的搜索5.2 迭代法的构造及收敛性5.3 方程求根的牛顿迭代法5.4 *非线性方程组的迭代法数学物理中许多问题常归结为求解非线性方程或非线性方程组.例如在最优化问题min ()x I F x ∈中，设函数()F x 在区间I 上严格凸并可微，且()()F x f x '=，则求其极小点等价于求解方程()0f x =的根；若()f x 是一个非线性函数，则方程()0f x =是一个非线性方程。
若()0f x =是一个方程组，且其中至少存在一个方程是非线性的，则称方程组是非线性方程组。
本章介绍一些常用的求解非线性方程和非线性方程组近似根的迭代方法。
§5.1 根的搜索⏹ 根的存在性：设函数[](),f x C a b ∈，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(),a b 内一定有实根*x ，称[],a b 为方程()0f x =的有根区间。
⏹ 二分法（是搜索方程()0f x =的根的一种计算简单的方法）。
● 基本思想：将有根区间[],a b 用其中点02a b x +=分为两半。
如果0()()0f x f a ⋅>，记 101,a x b b ==，方程的根11*(,)x a b ∈； 如果0()()0f x f a ⋅<，记 110,a a b x ==，方程的根11*(,)x a b ∈。
因此，新的有根区间为[]11,a b ，其长度为112b a b a --=．对有根区间[]11,a b 施行同样的手续，并反复二分下去，得到一系列有根区间[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃L L其中[],k k a b 的长度为：02k k k b a b a --=→（当k →∞时）。
上述结果表明，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于()0f x =的根x *．只要二分足够多次(即k 充分大)，就能保证有2k k k k b a x x b a ε*--≤-≤<。
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1. 化工实际问题的提出
饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然我们可以通过实验测量来 获取饱和蒸气压的数据，但我们通常利用前人已经测量得到的数据或 回归的公式来获取，这可以减轻我们大量的基础实验工作。公式 (2) 是一种常用的饱和蒸气压计算公式：
B Dp ln p A C ln T 2 T T
误差 分析：
x1 ab 2
§2 Bisection Method
ba |x x*| 第1步产生的 有误差 1 2 ba |x x*| k 第 k 步产生的 xk 有误差 2k
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ： ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
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逐步扫描法求根的初始近似值
用数值法求方程的根可分为两步，首先要找出根的某个近 似值，又称为“初始值”，然后再采用特定算法将初始值 逐步接近真实值，直到获得满足要求的结果。 逐步扫描法
y
y
y = f (x)
y = f (x)
a+h
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * xk | | g( x*) g( xk 1 ) | | g(ξ k 1 ) | | x * xk 1 |
L | x * xk 1 | ...... Lk | x * x0 | 0
④ | x * xk |
1 | x k 1 x k | 1 L
k
L | x1 x0 | | x * xk | 1 L
( k = 1, 2, … )
且存 x k 1 g x * x * xk
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x3=(x0+x2)/2 x0 x3 x2 x2= (x0+x1)/2
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x1
3. 实根的对分法 求 f (x) = 0 的根
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0， 则 f 在 (a, b) 上必有一根。
basically are OhSo yeah? Whowe tells done! can’t believe you that I the method it’s so simple! is convergent? What’s the problem?
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化工计算：一元非线性方程求解
1. 化工实际问题的提出 2. 数值法求根 3. 实根的对分法 4. 直接迭代法 5. 松弛迭代法 6. 韦格斯坦法 7. 牛顿迭代法
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1. 化工实际问题的提出
求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必须解决的一个问题。 与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算 公式上，都要比线性方程复杂的多。对于一般的非线性 f(x)=0 ， 计算方程的根既无一定章程可循也无直接方法可言。 例如：求解高次方程组7x6-x3+x-1.5=0的根； 求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x)=0的零点。 解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。一 般地，我们用符号 f(x) 来表示方程左端的函数，方程的一般形 式表示为f(x)=0，方程的解称为方程的根或函数的零点。 对于高次代数方程，当次数>4时，则没有通解公式可用，对于 超越方程既不知有几个根，也没有同样的求解方式。实际上， 对于n≥3代数方程以及超越方程都采用数值方法求近似根。
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
x0 y x1 x* y=x x x0 y y=g(x) p0 x* y=g(x)
p1 y=g(x) x1 y=x x
p0 p1 x1 x0 x*
x x0 x*
p1
x
x1
4. 直接迭代法
定理
考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若 ( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]；
0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203
1.3438 1.3281
4. 直接迭代法
f (x) = 0 f (x) 的根
等价变换
x = g (x) g (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, x 思 xk+1 = g(xk), … 若 k k 0 收敛，即存在 x* 使得 路 lim x k x *，且 g 连续，则由 lim x k 1 lim g x k 可 k k k 知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
( II ) 0 L < 1 使得 | g’(x) | L < 1 对 x[a, b] 成立。
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 x k 收敛 k 0 于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式： | x * xk |
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对分法举例
例：求 x x 1 0 在[1.0, 1.5]内的一实根，精确到小数 点后2位。
3
k
ak
bk 1.5 1.375
xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
f(xk)符号 − + − + + − −
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2. 数值法求根
首选要给出一个初始猜测解，然后通过各种迭代格式 使其逐次逼近准确解。 初值好坏对迭代收敛性有很大影响，因此初值的选取 很重要。 对于有专业背景的问题，初值可以按条件选择，对于 没有经验的问题，可以用图解法和计算机试算搜索法 初估近似解。
ba ε k 2
lnb a ln ε k
ln 2
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一 个满足 f (ak)· f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区 间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)· f (b) < 0 。
(2)
其中p为饱和蒸气压，单位为mmHg，T为温度，单位为K，A、B、 C、D为已知系数。要想得到某一温度下的饱和蒸气压，直接利用公式 (2) 是无法得到的。因为公式 (2) 两边都有未知变量，并且无法用解析 的方法求解，必须用数值计算的方法求解。 通过上面的一些例子，我们可以发现，如果没有适当的手段和办法来 求解非线性方程，那么化学化工中的许多研究、设计等工作将无法展 开，这势必影响化学化工的发展，下面我们将介绍一些实用的非线性 方程求解方法，并提供计算机程序。
0 a b x
0
a
a+2h
b
x
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3. 实根的对分法
对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方 法。设函数 f(x) 在 [a,b]上连续，且 f(a)f(b)<0，则f(x) 在 [a,b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是使 用对分法的前提条件。计算中通过对分区间，逐步缩小 区间范围的步骤搜索零点的位置。 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实 根，但又不满足 f(a)f(b)<0，这时，我们必须通过改变a和 b的值来满足二分法的应用条件。
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3. 实根的对分法
计算f(x)=0的一般计算步骤如下：
1、输入求根区间[a,b]和误差控制量 ε ，定义函数f(x)。 2、判断: 如果f(a)f(b)<0则转下，否则，重新输入a和b的值。 3、计算中点 x=(a+b)/2以及f(x)的值 分情况处理: （1）|f(x)|< ε :停止计算x*=x，转向步骤4 （2）f(a)f(x)<0：修正区间[a,x]→[a,b]，重复3 （3）f(x)f(b)<0：修正区间[x,b]→[a,b]，重复3 4、输出近似根x*。 右图给出对分法的示意图。
| xk 1 xk | | g( xk ) g( xk 1 ) | | g( ξ k )( xk xk 1 ) |
k L | xk xL | ...... L | x1 x0 | k 1 越 小 收敛越快
⑥ lim
k
lim
k
x * x k 1 g( ξ k )( x * xk ) lim g( x*) k x * xk x * xk
1
0.5
2 i 18.7 (1) 1.74 2 lg 0.5 Re di
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1. 化工实际问题的提出
这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经常碰 到。当我们已知雷诺数Re，如何根据公式 (1) 求出摩擦 系数 λ，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。 对于方程 (1) 而言，无法用解析的方法求出摩擦系数， 只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松弛迭 代法，假设： 0.5 2ε 1 0 x , i 0.1,Re 5000,x 0, 0.5 di 则利用松弛迭代公式可得：
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
令 f ( x ) g( x ) x
f ( x ) 有根
a g( x ) b
f ( a ) g(a ) a 0 , f ( b ) g ( b ) b 0