解非线性方程组的牛顿迭代法
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f ( x) , f ( x)
由于
( x)
f ( x) f ( x) . 2 [ f ( x)]
假定 x *是 f ( x) 的一个单根，即 f ( x*) 0, f ( x*) 0 ， 则由上式知 ( x*) 0 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法 在根 x *的邻近是平方收敛的.
9
取初值 x0 10，对 C 115 按（4.5）式迭代3次 便得到精度为 10 6 的结果 （见表7-6). 由于公式（4.5）对任意 初值 x0 0 均收敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定 的初值如 x0 1 编成通用程序.
7.4.3
简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算 f ( xk )及 f ( xk ) ，计算量较大且有时 f ( xk ) 计算较困难， 二是初始近似 x0 只在根 x *附近才能保证收敛，如 x0 给 的不合适可能不收敛.
2
注意到切线方程为
y f ( xk ) f ( xk )( x xk ).
这样求得的值 xk 1 必满足(4.1），从而就是牛顿公式（4.2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法. 牛顿法（4.2）的收敛性，可直接由定理4得到，对（4.2） 其迭代函数为
( x) x
7
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
2k
（4.Hale Waihona Puke Baidu）
记
q x0 x0 C , C
整理（4.6）式，得
7.4 7.4.1
牛顿法 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
3
又因
( x*)
f ( x*) , f ( x*)
故由（2.9）可得
lim xk 1 x * f ( x*) . k ( x x*) 2 2 f ( x*) k
（4.3）
例7 解
用牛顿法解方程
xex 1 0.
（4.4）
这里牛顿公式为
xk 1 xk e x k xk , 1 xk
于是方程 f ( x) 0 可近似地表示为
f ( xk ) f ( xk )( x xk ) 0.
（4.1）
这是个线性方程，记其根为 xk 1 ，则 xk 1的计算公式为
1
xk 1 xk
f ( xk ) f ( xk )
( k 0,1, ),
（4.2）
这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. 方程 f ( x) 0 的根 x * 可解释为曲线 y f ( x) 与 x 轴 的交点的横坐标（图7-3). 设 xk 是根 x *的某个近似值， 过曲线 y f ( x) 上横坐标为 xk 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 xk 1 作为 x * 的新的近似值. 图7-3
步骤4
6
7.4.2
牛顿法应用举例
x 2 C 0,
对于给定的正数 C ，应用牛顿法解二次方程
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（4.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
取迭代初值 x0 0.5 ，迭代结果列于表7-5中.
4
所给方程（4.4）实际上是 方程 x e x 的等价形式. 若用 不动点迭代到同一精度要迭代 17次，可见牛顿法的收敛速度 是很快的. 牛顿法的计算步骤： 步骤1
f 0 f ( x0 ).
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
x1 x0 x1 x0 x1 当 x1 C时； 当 x1 C时，
1 , 2 是 此处
其中 C是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取 C 1.
N ， 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数 或者 f1 0 ，则方法失败；否则以 ( x1 , f1 , f1) 代替 ( x0 , f 0 , f 0) 转步骤2继续迭代.
准备 迭代
x0 ，计算 f 0 f ( x0 ), 选定初始近似值
步骤2
按公式
x1 x0 f 0 / f 0
迭代一次，得新的近似值 x1，计算 f1 f ( x1 ), f1 f ( x1 ). 步骤3 控制
x1 满足 1 如果
f1 2 ，则终 或
5
止迭代，以 x1作为所求的根；否则转步骤4. 允许误差，而
8
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解 求 115 .
表7 6 计算结果 k 0 1 2 3 4 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1） 简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为 （4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
由于
( x)
f ( x) f ( x) . 2 [ f ( x)]
假定 x *是 f ( x) 的一个单根，即 f ( x*) 0, f ( x*) 0 ， 则由上式知 ( x*) 0 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法 在根 x *的邻近是平方收敛的.
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取初值 x0 10，对 C 115 按（4.5）式迭代3次 便得到精度为 10 6 的结果 （见表7-6). 由于公式（4.5）对任意 初值 x0 0 均收敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定 的初值如 x0 1 编成通用程序.
7.4.3
简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算 f ( xk )及 f ( xk ) ，计算量较大且有时 f ( xk ) 计算较困难， 二是初始近似 x0 只在根 x *附近才能保证收敛，如 x0 给 的不合适可能不收敛.
2
注意到切线方程为
y f ( xk ) f ( xk )( x xk ).
这样求得的值 xk 1 必满足(4.1），从而就是牛顿公式（4.2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法. 牛顿法（4.2）的收敛性，可直接由定理4得到，对（4.2） 其迭代函数为
( x) x
7
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
2k
（4.Hale Waihona Puke Baidu）
记
q x0 x0 C , C
整理（4.6）式，得
7.4 7.4.1
牛顿法 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
3
又因
( x*)
f ( x*) , f ( x*)
故由（2.9）可得
lim xk 1 x * f ( x*) . k ( x x*) 2 2 f ( x*) k
（4.3）
例7 解
用牛顿法解方程
xex 1 0.
（4.4）
这里牛顿公式为
xk 1 xk e x k xk , 1 xk
于是方程 f ( x) 0 可近似地表示为
f ( xk ) f ( xk )( x xk ) 0.
（4.1）
这是个线性方程，记其根为 xk 1 ，则 xk 1的计算公式为
1
xk 1 xk
f ( xk ) f ( xk )
( k 0,1, ),
（4.2）
这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. 方程 f ( x) 0 的根 x * 可解释为曲线 y f ( x) 与 x 轴 的交点的横坐标（图7-3). 设 xk 是根 x *的某个近似值， 过曲线 y f ( x) 上横坐标为 xk 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 xk 1 作为 x * 的新的近似值. 图7-3
步骤4
6
7.4.2
牛顿法应用举例
x 2 C 0,
对于给定的正数 C ，应用牛顿法解二次方程
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（4.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
取迭代初值 x0 0.5 ，迭代结果列于表7-5中.
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所给方程（4.4）实际上是 方程 x e x 的等价形式. 若用 不动点迭代到同一精度要迭代 17次，可见牛顿法的收敛速度 是很快的. 牛顿法的计算步骤： 步骤1
f 0 f ( x0 ).
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
x1 x0 x1 x0 x1 当 x1 C时； 当 x1 C时，
1 , 2 是 此处
其中 C是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取 C 1.
N ， 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数 或者 f1 0 ，则方法失败；否则以 ( x1 , f1 , f1) 代替 ( x0 , f 0 , f 0) 转步骤2继续迭代.
准备 迭代
x0 ，计算 f 0 f ( x0 ), 选定初始近似值
步骤2
按公式
x1 x0 f 0 / f 0
迭代一次，得新的近似值 x1，计算 f1 f ( x1 ), f1 f ( x1 ). 步骤3 控制
x1 满足 1 如果
f1 2 ，则终 或
5
止迭代，以 x1作为所求的根；否则转步骤4. 允许误差，而
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xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解 求 115 .
表7 6 计算结果 k 0 1 2 3 4 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1） 简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为 （4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.