常用系统建模方法

模型构成
B´ B
A´
问题的形式化描述：
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
21
椅子能在不平的地面上放稳吗？
开普勒第三定律
也叫行星运动定律：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运
行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴a的立方与周
期T的平方之比是一个常量。
k为开普勒常数
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星
周期T 0.241 0.615 1.00 1.881 11.862 29.457
长半轴a 0.387 0.723 1.000 1.524 5.203 9.539
是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区
域，根据自己飞行的经验判断食物的
所在。
32
基本原理
在PSO中，把一个优化问题看作是在空中觅食的鸟群，那么“食物”就 是优化问题的最优解，而在空中飞行的每一只觅食的“鸟”就是PSO算 法中在解空间中进行搜索的一个“粒子”(Particle)。
4）行星运行受力 f
f

mr
m ~ 行星质量
28
uu向r 模径型rc的o构ss基i(n成向()量i)（i平s面icn直o(s角()j坐)j标 ）
r

rur
y
u
ur
r
P (行星) r
O (太阳)
x
ur u u ur
实例研究：开普勒第三定律的发现
23
开普勒第三定律的发现
开普勒第一定律
也称椭圆定律、轨道定律、行星定律。每一行星沿 一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个 焦点上。
开普勒第二定律
在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量 半径）所扫过的面积都是相等的。
24
开普勒第三定律的发现
T2 0.058 0.378 1.000 3.540 140.700 867.700
a3 0.058 0.378 1.000 3.540 140.850 867.980
25
2. 建模的逻辑思维方法
3)演绎
由一般性的命题推出特殊命题的推理方法。
• 典型的，如公理化的几何学
实例研究：牛顿万有引力定律的演绎
• 解析解、仿真
模型应用
5）模型分析
• 例如，对结果的误差分析、统计分析、模型对数据的 稳定性分析
6）模型检验
• 与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性
14
2. 建模的逻辑思维方法
建模是一项复杂的思维活动，也可以看成是一 门艺术，因而既没有统一的模式，也没有固定的 方法，需要多方面的能力
常用系统建模方法
主要参考资料
齐欢，王小平. 系统建模与仿真（第2版），第2章 姜启源, 谢金星 , 叶俊. 数学模型（第3版），第1章
1
常用系统建模方法
1.系统模型的概述 2.建模的逻辑思维方法 3.图解建模法 4.层次分析法 5.聚类分析
2
1. 系统模型的概述
从现实对象到数学模型
测试分析（实验统计建模）
• 将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析， 找出与数据拟合最好的模型。
二者结合
• 用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数
10
1. 系统模型的概述
数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
11
1. 系统模型的概述
数学建模的基本步骤
(x y) 30 750
x =20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
6
1. 系统模型的概述
一个简单的数学模型：“航行问题”
可以看出，上述过程的主要步骤如下：
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列
8
1. 系统模型的概述
数学模型的分类
应用领域
• 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法
• 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性
• 确定和随机，静态和动态，离散和连续，线性和非线性
了解程度
• 白箱、灰箱、黑箱
9
1. 系统模型的概述
数学建模的基本方法
机理分析
• 根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规 律。
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
22
2. 建模的逻辑思维方法
2)归纳
从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一 种思维方式。
立足于观察、经验或实验的基础上的；依据若干已 知的不完全的现象推断尚属未知的现象。
建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要任 务。
数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方式 。
4
1. 系统模型的概述
数学模型与数学建模
数学模型（Mathematical Model）
• 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在 规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具， 得到的一个数学结构。
模型求解
B´ B
A´
主要思路
C
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. C ´

O
A
x
D´ D
正方形ABCD绕O点旋转
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或 相似点之后，推测在其它方面也可能存在相同或相 似之处的一种思维方式。
实例研究
• 1）机械系统和电路系统的类比。 • 2）方式算法：遗传算法、蚁群优化算法、人工神经
网络、粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization)
31
PSO算法
r rur ru
r

(r
r
2
)ur

(r
2r)u
r2 / 2 A


2 r
A
2
,
Leabharlann Baidu



4 Ar r3
r 2r 0
r

(r

r 2
)ur
r p
1 e cos
r

2Ae sin
地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时
着地。
17
椅子能在不平的地面上放稳吗？
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只
脚着地的关系表示出来。
1）椅子位置和调整的表述
B´ B
A´
• 利用正方形（椅脚连线）的对
称性
C
• 用（对角线与x轴的夹角）表

O
A
x
示椅子位置
C´
D´
D
• 以中心为对称点，正方形绕中 正方形ABCD绕O点旋转
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象 、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需 要的那一部分特征。
系统建模
系统
仿真实验
模型
仿真建模 计算机
建模仿真三要素及三个基本活动
3
1. 系统模型的概述
从现实对象到数学模型
系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具， 它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的基 础，也是解决系统工程问题不可缺少的技术手段。
3）模型构成
模型准备
• 用数学的语言、符号描述问题
• 发挥想像力
模型检验
• 使用类比法 • 尽量采用简单的数学工具
模型应用
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
13
1. 系统模型的概述
数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构成
4）模型求解
模型检验
模型分析
模型求解
• 利用各种数学方法、软件和计算机技术
数学建模（ Mathematical Modeling ）
• 建立数学模型的全过程，包括表述、求解、解释、检 验等。
5
1. 系统模型的概述
一个简单的数学模型：“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小 时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多 少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
19
椅子能在不平的地面上放稳吗？
模型构成
在此基础上，用数学语言把椅子位置和四只脚着 地的关系表示出来：
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f()和g()
至少一个为0 B ´ B A ´
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点2旋0 转
椅子能在不平的地面上放稳吗？
（与哪一颗行星无关）
A~单位时间 r 扫过面积
r
P (行星) r
O (太阳)
TA ab
r
p , p b2 , b2 a2 (1 e2 )
1 e cos
a
T 2 a3
A2 / p 2 /
4 2 / kM
30
2. 建模的逻辑思维方法
4)类比
• 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地， 放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放 稳了。为什么？
16
椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题分析
涉及的对象：地面，椅子
椅子的位置和调整
放稳：椅子的四只脚着地
模型假设
四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正 方形;
地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;
26
牛顿万有引力定律的演绎
模型假设
开普勒第一、二、三定律 牛顿运动第二定律
• a=F/m (F=ma)：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟 物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
极坐标系 (r,) 太阳 (0,0)
行星位置：向径
r (t)
(r(t),
(t))
r
P (行星) r
PSO是一种基于群体智能的进化计算方法,由 Kennedy和Eberhart博士于1995年提出。
基本原理
将最优解的搜索类比于鸟群的捕食行
为。
设想一群鸟在随机搜寻食物，在这个
区域里只有一块食物，所有鸟都不知
道食物在哪里，但是他们知道当前的
位置离食物还有多远，那么找到食物
的最优策略是什么呢?最简单有效的就
p
,
r

4A2( p pr3
r)
r


4 A2 pr 2
ur
f

mr
r rur
f


4 A2m pr 2
r0 ,
r0

r r
29
f


4 A2m pr 2
r0 ,
r0

r r
万有引力定律
f


k
M r2
m
r0
需证明 4A2/p =kM
分析综合能力
抽象概括能力
想象洞察能力
运用数学工具的能力
通过实践验证数学模型的能力
通过实例研究，了解建模过程常用的思维方法
，包括抽象、归纳、演绎、类比等。
15
2. 建模的逻辑思维方法
1)抽象
揭示事物的共性和联系的规律 忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体和一般规
律 实例研究：椅子能在不平的地面上放稳吗？
1）模型准备
• 了解实际背景 • 明确建模目的 • 搜集有关信息 • 掌握对象特征
模型准备
模型假设
模型检验
模型分析
模型应用
形成一个比较清晰的“问题”
模型构成 模型求解
12
1. 系统模型的概述
数学建模的基本步骤
2）模型假设
• 针对问题特点和建模目的，作出合理的、简化的假设 • 在合理与简化之间作出折中
心的旋转对应椅子位置的调整
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椅子能在不平的地面上放稳吗？
模型构成
2）椅脚着地的数学表示
• 四只脚着地：椅脚与地面距离
为零，距离是 的函数
四个距离 (四只脚)
正方形 对称性
两个距离
B´ B
A´
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
f()： A, C 两脚与地面距离之和
g() ：B, D 两脚与地面距离之和
出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
7
1. 系统模型的概述
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性
模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性

O (太阳)
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牛顿万有引力定律的演绎
模型假设
1）行星运行轨道
r
p , p b2 , b2 a2 (1 e2 )
1 e cos
a
a~长半轴, b~短半轴, e~离心率
2）单位时间 r扫过面积为常数 A
r
P (行 r

O (太 阳)
r2 / 2 A
3）行星运行周期 T T 2 a3 ~ 绝对常数