高中数学总复习综合讲义与专题练习3-导数与三角函数
高中数学总复习综合讲义与专题练习
3 导数与三角函数
【例1】 设()sin f x x x =，1x 、2ππ22x ??
∈-????
，，且()()12f x f x >，则下列结论必成立的是（ ）
A ．12x x >
B ．120x x +>
C ．12x x <
D ．22
12x x >
【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】
【解析】 ()sin cos f x x x x '=+，当π02x ??∈ ???，时，()0f x '>，()f x 在π02??
???
，单调递增；又()f x 为偶函数，
故()f x 在π02
??-???
?
，上单调递减，且图象关于y 轴对称．
1x 、2ππ22x ??∈-????
，时，()()22
12121212
()()f x f x f x f x x x x x >?>?>?>． 【答案】D
【例2】 设函数())
()cos
0πf x ??=+<<，若()()f x f x '+是奇函数，则?=__________．
【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】
【解析】 ())f x ?'=+，π()()))2cos 3f x f x ????'+=++=++??，
此函数为奇函数，故πππ()32k k ?+
=+∈Z ππ()6k k ??=+∈Z ，当0k =时，π
(0π)6
?=∈，． 【答案】π
6
【例3】 函数()2cos f x x x =+在区间π02??
????
，上的最大值为______；在区间[02π]，上最大值为_______．
【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】
【解析】 ()12sin f x x '=-，π06x ??∈ ???，时，()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ62x ??
∈ ???
，时，()0f x '<，()
f x 单调递减；故()f x 在π
02??
????
，上的最大值为
ππ
ππ2cos 66
66f ??=+=+ ???
()f x 在π06?? ???，与5π2π6?? ???，
上单调递增，在π5π66?? ???，上单调递减，又ππ
66
f ??= ???，π
(2π)2π2cos(2π)2π26
f =+=+>
()f x 在区间[02π]，
上最大值为2π2+． 【答案】π
6
；2π2+；
【例4】 设函数(
)32sin tan 3f x x θθ=
+，其中5π012θ?
?∈????
，， 则导数()1f '的取值范围是（ ） A ．[]22-，
B
．
C
．2??
D
．2??
【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星
【题型】选择
【关键词】2009，安徽，高考，题9
【解析】
2()sin f x x x θθ'=+
，π(1)sin 2sin 3f θθθ??'==+ ???．5π012θ?
?∈????
，时，
ππ3π334θ??
+∈????，
，πsin 13θ?
?
?+∈? ?????
．从而(1)2]f '∈． 【答案】D
【例5】 设函数2
2
3
()cos 4sin
3()2
x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）
A ．1(,)(1,)3
-∞-+∞U B ．1[1,]3
-- C ．1(,)3
+∞ D ．1[,1]3
【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】
【解析】 23
231cos ()cos 43cos 2cos 2
x f x x t t t x t x t t -=+?
+-=-+-232(cos )x t t t t =-+--， ∵1t ≤，∴当cos x t =时，()f x 有最小值，故32()g t t t t =--，2()321(1)(31)g t t t t t '=--=-+， 令()0g t '>，解得函数()g t 的单调递增区间为1,3?
?-∞- ??
?与(1,)+∞．
但函数()g t 不在这两个区间的并集上单调递增，故选B ．
【答案】B
【例6】
将函数2y =[]()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得
到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．
【考点】导数与三角函数综合
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】2009，上海，高考，题14
【解析】
将2y =进行变形得：22(3)(2)13x y -++=，[06]x ∈，，2y -≥．
它表示圆的一段，当0x =与6x =时，都有0y =，故函数象表示的是x 轴上方的一段弧，
OT 旋转到y 轴时，有最大的旋转角度．此时再放置此圆弧就与y 轴相交于两点，不再是函数图象了．
12y '=
=
0x =得，32y '=，即3
tan 2AOT ∠=， 于是2tan 3α=
，α的最大值为2arctan 3
． 【答案】2
arctan 3
【例7】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=
在π02??
???
，内是增函数，求a 的取值范围．
【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】
【解析】 22212sin (2cos )cos 2cos ()3sin 3sin x a x x a x
f x x x
--?-'=?=
． 因为()f x 在区间π02?
? ??
?
，内是增函数，所以当π02x ??∈ ??
?，时，22cos ()03sin a x
f x x
-'=≥，
即2cos 0a x -≥恒成立．
π02x ??∈ ???，时，0cos 1x <<，要使2cos 0a x -≥在π02x ??
∈ ???，恒成立，只要2cos a x ≤
在π02x ??
∈ ???
，恒成立． 故只要2a ≤即可，故a 的取值范围为(2]-∞，．
【答案】(2]-∞，
【例8】 求证：方程1
sin 02
x x -=只有一个根0x =．
【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】
【解析】 设1()sin 2f x x x =-，x ∈R ．1
()1cos 02f x x '=->，故()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，
因此方程1
sin 02
x x -=只有一个根0x =．
【答案】略
【例9】 设函数()sin(2)(π0)f x x ??=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8
x =
． ⑴求?；⑵求函数()y f x =的单调增区间；
⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．
【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2005，全国Ⅰ，高考
【解析】 ⑴∵π8x =
是函数()y f x =的图象的对称轴，∴πsin 218???
?+=± ???
．
∴
πππ42k k ?+=+∈Z ，．π
π4
k k ?=+∈Z ，．
∵π0?-<<，∴3π4
?=-． ⑵由⑴知3π4?=-
，因此3πsin 24y x ?
?=- ??
?．
由题意得π3ππ
2π22π242
k x k k --+∈Z ≤≤，，
所以函数3πsin 24y x ??=- ???的单调增区间为π5πππ88k k k ?
?++∈????Z ，，．
⑶∵3π3πsin 22cos 2244y x x '????'=-=- ? ????
?≤， 所以曲线()y f x =的切线斜率取值范围为[22]-，，而直线520x y c -+=的斜率为5
22
>，所
以直线520x y c -+=与函数3πsin 24y x ??
=-
???
的图象不相切． 【答案】⑴3π4?=-；⑵π5πππ88k k k ?
?++∈???
?Z ，，；⑶略．
【例10】 已
知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ?????????=+=+- ?? ? ? ??????????r r ，，，，令()f x a b =?r r ，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．
【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2005，江西，高考
【解析】
πππ()sin tan tan 2242424x x x x f x a b ??????
=?=+++- ? ? ???????
r r
21tan tan 1
222sin cos 2cos 1222222
1tan 1tan 22
x x
x x x x x x x x +-?=++?=+-???
?-+sin cos x x =+． 令()()0f x f x '+=，即()()sin cos cos sin 2cos 0f x f x x x x x x '+=++-==，
可得π2x =
，所以存在实数[]π
0,π2x =∈，使()()0f x f x '+=． 【答案】存在，π
2
x =．
【例11】 设()()
21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．
⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；
⑵ 证明：当π02θ?
?
∈???
?，时，()()cos sin 2θθ- 【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2009，辽宁，高考 【解析】 ⑴ ()() 2121'=++++x f x e ax x ax ．由条件知， ()10'=f ，故3201++=?=-a a a ． 于是()()()()2221x x f x e x x e x x '=--+=-+-． 故当()()21∈-∞-+∞U x ， ，时，()0' 时，()0'>f x ． 从而()f x 在()2-∞-， ，()1+∞，单调减少，在()21-，单调增加． ⑵ 由⑴知()f x 在[]01，单调增加，故()f x 在[]01，的最大值为()1=f e ，最小值为(0)1=f ． 从而对任意1x ，[]201∈x ， ，有()()1212-- ? ∈??? ?，时，[]cos sin 01θθ∈，，． 从而()()cos sin 2θθ- 【答案】⑴1a =-，()f x 在()2-∞-， ，()1+∞，单调减少，在()21-，单调增加．⑵略． 【例12】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π 4 ． ⑴求m ，n 的值； ⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在， 请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ? ?++ ??? ≤（x ∈R ，0t >）． 【考点】导数与三角函数综合 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 ⑴2()31f x mx '=-，依题意，得π(1)tan 4f '=，即311m -=，解得2 3 m =． ∵(1)f n =，∴1 3 n =-． ⑵32 ()3 f x x x =-，令2()210f x x '=-=，得x =． 当12x -<<时，2()210f x x '=->；当22 x <<时，2()210f x x '=-<； 当 3x <<时，2()210f x x '=->．从而()f x 在x =处取到极大值． 又1 (1)3f -=，f ?= ?? ，(3)15f =． 因此，当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为15． 要使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519942009k +=≥． 所以，存在最小的正整数2008k =，使得不等式()1993f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立． ⑶|(sin )(cos )|f x f x +3322sin sin cos cos 33x x x x ???? =-+- ? ????? 332(sin cos )(sin cos )3x x x x = +-+222(sin cos )(sin sin cos cos )13x x x x x x ?? =+?-+-???? 21|sin cos |sin cos 33x x x x =+?+31 |sin cos |3 x x =+3 π4x ? ?= + ?? ?． 又∵0t >，∴1 2t t +，()f x 在)+∞上单调递增，f =． ∴1222f t f t ??+ ?? ?≥． 综上可得，1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ? ? ++ ??? ≤（x ∈R ，0t >）． 【答案】⑴23m = ，1 3 n =-；⑵存在，2008k =；⑶略． 【例13】 已知函数2()e (22)x f x ax x =?--，a ∈R 且0a ≠． ⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． 【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2009，崇文，一模 【解析】 22()(e )(22)e (22)x x f x ax x ax x '''=?--+?-- 2e (22)e (22)x x ax x ax =?--+?-2e (2)x a x x a ? ?=?-+ ?? ?． ⑴∵曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴， 由导数的几何意义得(1)0f '=，∴2a =． ⑵设|cos |(01)x t t =≤≤，只需求函数()(01)y f t t =≤≤的最大值和最小值． 令()0f x '=，解得2 x a =或2x =-． ∵0a >，∴ 2 2a >-． 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： 函数()f x 在(2)-∞-，和a ??+∞ ?? ? ，上单调递增；在2a ??- ?? ? ，上单调递减； 02a <≤时，2 1a ≥，函数()f t 在[01]， 上为减函数． ∴min (1)(4)e y f a ==-，max (0)2y f ==-． 当02a <≤时，(|cos |)f x 的最小值为(4)e a -，最大值为2-． ⑶当2a >时，2 01a <<，函数()f x 的极小值为[01]， 上的最小值， ∴2 min 22e a y f a ?? ==- ??? ． 函数()f t 在[01]，上的最大值为(0)f 与(1)f 中的较大者． ∵(0)2f =-，(1)(4)e f a =-． ∴当2 4e a >-时，(1)(0)f f >，此时max (1)(4)e y f a ==-； 当2 4e a =-时，(1)(0)f f =，此时max (0)(1)2y f f ===-． 当2 24e a <<-时，(1)(0)f f <，此时max (0)2y f ==-． 综上，当224e a <-≤时，(|cos |)f x 的最小值为2 2e a -，最大值为2-； 当2 4e a >-时，(|cos |)f x 的最小值为2 2e a -，最大值为(4)e a -． 【答案】⑴2a =；⑵当02a <≤时，(|cos |)f x 的最小值为(4)e a -，最大值为2-． ⑶当2 24e a <-≤时，(|cos |)f x 的最小值为2 2e a -，最大值为2-； 当24e a >-时，(|cos |)f x 的最小值为2 2e a -，最大值为(4)e a -． 【例14】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ． ⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数； ⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明4 2 002 0[()]1x f x x =+； ⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a L L ，，，，， 证明： 1π π (12)2 n n a a n +<-<=L ，， 【考点】导数与三角函数综合 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2005，天津，高考 【解析】 ⑴由函数()f x 的定义，对任意整数k ，有 (2π)()(2π)sin(2π)sin (2π)sin sin 2πsin f x k f x x k x k x x x k x x x k x +-=++-=+-=． ⑵函数()f x 在定义域R 上可导，()sin cos f x x x x '=+ ① 令()0f x '=，得sin cos 0x x x +=．显然，对于满足上述方程的x 有cos 0x ≠，上述方程化简为tan x x =-，结合图象知此方程一定有解（tan y x =-与y x =的图象略）． ()f x 的极值点0x 一定满足00tan x x =-． 由222 222sin tan sin sin cos 1tan x x x x x x == ++，得22 0020tan sin 1tan x x x =+． 因此，4 2 2 2 00002 [()]sin 1x f x x x x ==+． ⑶设00x >是()0f x '=的任意正实数根，即00tan x x =-， 则存在一个非负整数k ，使0π πππ2 x k k ??∈++ ??? ， ，即0x 在第二或第四象限内． 由①式，()cos (tan )f x x x x '=+在第二或第四象限中的符号可列表如下： ()0f x =0x 都为()f x 的极值点． 由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程tan x x =-的全部正实数根且满足12n a a a <<< π(1)ππ(1)π2n n a n +-<<+-，1ππππ2n n a n ++<<+，则1π3π 22 n n a a +<-< ， 由于1tan tan 0n n a a +?>，由②式知1tan()0n n a a +-<．由此可知1n n a a +-必在第二象限， 即1πn n a a +-<． 综上， 1π π2 n n a a +<-<． 【答案】略． 【例15】 已知函数()323 43cos cos 16 f x x x θθ=-+ ，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值； ⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； ⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -， 内都是增函数，求实数a 的取值范围． 【考点】导数与三角函数综合 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2006，天津，高考 【解析】 ⑴当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在()-∞+∞，内是增函数，故无极值． ⑵2()126cos f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12cos 02 x x θ ==，， 由⑴，只需分下面两种情况讨论． ①当cos 0θ>时，随x 的变化()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()f x 在cos 2x = 处取得极小值2f ?? ???，且3 cos cos 2416f θθ??=-+ ??? ， 要使cos 02f θ??> ??? ，必有2 13cos (cos )044θθ-->，可得0cos θ<< ． 故 ππ62θ<<或3π11π 26 θ<< ； ②当cos 0θ<时，随x 的变化，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()f x 在0x =处取得极小值(0)f ，且(0)cos .16 f θ= 若(0)0f >，则cos 0θ>．矛盾．所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零． 综上，要使函数()f x 在()-∞+∞，内的极小值大于零，参数θ的取值范围为 ππ3π 11π622 6???? ? ?????U ，，． ⑶由题意知：函数()f x 在cos 2θ? ? -∞ ?? ? ， 与(0)+∞， 上恒为增函数， 由题设()f x 在()21a a -， 内为增函数， 故a 需要满足不等式：cos 221a a a θ? ???- 或21021a a a -?? - 6???? ? ?????U ，，，0cos θ<， 要满足上述不等式恒成立，需要0a ≤或1 12 a <≤． 即a 的取值范围是1 (0]12??-∞ ??? U ，，． 【答案】⑴无极值．⑵θ的取值范围为ππ3π11π6226???? ? ?????U ，，．⑶a 的取值范围是1(0]12?? -∞ ??? U ， ，． 【例16】 已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+ ，其中x ∈R ，θ为参数，且π 02 θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值； ⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； ⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围． 【考点】导数与三角函数综合 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2006，天津，高考 【解析】 ⑴当cos 0θ=时，31 ()432 f x x =+ ，则()f x 在()-∞+∞，内是增函数，故无极值． ⑵2()126cos f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12cos 02 x x θ == ，． 由π 02 θ≤≤及⑴，只需考虑cos 0θ>的情况． 当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()f x 在cos 2x θ= 处取得极小值cos 2 f θ ?? ??? ，且3 cos 11cos .2432f θθ??=-+ ? ?? 要使cos 02f θ?? > ??? ，必有311cos 0432θ-+ >，可得10cos 2θ<<，所以ππ32θ<<． ⑶由⑵知，函数()f x 在区间(0)-∞，与cos 2θ?? +∞ ??? ，内都是增函数． 由题设，函数()f x 在(21)a a -，内是增函数， 则a 需满足不等式组210a a a - 21cos 2 a a a θ- ?-??≥， 由⑵，参数ππ32θ?? ∈ ??? ，时，10cos 2θ<<． 要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有1 214a -≥． 综上，解得0a ≤或518a <≤．所以a 的取值范围是5(0]18?? -∞???? U ， ，． 【答案】⑴无极值；⑵ ππ32θ<<；⑶a 的取值范围是5(0]18?? -∞???? U ， ，． 三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：） 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： §1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 图象 定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 ) 例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1． 12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <-> 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称， 那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝ 精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是. 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，高中数学三角函数知识点(复习)
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