利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
非线性方程组的求解方法及其应用
非线性方程组的求解方法及其应用非线性方程组是数学中一类非常重要的问题，其中每个方程都不是线性的。
与线性方程组不同，非线性方程组的求解通常需要借助于数值方法。
本文将讨论一些常见的非线性方程组求解方法，并介绍它们在实际应用中的一些应用。
1. 牛顿法牛顿法是一种非常常见的非线性方程组求解方法。
该方法基于牛顿迭代法原理，将非线性方程组转化为一系列的线性问题。
牛顿法的基本思想是：通过不断地使用一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程组的解。
具体地说，在每一轮迭代中，求解一个方程组：$$F(x^{k})+J(x^{k})\Delta x^{k} =0$$其中$F(x)$表示非线性方程组，$x^k$表示第$k$轮迭代的解，$J(x^k)$表示$F(x)$在$x^k$处的雅可比矩阵，$\Delta x^k$表示下降方向，满足$\|\Delta x^k\|\rightarrow 0$。
值得注意的是，牛顿法在每轮迭代中都需要求解一次雅可比矩阵，这需要大量的计算资源。
因此，在实际应用中，牛顿法通常只适用于相对较小的方程组。
2. 信赖域方法相比于牛顿法，信赖域方法更具有通用性。
信赖域方法的基本思想是：在每轮迭代中，通过构造二次模型来逼近目标函数，并在一个信赖域内搜索下降方向。
具体地说，我们在每轮迭代中将非线性方程组$F(x)$在$x^k$处转化为二次模型：$$m_k(\Delta x)=F(x^k)+\nabla F(x^k)^\top \Deltax+\frac{1}{2}\Delta x^\top B_k\Delta x$$其中，$\nabla F(x^k)$是$F(x)$在$x^k$处的梯度，$B_k$是二阶导数信息。
在这里我们假设$B_k$为正定矩阵。
显然，我们希望在$m_k(\Delta x)$的取值范围内找到一个适当的$\Delta x$，使得$m_k(\Delta x)$最小。
因此，我们需要设定一个信赖域半径$\Delta_k$，并在$B_k$所定义的椭圆范围内查找最优的$\Delta x$。
非线性方程组求根的牛顿迭代法
二元非线性方程组求根的牛顿迭代法摘要:本文根据一元函数的Taybr 公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上,通过MA TLAB 仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。
关键词:牛顿迭代法;一元函数;二元函数; Taybr 公式; Matlab 0 引言非线性方程()0f x =的数值解法有逐步搜索法、区间二分法、迭代法、牛顿迭代法等, 那么, 对于对于非线性方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩,其牛顿迭代法的迭代方程是什么? 本文根据一元函数的Taybr 公式和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法,在此基础上利用推导出的二元非线性方程组求根的牛顿迭代法通过matlab 仿真计算出一个方程组的根,检验了所得方法的有效性。
1 基本定理、结论定理1 (一元函数的Taybr 公式)如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直(1)n +阶的导数,则对任一(,)x a b ∈ ,有()20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中()n R x = ()(1)10()()1!n n f x x n ξ++-+,这里ξ是0x 与x 之间的某个值。
定理2 (二元函数的Taybr 公式)设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到(1)n +阶的连续偏导数,00(,)x k y k ++为此邻域内任一点,则有2000000001(,)(,)(,)(,)...2!f x k y k f x y h k f x y h k f x y x y x y αααααααα⎛⎫⎛⎫++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1000011(,)(,)!(1)!n n h k f x y h k f x k y k n x y n x y ααααθθαααα+⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,(01)θ<<. 其中00(,)mh k f x y x y αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭表示00(,)0m mp p m pm x y p m p p f C h k x y --=∂∂∂∑定理3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法设已知方程f ( x) = 0有近似根k x (假定f ′(k x ) ≠0,将函数f ( x)在点kx 处展开,有f ( x)≈ f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) ,于是方程f ( x) = 0可近似的表示为f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) = 0这是个线性方程,记其根为k x + 1 ,则k x + 1的计算 公式为1()()k k k k f x x x f x +=-'( k = 0, 1, …) 2 二元函数的牛顿迭代法设z = f ( x, y)在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数,00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则有000000(,)(,)(,)(,)x x y y f x h y k f x y h f x y kf x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭于是方程f ( x, y) = 0可近似的表示为(,)(,)(,)0k kk k x x y y f x y h f x y kf x y x y==⎛⎫∂∂++= ⎪∂∂⎝⎭即(,)()(,)()(,)0k k k k k k k k k k f x y x x f x y y y f x y +-+-=同理设z = g ( x, y )在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数, 00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则同样有000000(,)(,)(,)(,)x x y y g x h y k g x y h g x y kg x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭其中00,h x x k y y =-=-于是方程g ( x, y) = 0可近似的表示为,()(,)(,)0k kk k x x y y g x y h g x y kg x y xx==⎛∂∂⎫++= ⎪∂∂⎝⎭即()(,)(),()(,)0k k k x k k k y k k g x y x x g x y y y g x y +-+-=于是得到方程组,,,,,,()()()()()0()()()()()0k k k y k k k y k k k kk y k k k y k k f x y x x f x y y y f x y g x y x x g x y y y g x y +-+-=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩ 求解这个方程组:当,,,,()()()()0x k k y k k x k k x k k g x y f x y f x y g x y +-≠时 x =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x g x y f x y f x y g x y +-+-y =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k x k k k k x k k k x k k y k k x k k y k k g x y f x y f x y g x y y g x y f x y f x y g x y +-+-从而:,,,,,,,,,,,,,,,,()()()()+()()()()()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k k k x k k k k x k k kx k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x x g x y f x y f x y g x y g x y f x y f x y g x y y y g x y f x y f x y g x y +-⎧=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩记符号,(),,,,()()()()k k x x x y k k x k k k k x k k gf fg g x y f x y f x y g x y -=- ,(),,,,()()()()k k y y x y k k y k k k k y k k fg gf f x y g x y g x y f x y -=- ,(),,,,()()()()k k x y x yx y x k k y k k x k k y k k g f f g g x y f x y f x y g x y -=-又可改写为,,,,()()()()k k k k k k k k y y x y k x y x y x y x x x y k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩迭代公式为:,,,,()1()()1()k k k k k k k k y y x y k k x y x y x y x x x y k k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ++⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩通过迭代公式可迭代出当k = 1, 2, …时,,()k k x y 的值,当1,1()(0k k x y δδ++≤>为给定的误差控制项)时, 原方程组的根即为,()k k x y 。
数值分析8牛顿迭代法解非线性方程组
) (x x
) (x x
(0)
)
f1 x
f2 x
(y y
(y y
(0)
)
f1 y
f2 y
0
0
f2( x
(0)
,y
(0)
(0)
)
(0)
)
G X
f1 x G f 2 x f1 y f 2 y
u 11 u 12 u 22
1 m 21 A m n1
1 m n ,n 1
1
u 11
u 12 u 22
u1 n u n 1,n u nn
1
d2
dn
1
l 21 1
l n1 ln2 1
a1n a 2n a nn
d2 ln2d 2
dn
l 21 1
yj x 0
2
j
( j = 1,2,··· ) ··,n ··
2
三对角方程组
2 h2 1 1 2h
2
y j1 ( 2 h ) y j y j1 x j h
1 2 2h y1 x1 y2 x2 h 2 y n1 x n1 y x n n
a kk a nk
工作量: n(n – 1)(n + 4)/3
12/18
例 . LDLT分解
1 A 2 1
牛顿下山法求非线性方程组解
《MATLAB 程序设计实践》课程考核1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。
（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年）“牛顿下山法求非线性方程组解”解：算法说明：牛顿下山法的迭代公式：())()(11n n n n x F x F w x x -+-=w 的取值范围为10≤w ，为了保证收敛，还要求w 的取值使得：())(1n n x F x F +可以用作次减半法来确定w 。
为了减少计算量，还可以用差商来代替偏导数。
在MA TLAB 中编程实现的非线形方程组的牛顿下山法的函数：mulDNewton 。
功能：用牛顿下山法求非线形方程组的一个解。
调用格式：[]),0(,eps x mulDNewton n r = 其中， x0为初始迭代向量Eps 为迭代精度；r 为求出的解向量n 为迭代步数。
牛顿下山法的MATLAB 代码如下：function [r,n]=mulDNewton(x0,eps) %牛顿下山法求非线形方程组的一个解 %初始迭代向量：x0 %迭代精度：eps %解向量： r %迭代步数：n if nargin==1 eps=1.0e-4;%输入的自变量的数目为1个时，精度定为eps=1.0e-4 endr=x0-myf(x0)/dmyf(x0); %当n=1时，取w=1 n=1; tol=1;%初始n 和tol 的值 while tol>eps x0=r; ttol=1; %初始ttol 的值 w=1;%初始w 的值，w 就是下山因子alpha F1=norm(myf(x0)); while ttol>=0r=x0-w*myf(x0)/dmyf(x0); ttol=norm(myf(r))-F1; w=w/2; endtol=norm(r-x0); n=n+1; if (n>100000)disp('迭代步数太多，可能不收敛！'); return ; end end举例说明：牛顿下山法求下面方程组⎩⎨⎧=--=-+0sin 1.0cos 5.00)cos(1.0sin 5.02211211x x x x x x x 的根，其初始迭代值取（0,0）。
高斯牛顿迭代法解方程组
高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的基本原理、步骤和应用场景。
一、高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法是利用泰勒展开式对非线性方程组进行近似线性化处理，然后通过迭代逼近的方法求解方程组的解。
其基本思想是通过线性化的近似，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后利用线性方程组的解逐步逼近非线性方程组的解。
二、高斯牛顿迭代法的步骤1. 初始化：给定初值向量x0和迭代误差精度ε。
2. 迭代计算：根据当前的估计解xk，计算出近似的雅可比矩阵Jk 和残差向量rk。
3. 判断终止条件：若rk的范数小于等于设定的误差精度ε，则停止迭代，输出近似解xk；否则，进行下一步迭代。
4. 更新迭代：根据当前的估计解xk和雅可比矩阵Jk，计算更新量Δxk。
5. 更新解向量：更新当前的估计解xk+1 = xk + Δxk。
6. 回到步骤2，继续迭代计算，直到满足终止条件。
三、高斯牛顿迭代法的应用场景高斯牛顿迭代法广泛应用于科学和工程领域的各种问题求解，特别适用于非线性最小二乘问题的求解。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据拟合：在实际问题中，常常需要根据一组观测数据拟合出一个数学模型。
高斯牛顿迭代法可以通过最小化观测数据与模型之间的误差，来确定最优的模型参数。
2. 图像处理：高斯牛顿迭代法可以用于图像处理中的图像恢复、图像去噪、图像分割等问题的求解。
例如，在图像恢复中，可以利用高斯牛顿迭代法求解出最佳的恢复图像。
3. 机器学习：高斯牛顿迭代法可以用于机器学习中的参数估计和模型训练。
例如，在逻辑回归中，可以使用高斯牛顿迭代法来求解最优的模型参数。
4. 无线通信：高斯牛顿迭代法在无线通信系统中的信道估计、自适应调制等问题的求解中得到广泛应用。
通过迭代计算信道的状态信息，可以提高通信系统的性能。
高斯牛顿迭代法是一种强大的数值计算方法，可以有效地求解非线性方程组。
计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程
a xk 1
2
ek 1 从迭代法则得知： lim p 0时，该迭代式在 x* 的 k e k 附近 p 阶收敛的。
因此，xk 1 体收敛于 1 a xk 在 (0, ) 上以 2 阶速度整 2 xk a。
西南科技大学 制造科学与工程学院
计算方法（2016/2017 第一学期）
8
例题
例：给出计算 a 的牛顿迭代公式，并计算 3 。
计算方法（2016/2017 第一学期）
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制造科学与工程学院
9
例题
解：设方程 f ( x) x 2 a 0 ，则 f ( x ) 2 x ， 代入牛顿迭代公式可得 2 xk a 1 k f ( xk ) xk xka xk 1 xk 1 xk xk xk 0 f ( xk ) 1.50000000000000 2 xk 2 xk 1.75000000000000 0.25 当 a=3 1 时，迭代公式为
所示。
1 1.66667 6
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计算方法（2016/2017 第一学期）
12
例题
例：用牛顿迭代法计算 1/1.2345。
计算方法（2016/2017 第一学期）
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13
例题
1 1 解：将 x 转化为 f ( x ) a 0 ，a 1.2345 a x
收敛于 a ，且收敛速度是 2 阶的。
计算方法（2016/2017 第一学期）
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数值分析 数值分析 Newton迭代法求解非线性方程实验
}//计算出u[i][j]并输出.
第二部分 for(i=k+1;i<n;i++)
{s=0.0;
for(r=0;r<k-1;r++)
{s=s+l[k][r]*u[r][k];}
l[i][k]=(a[i][k]-s)/u[k][k];
printf("%Lf\n",l[i][k]);
{s=0.0;
for(r=0;r<k-1;r++)
{s=s+l[k][r]*u[r][k];}
l[i][k]=(a[i][k]-s)/u[k][k];
printf("l[%d][%d]%Lf\n",i,k,l[i][k]);}
}
}
六、实验结果
七、上机实验体会
在这个试验中同样叶出现了很多问题，对L，U的求解输出中，输出的位置的不同，结果也就会出差错.经过多次调整，结果总算输出了.
通过此次试验，我理解了多重循环的运用，并了解了古人的聪明智慧，]讲将复杂问题简单化，现在的大学生们，应该学习他们的创新及钻研精神。
for(k=0;k<n;k++)
{for(j=k;j<n;j++)
{s=0.0;
for (r=0;r<k-1;r++)
{s=s+l[k][r]*u[r][j];}
u[k][j]=a[k][j]-s;
printf("u[%d][%d]=%Lf\n",k,j,u[k][j]); }
for(i=k+1;i<n;i++)
Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。
迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。
正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。
若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。
如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。
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xi k 1
xi k
xi k i 1,2, , n
（3-7 ）
则式（ 3-6 ）可写为
xk
F' xk
1
F
xk
（3-8 ）
或
xk 1
xkHale Waihona Puke F' xk1
F
xk
（3-9 ）
称式（ 3-9 ）为求解非线性方程组（ 3-2 ）的牛顿迭代法，而线性方程
组（ 3-4 ）称为牛顿方程组。
三、 算法描述
（1） 在真实根 x 附近选取一个近似根 x1；
x
(4 2
)
1.6615
所以取迭代次数为 3，且可取（1.2343 ，1.6615 ）为非线性方程组（4-1 ）
的近似解。
五、心得体会：
通过学习，我们认识到牛顿迭代法是求解非线性代数方程组的一
种简单而有效的方法。 我们通过将非线性代数方程组的系数矩阵求导
来使方程组线性化， 从而求得方程组的近似解。 牛顿迭代法的优点是
（3-3 ）
F x 0 成为向量函数。
设
x1k
,
x
k 2
,
,
x
k n
是方程组（ 3-2 ）的一组近似解，把它的左端
在
x1k
,
x
k 2
,
, xnk 处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部
分，便得方程组（ 3-2 ）得近似方程组
f1 x1k , x2k , , xnk f 2 x1k , x2k , , xnk
收敛速度快，但每次都要求导，求逆，计算量大。
在这段学习的过程中，感谢王老师给予我们耐心而清晰的讲解，
使我们掌握了一些数值分析的基本方法， 学有收获。 我感到这些数学
方法在我们今后的实际工作和学习中有非常重要的作用。 因此，再次
感谢老师给予的帮助！
（6）再通过 x3 求出 f(x 3)，…一直求下去，直到接近真正的根。当两
次求出的根之差 |xn+1-xn| ≤就ε认为 xn+1 足够接近于真实根。
牛顿迭代公式是：
xn 1 xn
f (xn) f ' (xn )
程序流程图 ：
运行 NT 程序 → 求非线性方程组的雅克比矩阵 → 代入牛顿迭代公
式 → 输出解
f1
f1
f1
x1
x2
xn
f2
f2
f2
x1 x2
xn
（3-5 ）
fn
fn
fn
x1 x2
xn
非奇异，则可解得
f1
f1
x1k
x1 x2
x2k
f2
f2
x1 x2
xnk
fn
fn
x1 x2
1
f1
xn
f1
f2 xn
f2
fn
fn
xn
（ 3-6 ）
矩阵（ 3-5 ）称为向量函数 F x 的 Jacobi 矩阵，记作 F ' x 。又记
f n x1k , x2k , , xnk
n f1 x1k , x2k ,
j1
x
, xnk
x
k j
0
n f 2 x1k , x2k ,
j1
x
, xnk
x
k j
0
（3-4 ）
n f n x1 k , x2k , , xnk
j1
x
x
k j
0
这是关于 xi k xi xi k i 1,2, ,n 的线性方程组，如果它的系数矩阵
四、 举例
例：是用牛顿迭代法求解下列方程组：
2 x13 x22 1 0
x1
x
3 2
x2
4
0
初始值为
(
x1(0
)
,
x( 0) 2
)
(1.6,1.5) 。
(4-1)
运行 Newton程序得：
x1(2) 1.2366
x
(2 2
)
1.6593
x1(3) 1.2343 x2(3) 1.6615
x1(4) 1.2343
数线性化。下面我们具体讨论线性化过程：
令：
f1 x
x1
0
Fx
f 2 x , x x2 , 0 0
fn x
xn
0
则非线性方程组（ 3-2 ）
（3-1 ）
f1 x1 , x2 , , xn 0 f 2 x1 , x2 , , xn 0
f n x1 , x2 , , xn 0
可写为向量形式
（3-2 ）
Fx 0
（ 2） 通过 x1 求出 f(x 1)。
（3）过 f(x 1)作 f(x) 的切线，交 x 轴于 x2。假设 x1 ，x2 很接近，可
以用公式求出 x2。由于 f ' ( x1 )
f ( x1 ) 故 x2
x1 x2
x1
f ( x1 ) f ' (x1)
（ 4）通过 x2 求出 f(x 2)； （5）再过 f(x 2)作 f(x) 的切线交 x 轴于 x3；
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
一、 问题描述
在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问
题。由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。牛顿迭代法
是求解非线性方程组的有效方法。下面具体对牛顿迭代法的算法
进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。
二、 算法基本思想
牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函