解非线性方程组的迭代解法
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
牛顿迭代法解非线性方程（组）
牛顿迭代法解非线性方程（组）在辨识工作中，常常需要对辨识准则或者判据进行求极值，这往往涉及到求非线性方程（组）的解问题。
牛顿迭代法是一种常用方法。
下面把自己对牛顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以方程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。
所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第一次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有人问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*比较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
【文献综述】非线性方程组的迭代解法
文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。
数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。
它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。
80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。
近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。
特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。
利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。
非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。
并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。
由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。
而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。
第9章 2-非线性方程组的迭代解法
lim xk +1 = lim ( xk )
k →∞ k →∞
α = (α )
之根， 即α是 f ( x) = 0之根，故当 k充分大时, xk +1可作为近似值
2.迭代法的收敛性 迭代法的收敛性
定理3.1 设迭代函数 ( x )在[ a , b ]上连续, 且满足
( 1 ) 当 x ∈ [ a , b ]时 , a ≤ ( x ) ≤ b ;
k = 0,1,
( 0) T 计算结果列于表1， 取初始点 x = (0,0) 。 计算结果列于表 ， 可见迭代收敛到方 * T 程的解 x = (1,1)
表 1 k
x1( k )
( x 2k )
0 0 0
1
0.8 0.8
2
0.928 0.931
… … …
18
0.999999972 0.999999972
9.3 非线性方程组的迭代解法
含有n个未知数的 个方程的非线性方程组为 含有 个未知数的n个方程的非线性方程组为 个未知数的
F ( x) = 0
T 维列向量， 其中 x = ( x 1 , x 2 , x n ) 为n维列向量， 维列向量
(1)
F ( x ) = ( f 1 ( x ), f 2 ( x ), f n ( x ))T
故 至 少 有 一 个 根 x * ∈ [ a , b ], 使 由 g (x * ) = 0, | ′ ( x ) |≤ L < 1 g ′ (x ) = 1 ′ (x ) > 0 b ] 上 根 唯 一 .即
则 g (x ) 递 增 , 故 g (x ) = 0 在 [ a, x = (x ) 在 [ a,
定义3.2 设有函数 Φ : D R → R 若 Φ ( x) ∈ D, x ∈ D 则称 Φ (x)在 定义 上是映内的， D上是映内的，记做Φ ( D ) D，又若存在常数 L ∈ ( 0 ,1 ) ，使得
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
第三组：非线性方程迭代解法
一：非线性方程的基本迭代方法简单迭代法非线性方程的一般形式f(x)=0 其中f(x)是一元非线性函数。
若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程的根。
把方程转化为其等价的方程)(x x ϕ=，因而有)(s s ϕ=。
选定s 的初始近似值0x ，用迭代公式)(1k k x x ϕ=+，得到}{k x 收敛于s ，就求出了方程的解。
收敛性：)(s s ϕ=,)(x ϕ'在包含s 的某个开区间内连续。
如果|)(x ϕ'|<1则存在δ>0，0x ∈[s-δ,s+δ]时，由该迭代函数产生的迭代法收敛。
收敛速度：（}{k x 收敛于s ，k e 为s 与k x 的差值绝对值，则c e e r k k k =+∞→1lim，c 是常数，则该迭代是r 阶收敛）Newton 法为了使迭代的收敛速度更快，应尽可能使)(x ϕ在s 处有更多阶的导数等于零。
令)(x ϕ=)()(x f x h x +,)(x h 为待定函数，已知)(s ϕ'=0，推出)(x h =)(1x f '-。
这就得出了牛顿法的迭代形式 )()(1k k k k x f x f x x '-=+，（k=0、1、···） 牛顿法是二阶收敛的迭代方法，但是牛顿法的是局部收敛的，因此要求初值要靠近根。
求解中，对于每一个k 都要计算)(k x f '，而导数的计算比较麻烦，否则会产生很大误差。
割线法 在牛顿法基础上，用11)()(----k k k k x x x f x f 来代替)(k x f '，其中1-x 、0x 预先给定。
得到了割线法的迭代形式 )()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x ，（k=0、1、···） 割线法的收敛速度至少为1.618这样就避免了牛顿法求导数的繁琐程序单点割线法单点割线法就是在割线法的基础上，用))(,(00x f x 代替))(,(11--k k x f x ，得到的迭代形式 )()()(001k k k k k x f x f x f x x x x ---=+，（k=1、2、···） 单点割线法是一阶收敛的方法，它比割线法初值要少取一个点更加容易选取初值二：非线性方程的迭代解法的拓展修正的Chebyshev 法思想：将函数)(x f 在k x 处进行泰勒展开既 +-''+-'+≈!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f ，如果)(x f ≠0，先取线性部分来代替原来函数，既)(x f =)(k x f +))((k k x x x f -'=0，得到k x x -=)()(k k x f x f '-； 再用二次多项式部分代替原函数，既!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f -''+-'+==0，合并这两次的结果得到)()()))((2)()(1(2k k k k k k x f x f x f x f x f x x ''''⋅+-=，令1+=k x x ，得到就得到了新的迭代公式，这就是Chebyshev 方法的思想，该方法的迭代公式具有三阶收敛速度。
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
解非线性方程组的牛顿迭代法
3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
19
计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字， 而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
20
7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外 还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往 往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.
的导数为
(x) x f (x)
f (x)
(x*) 1 1 0
m
且 (x*) 1，所以牛顿法求重根只是线性收敛. 若取
16
(x) x m f (x) ,
f (x)
则 (x*) 0
. 用迭代法
xk 1
xk
m
f ( xk ) f (xk )
(k 0,1,)
7.5.1 弦截法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的 近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk
f xk 1
xk 1
10
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
非线性方程组的迭代解法
4.2 非线性方程组的迭代解法 一、 一般概念1.非线性方程组的一般形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212211x x x fx x x f x x x f n nn n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()()(21x f x f x f x F n则向量形式如下：0)(=x F2.解非线性方程组的方法 （1）简单迭代法（2）线性化方法（即Newton 法）（3）求函数极小值的方法（即最速下降法） 二、简单迭代法RR nn x F →:)(把方程组：F （x ）=0 改写成等价形式，即)19.4)((0)(x G x x F =⇔=适当选取初始向量D x ∈0，利用上述的等价形式，构成迭代公式：)20.4(,2,1,0),()()1( ==+k x G xk k其中G （x ）为迭代函数 2.收敛性(1)非局部收敛定理（压缩映象原理）定理4.13 设G:R R nn D −→−⊂在闭区域D D⊂0上满足条件：（1）G 把D0映入自身， （2）G 在D0上是压缩映射，则有下列结论：（1）对任取的D x 0)0(∈,由迭代公式4.20产生的序列{}D x k 0)(∈，且收敛于方程组4.19在D0内的唯一解（2）成立误差估计式xxL x x L kk )0()1()(*1--≤- xx L xxk k kk L)1()()(*1---≤-下面给出简单迭代法（4.20）局部收敛定理定理4.14 设G:R R nn D −→−⊂，)int(*D x ∈是方程组4.19的解，G 在x *处可微。
若()xG *'的谱半径()()1*<'x G ρ,则存在开球{}D x x x D⊂<<-=0,*δδ，使对任意的D x0)0(∈，由迭代法4.20产生的序列{}D x k 0)(∈且收敛于x*。
注：（1）但是对于线性方程组来说，上述定理成为全局收敛性定理，而不是局部收敛性定理。
第六章非线性方程组的迭代解法
第六章非线性方程组的迭代解法6.3 一元方程的常用迭代法6.3.1 Newton迭代法6.3.2 割线法与抛物线法第六章非线性方程组的迭代解法设x*是方程f(x)=0的实根，是一个近似根，用Taylor展开式有,)(2)())(()()(02*"*'*k k k k x x f x x x f x f x f −+−+==ξ*xx k ≈k x 这里假设存在并连续。
若，可得)(''x f 0)('≠k x f ,)()(2)()()(2*'"'*k k k k k x x x f f x f x f x x −−−=ξ（6.3.1）其中。
若（6.3.1）的右端最后一项忽略不记，作为x*新的一个近似值，就有之间与在k x x *ξ)()('1k k k k x f x f x x −=+，k=0,1,…，（6.3.2）这就是Newton 迭代法。
6.3.1 Newton 迭代法第六章非线性方程组的迭代解法对（6.3.2）可作如下的几何解释：为函数f(x)在点处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton 迭代法也称为切线法.k x 1+k x Y1+k x *xy=f(x))(k x f kxX将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有,)()()('x f x f x x −=ϕ2'"')]([)()()(x f x f x f x =ϕ所以有Newton 迭代法是超线性收敛的。
更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2)可得下面的定理.)0)((,0)(*'*'≠=x f x ϕ第六章非线性方程组的迭代解法定理6.5, 且f(x)在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则Newton 迭代法（6.3.2）至少二阶收敛，并且0)(,0)(*'*≠=x f x f 设.)(2)()(*'*"2**1lim x f x f x x x x k k k =−−+∞→以上讨论的是Newton 法的局部收敛性。
迭代法解非线性方程
%牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点
%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的 精度,root函数的零点 function [root,n]=newton2(f,a,b,e) %牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的 精度,root函数的零点,n迭代次数
D { x x x * }内 ( x ) 存在一阶连续的导数，
那么 (1)当 x D , | ' ( x ) | 1 时,迭代公式 xk 1 ( xk ) 是局部收敛的； (2)当 x D , | ' ( x ) | 1 时,迭代公式 xk 1 ( xk ) 是发散的。
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求解非线性方程的迭代法
3.弦截法的Matlab编程实现 function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点
%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精 度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
定理1的两个条件有时较难验证也较难满足， 这时常用的是局部收敛条件。 所谓局部收敛，指的是迭代公式在x*的某个邻 域是收敛的。 关于局部收敛有如下的定理。
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求解非线性方程的迭代法
3.迭代法的局部收敛性
定理 2 设方程 x ( x ) 有根 x * ，且在 x * 的某个邻域
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求解非线性方程的迭代法
y
( xk , f ( xk ))
x*
y f (x )
xk 1 x k
第四章 解非线性方程的迭代法
此时,再计算
xk
ak
bk 2
.
或者有|(xk)|<
,或者有
x k b k 2 a k b k 1 2 2 a k 1 b 0 2 k 1 a 0 b 2 k 1 a
可见,k趋向无穷大时,xk收敛于 .
而且,若要|xk-|< ,只要
b a
2 k 1
或者klo2b g a1
k
6
0.10653 7
0.06129
8
0.03446
9
0.01964 10 精选版课件ppt
0.01111
xk 0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691
|xk-xk-1| 0.00631 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
14
所以,取近似根x10=0.56691满足精度要求. 如果精度要求为=10-5, 则由
|x 1 0 | b 1 2 0a 1 01 .2精选5 版课件5 ppt 2 1 8 .25 59 4 3 0 8 .0 7 48 0 5 2
如果取精度=10-5,则要使
|xk
|ba110 5
2 2 k1
k1
只需k>5ln210-115.61.即需取x16.
二分法要求函数在区间[a，b]上连续，且在区间两端
(1L)
kln
lnL
x1 x0
ln0.41 0 5ln0.61.95 0.10653
可知,需要迭代20次.
精选版课件ppt
15
定义4.4 设迭代序列xk收敛于,记误差ek=xk-, 如果存在正实数p和非零常数C, 使得
lim ek1 C
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
利用牛顿迭代法求解非线性方程组
利⽤⽜顿迭代法求解⾮线性⽅程组最近⼀个哥们，是⽤⽜顿迭代法求解⼀个四变量⽅程组的最优解问题，从⽹上找了代码去改进，但是总会有点不如意的地⽅，迭代的次数过多，但是却没有提⾼精度，真是令⼈揪⼼！经分析，发现是这个⽅程组中存在很多局部的极值点，是⽤⽜顿迭代法不能不免进⼊局部极值的问题，更程序的初始值有关！发现⾃⼰好久没有是⽤Matlab了，顺便从⽹上查了查代码，⾃⼰来修改⼀下！先普及⼀下⽜顿迭代法：(来⾃百度百科)⽜顿（Newton's method）⼜称为⽜顿-拉夫逊（拉弗森）⽅法（Newton-Raphson method），它是在17世纪提出的⼀种在域和域上近似求解⽅程的⽅法。
多数⽅程不存在求根公式，因此求精确根⾮常困难，甚⾄不可能，从⽽寻找⽅程的近似根就显得特别重要。
⽅法使⽤函数f(x）的的前⾯⼏项来寻找⽅程f(x) = 0的根。
⽜顿迭代法是求⽅程根的重要⽅法之⼀，其最⼤优点是在⽅程f(x) = 0的单根附近具有平⽅收敛，⽽且该法还可以⽤来求⽅程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过⼀些⽅法变成超线性收敛。
另外该⽅法⼴泛⽤于计算机编程中。
设r是f(x)=0的根。
选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))做曲线的切线，求出该切线与x轴的交点，并求出该点的横坐标，称作x1是r 的⼀次近似。
如此就可以推导出⽜顿迭代公式。
已经证明，如果是的，并且待求的零点是孤⽴的，那么在零点周围存在⼀个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么⽜顿法必定收敛。
并且，如果不为0, 那么⽜顿法将具有平⽅收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代⼀次，⽜顿法结果的有效数字将增加⼀倍。
在⽹上查了⼀些代码，都是能指定某⼏个函数进⾏求导的，⽽且要是改变函数的个数，却⼜要对原始程序⼤动⼲⼽。
真的是揪⼼。
找到了这个程序，貌似在Matlab上不能很好的运⾏，对于数据的返回值为空没有做处理，后来⼜找了⼀个⽹易朋友的博客，将他的代码拿过来跑跑，还可以，但是对于不同的函数⽅程组，以及变量个数就不同了，真的是揪⼼，这个就是程序设计和编码的问题了！⾃⼰就拿来改了改，可以⽀持多⽅程组和多变量了！下⾯附上我的代码！求⼤家指导！[python]1. function [r,n]=mulNewton(x0,funcMat,var,eps)2. % x0为两个变量的起始值,funcMat是两个⽅程,var为两个⽅程的两个变量,eps控制精度3. % ⽜顿迭代法解⼆元⾮线性⽅程组4. if nargin==05. x0 = [0.2,0.6];6. funcMat=[sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)^2*(15-15*x1))*5e-4')...7. sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)*(10-10*x2))*4e-2')];8. var=[sym('x1') sym('x2')];9. eps=1.0e-4;10. end11.12. n_Var = size(var,2);%变量的个数13. n_Func = size(funcMat,2);%函数的个数14. n_X = size(x0,2);%变量的个数15.16. if n_X ~= n_Var && n_X ~= n_Func17. fprintf('Expression Error!\n');18. exit(0);19. end20.21. r=x0-myf(x0, funcMat, var)*inv(dmyf(x0, funcMat, var));22. n=0;23. tol=1;24. while tol>=eps25. x0=r;26. r=x0-myf(x0, funcMat, var)*inv(dmyf(x0, funcMat, var));27. tol=norm(r-x0);28. n=n+1;29. if(n>100000)30. disp('迭代步数太多，⽅程可能不收敛');31. return;32. end33. end34. end % end mulNewton[python]1. function f=myf(x,funcMat, varMat)2. % 输⼊参数x为两个数值,func为1*2符号变量矩阵,var为1*2符号变量矩阵中的变量3. % 返回值为1*2矩阵,内容为数值4.5. n_X = size(x,2);%变量的个数6. f_Val = zeros(1,n_X);7. for i=1:n_X8. tmp_Var = cell(1,n_X);9. tmp_X = cell(1,n_X);10. for j=1:n_X11. tmp_Var{j} = varMat(1,j);12. tmp_X{j} = x(1,j);13. end14. f_Val(i) = subs(funcMat(1, i), tmp_Var, tmp_X);15. end16. f=f_Val;17. end % end myf[python]1. function df_val=dmyf(x, funcMat, varMat)2. % 返回值为2*2矩阵,内容为数值3. %df=[df1/x1, df1/x2;4. % df2/x1. df2/x2];5. n_X = size(x,2);%变量的个数6. df =cell(n_X, n_X);7. for i=1:n_X8. for j=1:n_X9. df{i,j} = diff(funcMat(1, i), varMat(1, j));10. end11. end12.13. df_val=zeros(n_X, n_X);14.15. for i=1:n_X16. for j=1:n_X17. tmp_Var = cell(1,n_X);18. tmp_X = cell(1,n_X);19. for k=1:n_X20. tmp_Var{k} = varMat(1,k);21. tmp_X{k} = x(1,k);22. end23. df_val(i,j) = subs(df{i,j}, tmp_Var, tmp_X);24. end25. end26. end % end dmyf。
非线性方程组迭代解法
非线性方程组迭代解法不动点法( unmovepoints.m)%非线性方程组的不动点法function [x,n]=unmovepoints(fun,x0,eps)if nargin<3eps=1e-3;endx1=feval(fun,x0);n=1;while(norm(x1-x0))>=eps x0=x1;x1=feval(fun,x0);n=n+1;if n>100000disp(' 无法收敛!');breakendendx=x1;Newton 迭代法( newtons.m)% 非线性方程组的Newton 迭代法function [x,n]=newtons(fun1,fun2,x0,eps)if nargin<4eps=1e-3;endx1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0);n=1;while norm(x1-x0)>=epsx0=x1;x1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0); n=n+1;if n>100000disp(' 无法收敛!');breakendendx=x1;注：方程组的迭代与方程迭代不同之处在于收敛的判断不能用 abs 而应用norm (范数，默认值为向量各元素的平方和的开方；norm(xl-xO)即为向量x1与x0对应元素差的平方和的开方。
在对应的函数程序中应注意向量的运算与数量运算的区别。
)用以上方法求解下列非线性方程组：f 1 X =x 1 - 0.7 sinx ! -0.2cosx 2 =0 f 2 X = x 2 - 0.7 cos% 0.2sinx 2 =0函数：%非线性方程组函数(适用于不动点法) function f=non li nerequsl(x) f(1)=0.7*si n(x(1))+0.2*cos(x (2)); f(2)=0.7*cos(x(1))-0.2*si n(x (2));%非线性方程组函数(适用于Newt on 迭代法) function f=non li nerequs2(x) f(1)=x(1)-0.7*si n(x(1))-0.2*cos(x(2)); f(2)=x (2)-0.7*cos(x(1))+0.2*si n(x (2));%非线性方程组函数导数(适用于Newt on 迭代法) function f=non li nerequs3(x) f=[1-0.7*cos(x(1)),0.2*si n(x(2));0.7*si n(x(1)),1+0.2*cos(x(2))];命令：fsolve(@ non li nerequs2,[0.5,0.5])[x,n]=unmo vepo in ts( @non li nerequs1,[0,0],1e-6)[x,n]=n ewt ons(@non li nerequs2, @non li nerequs3,[0,0],1e-6)计算结果：(eps=0.000001)迭代方法X迭代次数n解析解[0.52652262191818 0.50791971903685] - fsolve[0.52652266171295 0.50791973020932] - 不动点法[0.526521300913880.50792028463452] 30 Newton 迭代法[0.526522793690200.50791961189450]16导数为f 2 f 2对多方程则类似。
非线性方程组迭代法
第5章非线性方程(组)迭代法内容5.1 根的搜索5.2 迭代法的构造及收敛性5.3 方程求根的牛顿迭代法5.4 *非线性方程组的迭代法数学物理中许多问题常归结为求解非线性方程或非线性方程组.例如在最优化问题min ()x I F x ∈中，设函数()F x 在区间I 上严格凸并可微，且()()F x f x '=，则求其极小点等价于求解方程()0f x =的根；若()f x 是一个非线性函数，则方程()0f x =是一个非线性方程。
若()0f x =是一个方程组，且其中至少存在一个方程是非线性的，则称方程组是非线性方程组。
本章介绍一些常用的求解非线性方程和非线性方程组近似根的迭代方法。
§5.1 根的搜索⏹ 根的存在性：设函数[](),f x C a b ∈，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(),a b 内一定有实根*x ，称[],a b 为方程()0f x =的有根区间。
⏹ 二分法（是搜索方程()0f x =的根的一种计算简单的方法）。
● 基本思想：将有根区间[],a b 用其中点02a b x +=分为两半。
如果0()()0f x f a ⋅>，记 101,a x b b ==，方程的根11*(,)x a b ∈； 如果0()()0f x f a ⋅<，记 110,a a b x ==，方程的根11*(,)x a b ∈。
因此，新的有根区间为[]11,a b ，其长度为112b a b a --=．对有根区间[]11,a b 施行同样的手续，并反复二分下去，得到一系列有根区间[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃L L其中[],k k a b 的长度为：02k k k b a b a --=→（当k →∞时）。
上述结果表明，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于()0f x =的根x *．只要二分足够多次(即k 充分大)，就能保证有2k k k k b a x x b a ε*--≤-≤<。
4 非线性方程(组)的迭代解法
则 ∃δ > 0, 使得 ∀x0 ∈[ x * −δ , x * +δ ],
n→∞
由迭代(1)产生的序列 {xn } ⊂ [ x * −δ , x * +δ ], 且有与前一定理完全相同的不等式成立！ 注： 当定理条件成立时，
limxn = x *
只要x0充分 充分接近x*，就能保证迭代序列{xn}收敛于x*！
ω
3 由 ϕ ''( a ) = 0，可得 ω = 。 2
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School of Math. & Phys.
14
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2011-4-15
J. G. Liu
3、牛顿迭代算法 、
将f(x)在初值x0处做Taylor展开 取其线性部分做为f(x)的近似，有：
2011-4-15
方法3 1.5000 0.8165 2.9969 0 -2.9412i 方法4 1.5000 1.3484 1.3674 1.3650 1.3653 1.3652 1.3652
J. G. Liu
不收敛
不收敛
6次
收敛与否，以及 收敛快慢，取决 于迭代函数 迭代函数
15次
School of Math. & Phys.
a+b , f = f ( x ); 2 若 f < η , 则 x为所求根，结束！ 计算 x =
否则 若 f ∗ f a < 0, 则 b = x, fb = f ;
注：
其中 η , ε 为 精度控制参数!
(4)
若 f ∗ f a > 0, 则 a = x , f a = f ; b+a 若 b − a < ε ,则x = 为所求根，结束！ 2
第三章 非线性方程的迭代法
第三章 非线性方程许多科学理论与工程实际问题最终都转化为非线性方程或非线性方程组的求解。
除了少数简单的方程可以求出解析表达外，一般的方程不能得到解析表达，所以需要用近似的方法来求近似解。
解非线性方程常用到的方法是迭代法，本章将主要对迭代法进行讨论，一些特殊方法不在这里讨论。
§1 二分法设非线性方程为()0=x f （1.1）若()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0<b f a f ，由连续函数介值定理知道()0=x f 在()b a ,至少存在一个实根。
如果()x f 单调则只有唯一的实根。
二分法的原理就是将含根的区间每次缩小一倍，直到找到满足误差要求的近似解。
为简便起见，我们设()0)(,0><b f a f ，给定δ为很小的正数。
那么二分法的计算步骤如下： 1） 将区间[]b a ,分半，取中点2b a +，求⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f ，如δ<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f ，则2b a +就是方程的解。
计算停止。
否则，将根据⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f 的符号确定新的区间：当02<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b a f 时，取21b a a +=，b b =1； 当02>⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b a f 时，取a a =1，21b a b +=； 2） 用新区间[]11,b a 代替[]b a ,，重复上面的运算。
直到得到方程的解。
记第n 个有根区间为()n n b a ,，则 ()()()n n b a b a b a ,,,2211L ⊃⊃ ()()a b a b a b n n n n −==−=−−−212111L()()0n n f a f b ⋅<，()021→−=−a b a b nn n )(∞→n 当n 充分大时，就取2nn n b a x +=为方程精确根∗x 的近似值。
此时误差为 12+∗−≤−n n ab x x 二分法的优点是直观简单，可靠，对函数性质要求低。
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则 方 程 组 可 表 示 为 F () x
（ 4 . 2 . 2 ）
n n n 其 中 ， F : D RR 是 定 义 在 区 域上 D R 的 向 量
值 函 数 。
* * * 若 存 在使 xD ,F () x ， 则 称 x 是 方 程 组 ( 4 . 2 . 1 ) 或
§4.2 非线性方程组的迭代解法
§4.2.1 预备知识 一、一般非线性方程组及其向量表示法
含 有 n 个 方 程 的 n 元 非 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式 为
(x ,x , ,x ) 0 f 1 1 2 n f (x,x, ,x ) 0 2 1 2 n (x ,x , ,x ) 0 n 1 2 n f
f ( xe ) f ( x ) f ( x ) 从 而 l i m lx ( ) , j 1 , 2 , , n x
0
j 0 j
f ( xe ) f ( x ) lx ( ) j j l i m 0 , j1 , 2 , , n
成 立 ， 则 称 f 在 x 处 可 微 ， 向 量 l ( x ) 称 为 f 在 x 处 的 导 数 ，
记 为 ： f ( x ) l ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 f 在 D 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 f 在 D 内 可 微 。
n 定 理 1 若 f : DR R 在 x i n t ( D ) 处 可 微 , 则 f 在 x 处 f 关 于 各 自 变 量 的 偏 导 数( j 1 , 2 , , n ) 存 在 ， 且 有 x j
f (x ) f1(x ) f1(x ) 1 x x x 1 2 n fi(x ) (x F ) x j n n ) fn(x ) fn(x ) fn(x x x x 1 2 n
( 4 . 2 . 2 ) 的 解 。
二、多元微分学补充
n 定 义 1 设 f ： D R R ， x i n t () D ( 即 x 是 D 的 内 点 ) ， n 若 存 在 向 量 l () x R , 使 极 限
T f ( x h ) -( f x ) l ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 3 ) h θ h
称 为 F 在 x 处 的 J a c o b i 矩 阵 。
证 明 ： 由 于 F ( x ) f ( x ) , f ) ( x , , f ( x ) , 所 以 ， 存 在 定理 12 n
T
n 向 量 lx () R , 使 极 限 i
2证 fx ( h ) -( f x ) -( lx ) h 明 l i m 0 i 1 , 2 , , n
( 4 . 2 . 1 )
n 其 中 ， f ( i 1 , 2 , ,) n 是 定 义 在 区 域 D R 上 的 n 元 实 i
值 函 数 ， 且 f 中 至 少 有 一 个 是 非 性 性 函 数 。 i
令 x x , x , , x F () x fx () , fx () , , fx () ， , 1 2 n 1 2 n
T i i h θ
h
n n 成 立 ， 与 存 在 矩 阵 A ( x ), R 使 ( 4 . 2 . 4 ) 式 成 立 是 等 价 的 ， T T T T 并 且 A ( x ) l ( x ) , l ( x ) ,, l ( x ) , 即 1 2 n f ( x ) ( i 1 , 2 , , n ) 在 x 处 可 微 是 F ( x ) 在 x 处 可 微 的 充 分 必 i
定理1
说明：
f f f f (x ) , , , x x x 1 2 n
T
o 1 f在 x处 的 导 数 f (x ) 又 称 为 f在 x处 的 梯 度 ， 可 记
为 g r a d f(x ) 或 f(x ) ；
o 2 梯 度 f(x ) 存 在 只 是 函 数 f在 x 处 可 微 的 必 要 条 件 而 非
f f f 存 在 ， 且 有 fxl ( ) ( x ) , ■ , , xx x 1 2 n
T
向量值函数的可微性
n n A () ： D R R ， x i n t ( D ) ， 若 存 在 矩 阵
F ( x h ) F ( x ) A ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 4 ) h θ h
成 立 ， 则 称 Fx 在 处 可 微 ， 矩 阵 A ( x ) 称 为 Fx 在 处 的 导 数
记 为 F ( x ) A ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 FD 在 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 FD 在 内 可 微 。
充 分 条 件 。
定理1证明 证 明 ： 记 l ( x ) l ( x ) , l ( x ) , , l ( x ) , 取 h e ( 实 数 12 n j
j
T
0 , e 是 n 维 基 本 单 位 向 量 ) ,( 由 于 4 . 2 . 3 ) 成 立 ， 故 有 j
n n 定理 2值 定 理 2 设 FD : R R 为 向 量 函 数 , 则 F 在 x i n t ( D )
处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 F 的 所 有 分 量 f ( i 1 , 2 , , n ) 在 i x 处 可 微 ； 若 F 在 x 处 可 微 , 则 有