解非线性方程组的迭代解法
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
牛顿迭代法解非线性方程（组）
牛顿迭代法解非线性方程（组）在辨识工作中，常常需要对辨识准则或者判据进行求极值，这往往涉及到求非线性方程（组）的解问题。
牛顿迭代法是一种常用方法。
下面把自己对牛顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以方程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。
所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第一次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有人问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*比较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
【文献综述】非线性方程组的迭代解法
文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。
数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。
它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。
80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。
近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。
特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。
利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。
非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。
并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。
由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。
而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。
第9章 2-非线性方程组的迭代解法
lim xk +1 = lim ( xk )
k →∞ k →∞
α = (α )
之根， 即α是 f ( x) = 0之根，故当 k充分大时, xk +1可作为近似值
2.迭代法的收敛性 迭代法的收敛性
定理3.1 设迭代函数 ( x )在[ a , b ]上连续, 且满足
( 1 ) 当 x ∈ [ a , b ]时 , a ≤ ( x ) ≤ b ;
k = 0,1,
( 0) T 计算结果列于表1， 取初始点 x = (0,0) 。 计算结果列于表 ， 可见迭代收敛到方 * T 程的解 x = (1,1)
表 1 k
x1( k )
( x 2k )
0 0 0
1
0.8 0.8
2
0.928 0.931
… … …
18
0.999999972 0.999999972
9.3 非线性方程组的迭代解法
含有n个未知数的 个方程的非线性方程组为 含有 个未知数的n个方程的非线性方程组为 个未知数的
F ( x) = 0
T 维列向量， 其中 x = ( x 1 , x 2 , x n ) 为n维列向量， 维列向量
(1)
F ( x ) = ( f 1 ( x ), f 2 ( x ), f n ( x ))T
故 至 少 有 一 个 根 x * ∈ [ a , b ], 使 由 g (x * ) = 0, | ′ ( x ) |≤ L < 1 g ′ (x ) = 1 ′ (x ) > 0 b ] 上 根 唯 一 .即
则 g (x ) 递 增 , 故 g (x ) = 0 在 [ a, x = (x ) 在 [ a,
定义3.2 设有函数 Φ : D R → R 若 Φ ( x) ∈ D, x ∈ D 则称 Φ (x)在 定义 上是映内的， D上是映内的，记做Φ ( D ) D，又若存在常数 L ∈ ( 0 ,1 ) ，使得
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
第三组：非线性方程迭代解法
一：非线性方程的基本迭代方法简单迭代法非线性方程的一般形式f(x)=0 其中f(x)是一元非线性函数。
若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程的根。
把方程转化为其等价的方程)(x x ϕ=，因而有)(s s ϕ=。
选定s 的初始近似值0x ，用迭代公式)(1k k x x ϕ=+，得到}{k x 收敛于s ，就求出了方程的解。
收敛性：)(s s ϕ=,)(x ϕ'在包含s 的某个开区间内连续。
如果|)(x ϕ'|<1则存在δ>0，0x ∈[s-δ,s+δ]时，由该迭代函数产生的迭代法收敛。
收敛速度：（}{k x 收敛于s ，k e 为s 与k x 的差值绝对值，则c e e r k k k =+∞→1lim，c 是常数，则该迭代是r 阶收敛）Newton 法为了使迭代的收敛速度更快，应尽可能使)(x ϕ在s 处有更多阶的导数等于零。
令)(x ϕ=)()(x f x h x +,)(x h 为待定函数，已知)(s ϕ'=0，推出)(x h =)(1x f '-。
这就得出了牛顿法的迭代形式 )()(1k k k k x f x f x x '-=+，（k=0、1、···） 牛顿法是二阶收敛的迭代方法，但是牛顿法的是局部收敛的，因此要求初值要靠近根。
求解中，对于每一个k 都要计算)(k x f '，而导数的计算比较麻烦，否则会产生很大误差。
割线法 在牛顿法基础上，用11)()(----k k k k x x x f x f 来代替)(k x f '，其中1-x 、0x 预先给定。
得到了割线法的迭代形式 )()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x ，（k=0、1、···） 割线法的收敛速度至少为1.618这样就避免了牛顿法求导数的繁琐程序单点割线法单点割线法就是在割线法的基础上，用))(,(00x f x 代替))(,(11--k k x f x ，得到的迭代形式 )()()(001k k k k k x f x f x f x x x x ---=+，（k=1、2、···） 单点割线法是一阶收敛的方法，它比割线法初值要少取一个点更加容易选取初值二：非线性方程的迭代解法的拓展修正的Chebyshev 法思想：将函数)(x f 在k x 处进行泰勒展开既 +-''+-'+≈!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f ，如果)(x f ≠0，先取线性部分来代替原来函数，既)(x f =)(k x f +))((k k x x x f -'=0，得到k x x -=)()(k k x f x f '-； 再用二次多项式部分代替原函数，既!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f -''+-'+==0，合并这两次的结果得到)()()))((2)()(1(2k k k k k k x f x f x f x f x f x x ''''⋅+-=，令1+=k x x ，得到就得到了新的迭代公式，这就是Chebyshev 方法的思想，该方法的迭代公式具有三阶收敛速度。
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
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则 方 程 组 可 表 示 为 F () x
（ 4 . 2 . 2 ）
n n n 其 中 ， F : D RR 是 定 义 在 区 域上 D R 的 向 量
值 函 数 。
* * * 若 存 在使 xD ,F () x ， 则 称 x 是 方 程 组 ( 4 . 2 . 1 ) 或
§4.2 非线性方程组的迭代解法
§4.2.1 预备知识 一、一般非线性方程组及其向量表示法
含 有 n 个 方 程 的 n 元 非 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式 为
(x ,x , ,x ) 0 f 1 1 2 n f (x,x, ,x ) 0 2 1 2 n (x ,x , ,x ) 0 n 1 2 n f
f ( xe ) f ( x ) f ( x ) 从 而 l i m lx ( ) , j 1 , 2 , , n x
0
j 0 j
f ( xe ) f ( x ) lx ( ) j j l i m 0 , j1 , 2 , , n
成 立 ， 则 称 f 在 x 处 可 微 ， 向 量 l ( x ) 称 为 f 在 x 处 的 导 数 ，
记 为 ： f ( x ) l ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 f 在 D 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 f 在 D 内 可 微 。
n 定 理 1 若 f : DR R 在 x i n t ( D ) 处 可 微 , 则 f 在 x 处 f 关 于 各 自 变 量 的 偏 导 数( j 1 , 2 , , n ) 存 在 ， 且 有 x j
f (x ) f1(x ) f1(x ) 1 x x x 1 2 n fi(x ) (x F ) x j n n ) fn(x ) fn(x ) fn(x x x x 1 2 n
( 4 . 2 . 2 ) 的 解 。
二、多元微分学补充
n 定 义 1 设 f ： D R R ， x i n t () D ( 即 x 是 D 的 内 点 ) ， n 若 存 在 向 量 l () x R , 使 极 限
T f ( x h ) -( f x ) l ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 3 ) h θ h
称 为 F 在 x 处 的 J a c o b i 矩 阵 。
证 明 ： 由 于 F ( x ) f ( x ) , f ) ( x , , f ( x ) , 所 以 ， 存 在 定理 12 n
T
n 向 量 lx () R , 使 极 限 i
2证 fx ( h ) -( f x ) -( lx ) h 明 l i m 0 i 1 , 2 , , n
( 4 . 2 . 1 )
n 其 中 ， f ( i 1 , 2 , ,) n 是 定 义 在 区 域 D R 上 的 n 元 实 i
值 函 数 ， 且 f 中 至 少 有 一 个 是 非 性 性 函 数 。 i
令 x x , x , , x F () x fx () , fx () , , fx () ， , 1 2 n 1 2 n
T i i h θ
h
n n 成 立 ， 与 存 在 矩 阵 A ( x ), R 使 ( 4 . 2 . 4 ) 式 成 立 是 等 价 的 ， T T T T 并 且 A ( x ) l ( x ) , l ( x ) ,, l ( x ) , 即 1 2 n f ( x ) ( i 1 , 2 , , n ) 在 x 处 可 微 是 F ( x ) 在 x 处 可 微 的 充 分 必 i
定理1
说明：
f f f f (x ) , , , x x x 1 2 n
T
o 1 f在 x处 的 导 数 f (x ) 又 称 为 f在 x处 的 梯 度 ， 可 记
为 g r a d f(x ) 或 f(x ) ；
o 2 梯 度 f(x ) 存 在 只 是 函 数 f在 x 处 可 微 的 必 要 条 件 而 非
f f f 存 在 ， 且 有 fxl ( ) ( x ) , ■ , , xx x 1 2 n
T
向量值函数的可微性
n n A () ： D R R ， x i n t ( D ) ， 若 存 在 矩 阵
F ( x h ) F ( x ) A ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 4 ) h θ h
成 立 ， 则 称 Fx 在 处 可 微 ， 矩 阵 A ( x ) 称 为 Fx 在 处 的 导 数
记 为 F ( x ) A ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 FD 在 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 FD 在 内 可 微 。
充 分 条 件 。
定理1证明 证 明 ： 记 l ( x ) l ( x ) , l ( x ) , , l ( x ) , 取 h e ( 实 数 12 n j
j
T
0 , e 是 n 维 基 本 单 位 向 量 ) ,( 由 于 4 . 2 . 3 ) 成 立 ， 故 有 j
n n 定理 2值 定 理 2 设 FD : R R 为 向 量 函 数 , 则 F 在 x i n t ( D )
处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 F 的 所 有 分 量 f ( i 1 , 2 , , n ) 在 i x 处 可 微 ； 若 F 在 x 处 可 微 , 则 有