高中数学导数专题训练
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．5．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．7．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>，①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.4．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242ee e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，020000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f xa ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)xxx a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-，2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-， 令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1x xxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.7．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e xa f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0xa f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<， 则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1aa x x-+≤，即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立， 令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<，当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， 所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-， 综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。
高中数学导数的运算精选题
导数的运算精选题32道一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知，则＝（）A．B．C．D．7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣49．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．21511．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．19．若函数，则f'（1）＝．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝，＝．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．导数的运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据条件构造函数g（x）＝，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）＝，则g′（x）＝，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）＝2，∴g（0）＝，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3【分析】可先求出导函数，把x换上﹣1即可求出f′（﹣1）的值．【解答】解：；∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．3．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝2a+b＝2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）＝2a+b＝2，即．则＝．当且仅当，即时“＝”成立．所以的最小值是9．故选：B．【点评】本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．【解答】解：由关系式f（x）＝2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）＝2f'（e）+，令x ＝e得f'（e）＝2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）＝﹣e﹣1；故选：C．【点评】本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝代入导函数中，列出关于f'（）的方程，进而得到f'（）的值，再求出f′（）即可．【解答】解：，则f′（x）＝﹣f′（）sin x﹣cos x，∴f′（）＝﹣f′（）sin﹣cos，∴f′（）＝0，∴f′（x）＝﹣cos x，∴f′（）＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．6．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】对f（x）进行求导，再将x＝代入f′（x），进行求解，从而求出；【解答】解：∵，∴f′（x）＝﹣×cos x+，∴f′（）＝﹣×cos+＝﹣，∵f（π）＝＝﹣，∴＝﹣﹣＝﹣，故选：D．【点评】此题主要考查导数的运算，解决此题的关键是能否对f（x）进行求导，是一道基础题；7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1得到关于f′（1）的方程，解方程求出f′（1），求出f′（x）；令x＝0求出f′（0）．【解答】解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．【点评】在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．9．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e【分析】可求出导函数f′（x）＝2+3f′（0）•e x，然后即可求出f′（0）＝﹣1，从而得出f′（x）＝2﹣3e x，然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）＝2+3f′（0）•e x，∴f′（0）＝2+3f′（0），解得f′（0）＝﹣1，∴f′（x）＝2﹣3e x，∴f′（1）＝2﹣3e．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．215【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．11．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故选：D．【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可．【解答】解：，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，．故选：BC．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 【分析】根据题意，依次求出选项中函数的导数，分析其导函数的奇偶性，据此分析可得的答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3cos x，其导数f′（x）＝﹣3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x3+x，其导数f′（x）＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f（x）＝x+，其导数f′（x）＝1﹣，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f（x）＝e x+x，其导数f′（x）＝e x+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；故选：BC．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数奇偶性的分析，属于基础题．三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）e x，∴f′（x）＝2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx，则f′（x）＝e x lnx+•e x；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为1．【分析】利用求导法则：（sin x）′＝cos x及（cos x）′＝﹣sin x，求出f′（x），然后把x 等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x＝代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）＝﹣f′（）•sin x+cos x所以f′（）＝﹣f′（）•sin+cos解得f′（）＝﹣1故f（）＝f′（）cos+sin＝（﹣1）+＝1故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝1．【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝，求得a的值．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，f′（1）＝＝，∴＝，则a＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．【分析】由f（x）＝sin x+cos x，利用导数的运算法则，再令x＝，即可得出．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x，∴f′（x）＝cos x﹣sin x，令x＝，则＝cos﹣sin，解得：＝．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．若函数，则f'（1）＝．【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导得出f′（x），然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝2020．【分析】先求出导函数f'（x），再令x＝2021求解即可．【解答】解：∵，∴，∴f'（2021）＝﹣2021+2f'（2021）+1，∴f'（2021）＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见导数的求导公式的应用以及导数的四则运算的应用，属于基础题．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝﹣4．【分析】先根据导数的运算法则求出f′（x），再求f'（﹣1）．【解答】解：∵，∴，∴f'（﹣1）＝﹣3﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝5．【分析】求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），∴f′（x）＝2x+3f′（1），令x＝1，则f′（1）＝2+3f′（1），即f′（1）＝﹣1，则f（x）＝x2﹣3x﹣f（1），令x＝1，则f（1）＝1﹣3﹣f（1），则f（1）＝﹣1，即f（x）＝x2﹣3x+1，则f（4）＝42﹣3×4+1＝16﹣12+1＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据导数的公式求出f（1），f′（1）的值以及函数的解析式是解决本题的关键．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝1，＝．【分析】令x＝0，可得到a0＝1，先求导数对比得到2a n＝（n+1）a n+1，再把数列裂项求和即可．【解答】解：令x＝0，则a0＝e0＝1，∵e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴（e2x）′＝2e2x＝a1+2a2x+…+na n x n﹣1+（n+1）a n+1x n+…，∴2a n＝（n+1）a n+1，∴＝，∴＝＝2（﹣），∴＝2（1﹣++•+﹣）＝．故答案为：1；．【点评】本题主要考查导数的基本运算，数列裂项求和的应用，属于中档题．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝2．【分析】先求出f′（x），然后将代入解出即可．【解答】解：，所以，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要是考查了导数的计算以及利用方程思想解决问题的能力．属于较易题．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝﹣2．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x＝2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）＝x2+3xf′（2），得：f′（x）＝2x+3f′（2），所以，f′（2）＝2×2+3f′（2），所以，f′（2）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】（1）f′（x）＝6x+cos x﹣x sin x；（2）∵∴．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）函数y＝（2x2+3）（3x﹣1），所以y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x•（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9；（2）函数f（x）＝，所以；（3）函数y＝ln，所以．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．【分析】（1）利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（2）令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．可得h′（x）＝≤0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）＝0，即可得出大小关系．【解答】解：（1）（x＞0）．∴g（x）＝lnx+（x＞0）．∴＝，令g′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g （x）单调递增．∴当x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）＝1．综上可得：函数g（x）单调递减区间为（0，1）；函数g（x）单调递增区间为[1，+∞），最小值为1．（2）g（x）＝lnx+（x＞0），＝﹣lnx+x．令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．∴h′（x）＝﹣﹣1＝≤0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．当x＝1时，h（1）＝0，此时g（x）＝．当0＜x＜1时，h（x）＞0，此时g（x）＞．当1＜x时，h（x）＜0，此时g（x）＜．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y′＝18x2+4x﹣3；（2）y′＝（e x cos x）′＝（e x）′cos x+e x（cos x）′＝e x cos x﹣e x sin x＝e x（cos x﹣sin x）；（3）y′＝＝＝．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．【分析】（1）直接利用常见导数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；（2）利用常见函数的求导公式结合复合函数的求导法则进行求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+xa x，所以；（2）因为，所以．【点评】本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的求导公式的运用、导数的求导法则的运用、复合函数求导法则的应用，属于基础题．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．【分析】（1）（2）（3）根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：（1）方法一：y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9，方法二：∵y＝（2x2+3）（3x﹣1）＝6x3﹣2x2+9x﹣3，∴y'＝18x2﹣4x+9．（2）＝，（3）y′＝3（1+cos 2x）2•（1+cos 2x）′＝3（1+cos 2x）2•（﹣sin 2x）•（2x）′＝﹣6sin 2x•（1+cos 2x）2＝﹣6sin 2x•（2cos2x）2＝﹣6sin 2x•4cos4x＝﹣48sin x cos5x．【点评】本题考查了导数的运算，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，是基础题．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．【分析】（1）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可；（2）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y'＝18x2+4x﹣3；（2）＝．【点评】本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的导数公式以及导数的运算律，属于基础题．。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
高中数学导数练习题附答案
高中数学导数练习题附答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数()ln ex f x x =，()2ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值；(3)求证：2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．3．已知函数()()()211e 2x f x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.4．已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立．5．已知函数()e sin cos xf x x x ax =+--．(1)若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值．6．己知数列{}n a 和{}n b ，12a =且()11n nb n a *=-∈N ，函数()()ln 11mx f x x x=+-+，其中0m >．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若数列{}n a 各项均为正整数，且对任意的n *∈N 都有2112112n n n n a a a a +++-<+．求证：（ⅰ）()12n n a a n *+=∈N ；（ⅱ）53123e n b b b b ->，其中e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．7．已知函数()e 1xf x ax =--，a ∈R ．(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 8．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 9．已知函数2()ln (2)(R)f x a x x a x a =+-+∈. (1)若1a =，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值； (2)求()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .10．已知函数2()ln f x a x x =+，其中a R ∈且0a ≠． (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：2()1f x x x ≤+-； (3)求证：对任意的*n N ∈且2n ≥，都有：222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211e n⎛⎫+< ⎪⎝⎭．（其中e 2.718≈为自然对数的底数）【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)1- (2)2(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数()f x 的单调性，进而可得最值；（2）将不等式恒成立转化为求函数()g x 的最大值问题，可得参数取值范围； （3）根据函数()f x 与()g x 的单调性直接可证不等式. (1)函数()ln ln exf x x x x x ==-的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 11f x f ==-． (2)函数()2ln 1g x a x x =-+，0x >，则()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减， 此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾，当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以()max 1ln 12222a a a ag x g a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立， 则()max 0g x ≤，即ln 10222aa a -+≤，又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-即ln 10x x x -+≥，（当且仅当1x =时，等号成立）．令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 1022a a -+=且12a =， 所以2a =． (3)由（1）知()l n 1l n x f x x x x ex ==-≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令()10t x t t +=>，则1x >，故111ln 1t t t t t t +++->-，即11ln 1tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭令2022t =，则20232023e 2022⎛⎫> ⎪⎝⎭；由（2）知22ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立， 所以22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）．令()210m x m m +=>，则21x >，故11ln 1m m m m ++<-，即1ln 1mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以1e mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭．令2022m =，则20222023e 2022⎛⎫< ⎪⎝⎭综上，2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 3．(1)答案见解析 (2)0a < 【解析】 【分析】（1）求出导函数()(e )x f x x a '=-，对a 分0a ≤、01a <<、1a =、1a >四种情况讨论即可求解；（2）由（1）问结论，对a 分0a <、0a =、1a =、01a <<、1a >讨论即可得答案. (1)解：()e (1)e (e )x x x f x x ax x a '=+--=-，若0a ≤，则当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 若0a >，由()0f x '=得0x =或1x na =，①若1a =，则()()e 10xx f x '-=≥，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增；②若01a <<，则ln 0a <，当(,ln )(0,)x a ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；当(ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,ln )a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减；③若1a >，则ln 0a >，当(,0)(ln ,)x a ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(,0)-∞和(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减； (2)解：当0a <时，由（1）知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 又()()1010,102f f a =-<=->，取b 满足3b <-且ln(b a <-)，则()()()2211122022f b a b ab a b b >---=+->，所以()f x 有两个零点；当0a =时，令()(1)e 0x f x x =-=，解得0x =，所以()f x 只有一个零点； 当1a =时，令()()01x f x e x -==，解得0x =，所以()f x 只有一个零点；当01a <<时，由（1）知，()f x 在(,ln )a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减，又()01f =-，当ln b a =时，()f x 有极大值()()()2211122022f b a b ab a b b =--=--+<，所以()f x 不存在两个零点；当1a >时，由（1）知，()f x 在(,0)-∞和(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减，当0x =时，()f x 有极大值()010f =-<，所以()f x 不存在两个零点； 综上，a 的取值范围为0a <. 【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是，当0a <时，取b 满足3b <-且ln(b a <-)，从而可得()()()2211122022f b a b ab a b b >---=+->.4．(1)1a > (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，分1a ≤和1a >进行讨论，1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可；（2）先构造函数()ln 1g x a x x =-+，求导证明函数先增后减，故只要说明两个端点大于0即可，化简得到()()0001()1212g x x x a =--+，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+=='，①若1a ≤，则()0f x '>在(1,)+∞恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递增， 当1x >时，()(1)0f x f >=，与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾．②若1a >，令()0f x '>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<． 所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 单调递减．所以()(1)0f a f <=，当x →+∞时，()f x →+∞，由零点存在性定理，()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x ．综上，1a >． (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a x g x a x x g x x x，由（1）知01<<a x ，令()0g x '>，解得1x a <<，令()0g x '<，解得0a x x <<，故()g x 在(1,)a 单调递增，在()0,a x 单调递减．(1)0g =，()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点，故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ，即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ，所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a ． 又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a ， 令()ln(21)22=--+h a a a a ，则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ，令1()ln(21)121m a a a =-+--， 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立， 所以()h a '在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h ''>=，所以()h a 在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h >=，即(21)0f a ->，由（1）可知()0f a <，所以021<<-a x a ，因为0010,210-<-+<x x a ，所以()()()000112102=--+>g x x x a ， 所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立，故对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后，如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >，即可得证. 5．(1)2a ≤ (2)3a = 【解析】【分析】（1）由题意()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，利用分离参数法得到e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立.设()e cos sin xh x x x =++，利用导数判断出函数()h x 在[)0,∞+上单调递增，求出2a ≤；（2）把题意转化为(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥恒成立.由0x =为()g x 的一个极小值点，解得3a =.代入原函数验证成立. (1)由题意知()e cos sin xf x x x a '=++-因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭当02x π≤<时，()e 1104xh x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝⎭当2x π≥时，()2e e 0h x π'>>> 所以函数()e cos sin xh x x x =++在[)0,∞+上单调递增所以()()min 02a h x h ≤== (2)由题知()()()()()ln 1e sin cos ln 11xg x f x x x x ax x x =--=+----< 所以()1e cos sin 1xg x x x a x'=++-+-，()00g = 因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点， 所以()010e cos0sin 0010g a '=++-+=-，解得3a = 当3a =时，()()()e sin cos 3ln 11xg x x x x x x =+----<所以()11e cos sin 3e 3141xx g x x x x x x π⎛⎫'=++-+=+-+ ⎪--⎝⎭ ①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立） 所以()g x 在[)0,1上单调递增②当0x <时，若02x π-≤<，()11310g x '<+-+=；若2x π<-，()22132e 3302222g x πππ-'<+<+-+<++ 所以()g x 在(),0∞-上单调递减综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增 所以当3a =时，()()00g x g ≥= 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．6．(1)单调增区间为()1,1m --，单调减区间为()1,m ∞-+ (2)（ⅰ）、（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求得单调区间（2）（i ）将已知恒成立的不等式化简之后再放缩得到121n na a +-<，又12n n a a +-为整数，则120n n a a +-=，即得所证（ii ）对所要证明的不等式两边同时取对数，等价转化为115ln 123nk k =⎛⎫->- ⎪⎝⎭∑，利用（1）的结论可得()ln 11x x x+≥+（1x >-），赋值累加之后进一步将问题转化为证明115213nk k =<-∑，对通项进行放缩，即可证明(1)()()()211111x m m f x x xx --'=-=+++（1x >-），令()0f x '=得1x m =-． 因为0m >，所以11m ->-，当()1,1x m ∈--时，()0f x '<；当()1,x m ∈-+∞时，()0f x '>．故函数()f x 的单调递减区间为()1,1m --，单调递增区间为()1,m ∞-+． (2)（i ）法一：因为{}n a 各项均为正整数，即1na ≥，故112n n a a ≥+． 于是()211112122112n n n n n n n nn n a a a a a a a a a a +++++-=-≥-++，又2112112n n n n a a a a +++-<+， 所以121n n a a +-<，由题意12n n a a +-为整数， 因此只能120n n a a +-=，即12n n a a +=． （i ）法二：由题，22111122111111212122222n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++--<⇔<⇔--<-<+++，因为{}n a 各项均为正整数，即1n a ≥， 故11022na<≤，于是()111,022na --∈-且()110,122n a +∈． 由题意12n n a a +-为整数，因此只能120n n a a +-=，即12n n a a +=．（ii ）法一：由12a =，得2n n a =，11112n nnb a=-=-．原不等式532111115111e ln 122223nn k k -=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔--->⇔->- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑． 由（1）知1m =时，()ln 11xx x+≥+（1x >-）， 取12kx =-得11ln 1221k k -⎛⎫-≥ ⎪-⎝⎭．因此只需证：11115ln 12213nnkkk k ==⎛⎫-≥->- ⎪-⎝⎭∑∑， 即证明115213nn k k S ==<-∑．记121k k c =-，则+1+1+1+1212111212222k k k k k k k kc c c c --=<=⇒<--． 1513S =<；215133S =+<； 当3n ≥时，1122222211111153211222312n n n S c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭<+++++=+<-．故原不等式成立．（ii ）法二：由12a =，得2n n a =，11112n n n b a =-=-．原不等式532111115111e ln 122223nn k k -=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔--->⇔->- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑． 由（1）知1m =时，()ln 11xx x+≥+（1x >-）， 取12kx =-得11ln 1221k k -⎛⎫-≥ ⎪-⎝⎭．因此只需证：11115ln 12213nnkkk k ==⎛⎫-≥->- ⎪-⎝⎭∑∑， 即证明115213nn kk S ==<-∑．1513S =<；215133S =+<； 当3k ≥时，24k >，故()42132k k ->⋅，即1412132k k <⋅-．当3n ≥时，2233111414414451582132133233332312n nnn k k n k k S --==⎛⎫- ⎪⎝⎭=+<+=+⋅=-<-⋅-∑∑．故原不等式成立． 【点睛】利用导数证明不等式，一般要结合所证不等式，抽象构造出函数，利用导数求出函数的单调性或最值，证明不等式成立，然后把已经证明的不等式替换，或应用得到需要证明的不等式，能力要求较高，属于难题.7．(1)2a = 时，函数 () f x 的单调增区间是(ln2,)+∞ ，递减区间为 (,ln2)-∞ ; (2)a 的取值范围为 (], 0-∞ 【解析】 【分析】（1）将2a =代入，对()f x 求导，根据导数正负，确定函数增减即可； （2）()x f x e a '=-，根据题意函数单调增，所以需要()0f x '≥在R 上恒成立，利用参变分离即可求解. (1)当2a = 时，()e 21x f x x =--，()e 2x f x '∴=-.令()0f x '> ，即e 20x -> ，解得 : ln 2x > ； 令()0f x '< ，即e 20x -< ，解得 :ln 2x < ；()f x ∴ 在ln 2x =时取得极小值，亦为最小值，即(ln 2)12ln 2f =- .∴ 当2a = 时，函数()f x 的单调增区间是(ln2,)+∞，递减区间为(,ln2)-∞.(2)()e 1x f x ax =-- ()e .x f x a ∴-'=()f x 在R 上单调递增，()e 0x f x a ∴='-≥ 恒成立，即e x a ≤在x ∈R 恒成立，x ∈R时,e (0,)x ∈+∞，0a ∴≤.即 a 的取值范围为(],0∞-.8．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 9．(1)2e 3e 1-+(2)()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2e a a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩【解析】 【分析】（1）利用导数求得()f x 在区间[]1,e 上的最大值.（2）由()'f x 对a 进行分类讨论，由此求得()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .(1)当1a =时，()()2ln 31e f x x x x x =+-≤≤，()()()'123123x x f x x x x--=+-=， 所以()f x 在区间()()'31,,0,2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'3,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.()()212,e e 3e 10f f =-=-+>，所以()f x 在区间[]1,e 上的最大值为2e 3e 1-+. (2)2()ln (2)(R,1e)f x a x x a x a x =+-+∈≤≤，()()()()'1222x x a af x x a x x--=+-+=， 当1,22aa ≤≤时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x >递增，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()1121f a a =-+=--.当1e,22e 2aa <<<<时，()f x 在区间()()'1,,0,2a f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()',e ,02af x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()f x 递增.所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()22ln 2ln 222224a a a a a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当e,2e 2a a ≥≥时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x <递减，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()()22e e 2e 1e e 2ef a a a =+-+=-+-.所以()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2e a a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩.【点睛】利用导数求解函数的单调性、最值，若导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，可以考虑利用导函数的零点分布来进行分类. 10．(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得()'f x ，对参数a 进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性； （2）构造函数()ln 1g x x x =-+，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所求得2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭，结合累加法即可求证结果. (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a xf x x x x'+=+=，①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<220a x +<，所以()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当x >220a x +>，所以()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a >时，函数()f x 在(0,)+∞上调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. (2)当1a =时，2()ln f x x x =+，要证明2()1f x x x ≤+-， 即证ln 1≤-x x ，即ln 10x x -+≤， 设()ln 1g x x x =-+，则1()xg x x-'=，令()0g x '=得，可得1x =， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<． 所以()(1)0g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，故2()1f x x x ≤+-. (3)由（2）可得ln 1≤-x x ，（当且仅当1x =时等号成立）， 令211x n =+，1,2,3,n =，则2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭， 故2211ln 1ln 123⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (222)111ln 123n ⎛⎫++<++ ⎪⎝⎭…21111223n +<++⨯⨯…()11n n +- 1111223⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11111lne 1n n n ⎛⎫+-=-<= ⎪-⎝⎭，即222111ln[111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211]lne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 故222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211e n⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.。
高中数学高三导数大题精选(附详细解答)
高中数学高三导数大题精选一、选择题1.函数的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（-3,1）C．（1，+∞）D．（0,1）2.如图是定义在（a，b）上的函数f（x）的导函数的图象，则函数f（x）的极值点的个数为A．2B．3C．4D．53.曲线在点（0,2））处的切线方程为（）．A．y=2B．y=x+2C．y=2x+2D．y=-2x+24.函数在处有极值10，则点（a ，b）为（）A．（3,-3）B．（-4,11）C．（3,-3）或（-4,11）D．不存在5.函数f(x)＝x(ex－1)＋ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2ex－e－1B．y＝2ex－e＋1C．y＝2ex＋e－1D．y＝2ex＋e＋16.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A. B.C. D.7.已知x=2 是函数的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A.15B.16C.17D.188.已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.若函数f（x）=在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为A．a=3 B．a≤3C．a≥3 D．0＜a＜310.函数的导数是A． B．C． D．二、填空题11.已知函数，则过点可以作出________条图象的切线三、解答题12.设函数，．（1）当时，函数取得极值，求的值；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最大值；（3）当时，关于的方程有唯一实数解，求实数的值．13.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数b的最大14.求下列函数的导数（1）（2）（3）15.已知函数．若函数在处有极值-4．（1）求的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值．参考答案一、选择题1、【答案】D解：函数的定义域为，且，解不等式，即，由于，解得.因此，函数的单调递增区间为，故选：D.2、【答案】B3、【答案】C4、【答案】B解：，则，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,为极小值点.5、【答案】A解：f(1)＝e－1，f′(x)＝ex(1＋x)＋－1，f′(1)＝2e，∴在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝2e(x－1)，即为y＝2ex－e－1.6、【答案】A7、【答案】D8、【答案】B9、【答案】C10、【答案】B二、填空题11、【答案】2解：设切点的坐标为：，，因此切线方程为：，把的坐标代入切线方程中，化简得：或，所以过点可以作出二条的切线.故答案为：2三、解答题12、13、【答案】(1)解：因为x= 2为f(x)的极值点，所以即，解得：a=0又当a = 0时，，从而x=2为f(x)的极值点成立．(2)解：∵f(x)在区间[3，+∞)上为增函数，∴在区间[3，+∞)上恒成立．①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意．②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，所以在区间[3，+∞)上恒成立令，其对称轴为∵a > 0，∴，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，由，解得：∵a > 0，∴．综上所述，a的取值范围为[0，](3)解：时，方程可化为，．问题转化为在(0，+∞)上有解令，则当0 < x < 1时，，∴h (x)在(0，1)上为增函数当x > 1时，，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故即实数b的最大值是0．14、15、解：（1）∵，∴，依题意有即，解得∴，由，得，∴函数单调递减区间由知∴，令，解得．当变化时，的变化情况如下表：由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．故可得又．∴综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．。
高中数学导数练习题1(含答案)
高中数学导数练习题（含答案）一、求下列各式的导数1、y=3x²+2x+52、y=4x³+2x²-21003、y=3（x-2）²4、y= x+1x−45、y=3x6、y=42x-17、y=sinx8、y=sin（x²+3x+1）+ lnx +59、y= 4x10、y= e x11、y=ln 3x+112、y=e4-4x二、按要求解答13、已知函数y=ax²-3ax+1，在点（2，1）的切线与y=2x平行，求a的值？14、已知函数y=（a+1）x²+（2 - a）x+7，当x∈（0，+∞）时，函数单调递增，求a的取值范围？【答案】一、求下列各式的导数1、y=3x²+2x+5解：y丿=6x+22、y=4x³+2x²-2100解：y丿=12x²+4x3、y=3（x-2）²解：y丿=3*[（x-2）²]丿*(x-2)丿=6（x-2）*(1-0)=6(x-2）=6X-124、y= x+1x−4解：y丿=（x+1）/∗（x−4）−（x+1）（x−4）/（x−4）²=（x−4）−（x+1）（x−4）²=−5（x−4）²5、y=3x解：y丿=3x ln36、y=42x-1解：y丿=（42x-1）丿*（2x-1）丿=42x-1ln4 * 2=2* 42x-1 ln4解：y 丿=cosx8、y=sin （x ²+3x+1）解：y 丿=[sin （x ²+3x+1）]丿 * （x ²+3x+1）丿 =cos （x ²+3x+1）* （2x+3）=（2x+3）cos （x ²+3x+1）9、y= 4x + lnx +5解：y 丿= - 4x 2 +1x +5= −4 +x +5x 2x 210、y= e x解：y 丿= e x11、y=ln 3x+1解：y 丿= （ln 3x+1）丿* （3x+1）丿= 13x +1 * 3= 33x +1解：y丿=（e4 - 4x）丿*（4 -4x）丿=e4 - 4x *（-4）=-4e4 - 4x二、按要求解答13、已知函数y=ax²-3ax+1，在点（2，1）的切线与y=2x平行，求a的值？解：y=ax²-3ax+1的导数y/=2ax - 3a因为点（2，1）的切线与y=2x平行即当x=2时，y/=2即：2=4a-3aa=214、已知函数y=（a+1）x²+（2 - a）x+7，当x∈（0，+∞）时，函数单调递增，求a的取值范围？解：y=（a+1）x²+（2 - a）x+7的导数y丿=2（a+1）x+（2-a）（1）当a+1＞0（y 丿在第一象限递增），且2-a ＞0（y 丿在y 轴上的截距大于0）在x ∈（0，+∞）时，y 丿图像如下即{x +1＞02−x ＞0解得解得 -1 ＜a ＜2（2）当a+1＞0（y 丿在第一象限递增），且2-a ＜0（y 丿在y 轴上的截距小于0）在x ∈（0，+∞）时，y 丿图像如下即{x +1＞02−x ＜0解得a ＞2（3）当a+1＜0（y 丿在第一象限递减），且2-a ＞0（y 丿在y 轴上的截距大于0）在x ∈（0，+∞）时，y 丿图像如下即{x +1＜02−x ＞0解得a ＜-1且a ＞2 a 不存在 （4）当a+1＜0（y 丿在第一象限递减），且2-a ＜0（y 丿在y 轴上的截距小于0）在x ∈（0，+∞）时，y 丿图像如下y 丿恒小于0，a 不存在综上所述，（3）（4）不存在（1）（2）合起来-1 ＜a＜2a＞2即：a＞-1答：当x∈（0，+∞）时，函数单调递增，求a的取值范围是a ＞-1，。
高三数学 导数大题20道训练
高三数学导数大题20道训练II）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求a的取值范围；III）若函数f(x)的最小值为-2，求a的取值范围.10.已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求函数在[0,1]上的最小值.11.已知函数f(x)=x2e-x.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递减，求函数在[0,1]上的最大值.12.已知函数f(x)=x3-3x2+3x-1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.13.已知函数f(x)=x3-6x2+9x-2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递减，求函数在[1,3]上的最大值.14.已知函数f(x)=x3-3x+2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.15.已知函数f(x)=x3-3x2+4.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.16.已知函数f(x)=x3-6x2+12x-8.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.17.已知函数f(x)=x3-9x2+24x-16.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[2,4]上单调递减，求函数在[2,4]上的最大值.18.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.19.已知函数f(x)=x3-3x2+3.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.20.已知函数f(x)=x3-3x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.Ⅱ) 当 $a>0$ 时，若过原点与函数 $f(x)$ 的图像相切的直线恰有三条，求实数 $a$ 的取值范围。
高中数学导数典型题
关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数）,且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h 。
.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .（1) 求);(x f '（2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 （1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x（2) 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f xx xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022=++++c y b x a y x(圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则=+xd y d dx dy 22232])(1[定数。
高中求导简单练习题及讲解
高中求导简单练习题及讲解练习题1：求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。
解答：首先，我们需要知道基本的求导法则。
对于多项式函数，每一项的导数可以通过求导法则分别求得，然后将它们相加。
对于 \( f(x) = 3x^2 \)，导数是 \( 6x \)。
对于 \( f(x) = 2x \)，导数是 \( 2 \)。
对于常数项 \( -5 \)，导数是 \( 0 \)。
将这些导数相加，我们得到 \( f'(x) = 6x + 2 \)。
练习题2：求函数 \( g(x) = \sin(x) \) 的导数。
解答：对于三角函数，我们使用基本的三角函数导数公式。
对于 \( \sin(x) \)，导数是 \( \cos(x) \)。
因此，\( g'(x) = \cos(x) \)。
练习题3：求函数 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \) 的导数。
解答：这里我们使用链式法则和幂法则。
首先，设 \( u = x^3 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
\( u \) 的导数是 \( u' = 3x^2 \)。
接下来，我们对 \( u^4 \) 求导，使用幂法则，得到 \( h'(x) = 4u^3 \cdot u' \)。
将 \( u \) 和 \( u' \) 的表达式代入，我们得到 \( h'(x) =4(x^3 - 1)^3 \cdot 3x^2 \)。
练习题4：求函数 \( k(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的导数。
解答：对于复合函数的导数，我们使用商法则。
设 \( u = x^2 + 1 \)，那么 \( k(x) = \frac{1}{u} \)。
\( u \) 的导数是 \( u' = 2x \)。
使用商法则，我们得到 \( k'(x) = -\frac{u'}{u^2} \)。
高中数学专题练习《导数的四则运算法则》含详细解析
5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.函数f(x)=x 2x+3的导数f'(x)=()A.x 2+6xx+3B.-2x(x+3)2C.x2+6x(x+3)2D.3x2+6x(x+3)22.函数y=x2cos x的导数为()A.y'=2xcos x-x2sin xB.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin xD.y'=xcos x-x2sin x3.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=()A.0B.-4 C.-2 D.14.对于函数f(x)=e xx2+ln x-2kx,若f'(1)=1,则实数k等于()A.e2B.e3C.-e2D.-e35.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足() A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.y=f(x)-g(x)为常数函数D.y=f(x)+g(x)为常数函数6.若函数f(x)=x 2e x,则f'(x)=.7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.8.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3x e x-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用9.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.310.已知定义在R上的函数f(x)=e x+x2-x+sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1D.y=-2x+311.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=ae x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.aeD.ae-113.若质子的运动方程为s=tsin t,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬时速度为m/s.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.15.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.()设函数f(x)=sinθ3x3+√3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或533.(2019河北衡水中学高三二调,)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(易错)A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)24.()设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()5.(多选)()给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π)上不是凸函数的是()2A.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=xe x6.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g(1100)+g(2100)+…+g(99100)=.7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.8.()已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB⏜上求一点P,使△ABP的面积最大.9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3e x,f(1)=e-1,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f'(x)=(x 2)'(x+3)−x2(x+3)′(x+3)2=2x(x+3)−x 2(x+3)2=2x2+6x-x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2.故选C.2.A对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.3.D由题意,得f'(x)=2x+e x,则f'(0)=1,故选D.4.A因为f'(x)=e x(x-2)x3+1x+2kx2,所以f'(1)=-e+1+2k=1,解得k=e2,故选A.5.C取f(x)=x,g(x)=x+1,满足f'(x)=g'(x),可以验证A、B、D错误;由f'(x)=g'(x),得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=c(c为常数),C 正确.故选C.6.答案2x-x 2e x解析f'(x)=2xe x-x2e x(e x)2=2x-x2e x.7.答案516解析由题意得,h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2=3×4−(5+2)×142=516.8.解析(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln3+1)·(3e)x-2x ln2.(3)y'=x 2+1−2x 2lnx x(x 2+1)2.(4)∵y=x 2-4sin x2cos x 2=x 2-2sin x,∴y'=2x-2cos x.9.A ∵f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e.10.B ∵f'(x)=e x +2x-1+cos x,∴切线的斜率k=f'(0)=1,又f(0)=1,∴切线方程为y=x+1. 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x=1=-3,由于曲线y=x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-ab)=-1,解得a b=-13.故选B.12.A 因为函数f(x)=ae x -ln x(a ≠0), 所以f'(x)=ae x -1x ,将x=1代入,得k=ae-1,又f(1)=ae,所以曲线f(x)在x=1处的切线l 的方程为y-ae=(ae-1)(x-1), 整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 sin 2+2cos 2解析 ∵s'=(tsin t)'=sin t+tcos t, ∴所求瞬时速度为(sin 2+2cos 2)m/s. 14.答案 3x-y-11=0解析 ∵y'=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+2) =3(x+1)2+3≥3,∴当x=-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y+14=3(x+1), 即3x-y-11=0.15.解析 ∵函数f(x)=x-2ln x 的导函数为f'(x)=1-2x ,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=1-2=-1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.能力提升练1.D f'(x)=sin θ·x 2+√3cos θ·x, ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3),∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4],∴sin (θ+π3)∈[√22,1],∴f'(1)=2sin (θ+π3)∈[√2,2].故选D.2.D 因为f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a 2-1=0,得a=±1.又对称轴x=-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.3.D 由f'(x)=e x (2x-2)+f(x), 得f'(x)-f(x)e x =2x-2,即[f(x)e x]'=2x-2,所以f(x)e x=x 2-2x+c(c 为常数),所以f(x)=(x 2-2x+c)e x , 又因为f(0)=1,所以c=1,所以函数f(x)的解析式是f(x)=e x (x-1)2.故选D.易错警示 已知原函数可求出唯一的导函数,已知导数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x 2-2x+c(c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 4.A 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 则g(t)=f'(t)=tcos t,易知函数g(t)是奇函数,排除选项B,D; 当t ∈(0,π2)时,g(t)>0,排除选项C.故选A.5.AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x, f″(x)=-sin x+cos x,当x ∈(0,π4)时,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x 不是凸函数;对于B,f'(x)=1x-2,f″(x)=-1x2<0,故f(x)=ln x-2x 是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x 2+2,f″(x)=-6x,当x ∈(0,π2)时,f″(x)<0,故f(x)=-x 3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)e x ,f″(x)=(x+2)e x ,当x ∈(0,π2)时,f″(x)>0,故f(x)=xe x 不是凸函数.故选AD.6.答案992解析 依题意得,g'(x)=6x 2-6x,g″(x)=12x -6,令g″(x)=0,解得x=12, ∵g (12)=12,∴函数g(x)的对称中心为(12,12),则g(1-x)+g(x)=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1,∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100) =[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12) =49+12=992.7.解析 (1)由题意得f'(x)=x 2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥−1,-1k ≥−1,解得-1≤k<0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1,得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞).8.解析 因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大即可,即点P 是抛物线的切线中平行于AB 的切线的切点,设P(x,y).由题图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y=-2√x ,所以y'=-√x . 因为k AB =-12,所以-√x =-12,解得x=4.由y=-2√x ,得y=-4, 所以点P 的坐标为(4,-4).9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x 3=e x . 令g(x)=f(x)x 2,则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x 3=e x , ∴g(x)=f(x)x 2=e x +c(c 为常数),∴f(x)=x 2(e x +c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1.∴f(x)=x 2(e x -1),∴f'(x)=2x(e x -1)+x 2e x =(x 2+2x)e x -2x,∴f'(2)=8e 2-4.又f(2)=4(e 2-1),∴所求切线方程为y-4(e 2-1)=(8e 2-4)·(x-2),即y=(8e 2-4)x-12e 2+4.。
高中数学导数训练题含答案
导数训练一、单选题（共33题；共66分）1.曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.2.若，则等于（）A. 0B. 1C. 3D.3.下列各式正确的是（）A. (a为常数)B.C.D.4.函数+e的导函数是（）A. B. C. D.5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.6.曲线在点（1,1）处的切线方程为（）A. B. C. D.7.函数的导函数（）A. B. C. D.8.某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为,则该物体在秒时的瞬时速度为（）A. 1米／秒B. 2米／秒C. 3米／秒D. 4米／秒9.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B. 3C. 4D. －10.函数的导数为（）A. B. C. D.11.设函数，若，则等于（）A. B. C. D.12.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )．A. 4B. 16C. 8D. 213.曲线在处的切线的斜率为（）A. -1B.C.D. 114.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B.C.D.15.已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A. 1B. ln2C. 2D. e16.一物体做直线运动，其位移(单位: )与时间(单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.17.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.18.已知函数的值为（）A. B. C. D.19.已知函数，则（）A. B. C. D.20.函数= 的极值点为( )A. B. C. 或 D.21.已知函数,直线过点且与曲线相切,则切点的横坐标为( )A. B. 1 C. 2 D.22.函数在点处切线方程为（）A. B. C. D.23.若有极大值和极小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.24.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D. ＝25.设，若，则（）A. B. C. D.26.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.27.曲线在点处的切线方程是A. B. C. D.28.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.29.一物体在力F(x)＝2x＋3(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝4处，求力F(x)所做的功．（）A. 24B. 25C. 26D. 2730.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.31.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.32.曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.33.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（共10题；共11分）34.函数的单调递增区间是________.35.已知函数为的导函数,则的值为________.36.已知函数，则函数的图像在点处的切线方程为________.37.函数在处的切线方程是，则________.38.设函数可导，若，则________．39.已知函数的导函数为，若，则的值为________.40.若函数,则的值为________．41.已知，则________．42.已知函数( 为常数)，若为的一个极值点，则________.________.43.曲线在点处的切线方程为________．三、解答题（共7题；共55分）44.已知函数，当时，有极大值3.（1）求该函数的解析式；（2）求该函数的解析式；（3）求函数的单调区间.（4）求函数的单调区间.45.如果函数f(x)= (a＞0)在x=±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求函数f(x)的解析式.46.已知函数.(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；(II)若,求的单调区间.47.已知（1）判断单调性（2）判断单调性（3）当时，求的最大值和最小值（4）当时，求的最大值和最小值48.已知函数，求曲线在点处的切线方程；49.已知在与时都取得极值．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的单调区间和极值。
高中数学导数专题常考练习题
高中数学导数专题常考练习题高考数学中，导数是一个常考的题型。
下面介绍几道典型的导数题目。
1.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$满足以下条件：①当$f'(x)>0$时，$x2$；②当$f'(x)<0$时，$-1<x<2$；③当$f'(x)=0$时，$x=-1$或$x=2$。
则函数$f(x)$的大致图象是什么？2.已知直线$2x-y+1=0$与曲线$y=ae^{x}$相切（其中$e$为自然对数的底数），则实数$a$的值是多少？3.已知函数$f(x)=ax+(1-a)x^3$是奇函数，则曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线的倾斜角为多少？4.已知函数$f(x)=x+ax+bx^2+a$在$x=1$处的极值为10，则数对$(a,b)$为什么？5.函数$f(x)=x^3-4x^2+mx$在$[0,3]$上的最大值为4，则$m$的值为多少？6.已知函数$f(x)=x-mx^3+4x^2-3$在区间$[1,2]$上是增函数，则实数$m$的取值范围为什么？7.已知偶函数$f(x)(x\neq0)$的导函数为$f'(x)$，且满足$f(1)=0$。
当$x>0$时，$xf'(x)0$成立的$x$的取值范围是什么？8.已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y=ax^2+(a+2)x+1$相切，则$a$等于多少？9.若函数$f(x)=x^3+x^2-3$在区间$(a,a+5)$上存在最小值，则实数$a$的取值范围是什么？10.已知$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，$f(1)=e$，$x\in\mathbb{R}$，且$2f(x)-f'(x)>0$。
则不等式$f(x)<e^{2x}-1$的解集是什么？11.已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$，讨论 $f(x)$ 的单调性。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()ln xf x x=． (1)求曲线()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；(2)设()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，求证：212e x x >． 3．已知函数2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈． (1)求()f x 的最大值；(2)证明：2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-；(3)若320()2e f x ax -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 4．已知函数321()33f x x x ax =-+(1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间.5．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围.6．已知函数()()e ,xf x ax a R =-∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)讨论()f x 在()0,+∞上的零点个数． 7．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 8．已知函数()ln f x x =(1)过原点作()f x 的切线l ，求l 的方程；(2)令()()f x g x x=，求()g x a ≥在4⎤⎦恒成立，求a 的取值范围9．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围． 10．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>， 由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤， 因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>. 所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)22e 3e 0x y --=； (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，计算1e f ⎛⎫⎪⎝⎭'和1ef ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点斜式代入写出切线方程；（2）设120x x >>，由题意得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，将证明212e x x >转化为证明()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导判断单调性即可证明. (1)由题意，()21ln x f x x -'=，则212e e f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()21e 2e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即22e 3e 0x y --=. (2)设120x x >>，由题意，()()120g x g x ==， 所以1122ln 0,ln 0x kx x kx -=-=，可得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，要证明212e x x >，只需证12ln ln 2x x +>，即()122k x x +>，因为1212ln ln x x k x x -=-，所以可转化为证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+， 即()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()211ln1011h t ⨯->-=+， 即()21ln 1t t t ->+得证，所以212e x x >.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 3．(1)2max ()e f x -=- (2)证明见解析 (3)1,6a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）直接利用导数判断单调性，求出最大值； （2）利用分析法，转化为证明1e x x -＞f (x ). 令g (x )＝1e xx-，[]0,x π∈，利用导数求出g (x )≥g (2)＝-2e -，而2max ()(0)e f x f -==-，即可证明；（3）把问题转化为x cos x －sin x ＋2ax 3≥0恒成立，令h (x )＝x cos x －sin x ＋2ax 3，[]0,x π∈，二次求导后，令()6sin x ax x ϕ=-，对a 分类讨论：i. a ≤－16， ii. a ≥16，iii.－16＜a ＜16，分别利用导数计算即可求解. (1)∵2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈，∴()cos sin cos sin 0f x x x x x x x '=--=-，∴f (x )在[0，π]上单调递减，∴2max ()(0)e f x f -==-．(2)要证2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-，只要证21cos sin e e x x x x x -->--，即证1e xx -＞f (x )， 令g (x )＝1e x x -，[]0,x π∈，则()2ex x g x -'=， 故g (x )在（0，2）上单调递减；g (x )在（2，π）上单调递增，所以g (x )≥g (2)＝-2e -，又 f (x )≤-2e -，且等号不同时取到，所以2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+- (3)()3220f x ax -≥++e ，等价于x cos x －sin x ＋2ax 3≥0，令h (x )＝x cos x －sin x ＋2ax 3，[]0,x π∈，则()2sin 66sin h x x x ax x ax x '=-+=（-），令()6sin x ax x ϕ=-，则()6cos x a x ϕ=-'，i.当a ≤－16时，()0x ϕ'，所以()ϕx 在[0，π]上递减，所以()(0)0x ϕϕ=， 所以()0h x '≤，所以h (x )在[0，π]上递减，所以h (x )≤h （0）＝0，不合题意． ii.当a ≥16时，()0x ϕ'，所以()ϕx 在[0，π]上递增，所以()(0)0x ϕϕ= 所以()0h x '≥，所以h (x )在[0，π]上递增，所以h (x )≥h （0）＝0，符合题意． iii.当－16＜a ＜16时，因为(0)610a ϕ=-<'，()160a ϕπ=+>'，且()x ϕ'在[0，π]上递增，所以0x ∃[]0,π∈，使得()00x ϕ'=，所以当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，此时()ϕx 在（0，x 0）上递减，所以()(0)0x ϕϕ<=，所以()0h x '<，所以h (x )在（0，x 0）上递减，所以h (x )＜h （0）＝0，不合题意．综上可得： 1,6a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 4．(1)23(2)单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间. (1)由321()33f x x x ax =-+，可得2()23f x x x a '=-+，故由()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π得(1)1f '=， 即21231,3a a -+==； (2)1a =-时，321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=--，令2()230f x x x '=-->，则1x <- 或3x > ， 令2()230f x x x '=--<，则13x ，故()f x 的单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- . 5．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点（ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 6．(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求得'()f x ，对参数a 进行分类讨论，根据不同情况下导数的正负即可判断对应的单调性；（2）根据（1）中所求函数的单调性，结合零点存在定理，逐一分析每种情况下函数零点的个数即可. (1)因为()e xf x ax =-，则'()f x e x a =-，当0a ≤时，'()f x 0<，此时()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，令'()f x 0=，可得ln x a =，则当(),ln x a ∈-∞时，'()f x 0>，()f x 单调递增， 当()ln ,x a ∈+∞时，'()f x 0<，()f x 单调递减. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减. (2)当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，又()01f =-， 故当()0,x ∈+∞时，()1f x <-，故此时()f x 在()0,+∞无零点； 当01a <≤时，ln 0a <，故()f x 在()0,+∞单调递减， 同0a ≤时，此时()f x 在()0,+∞无零点；当1a >时，ln 0a >，故()f x 在()0,ln a 单调递增，在()ln ,a +∞单调递减，()()()ln ln 1f x f a a a ≤=-，若ln 10a -<，即1e a <<时，()ln 0f a <，故()f x 在()0,+∞无零点；若ln 10a -=，即e a =时，()ln 0f a =，此时()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ； 若ln 10a ->，即e a >时，()ln 0f a >，又因为()010f =-<，故()f x 在()0,ln a 上一定存在一个零点；又因为2ln ln a a >，且()2ln 0f a <，故()f x 在()ln ,2ln a a 上也一定存在一个零点； 下证()2ln 0f a <：()()22ln 2ln 2ln ,e f a a a a a a a a =-=->，令2ln ,e y x x x =->，则'y 20xx-=<，即2ln y x x =-在()e,∞+单调递减， 故2ln e e 2e 0y <-=-<，即2ln 0,(e)x x x -<> 故()()2ln 2ln 0,e f a a a a a =-. 故当e a >时，()f x 有两个零点.综上所述：当e a <时，()f x 在()0,+∞无零点；e a =时，()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；e a >时，()f x 有两个零点.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数的零点个数，涉及零点存在定理，属综合中档题.7．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 8．(1)1ey x =； (2)4e 4a ≤. 【解析】 【分析】（1）设切线的方程为y kx =，设切点为(,ln )t t ,求出e t =即得解；（2）利用导数求出函数()g x在4⎤⎦上的单调区间即得解. (1)解：设切线的方程为y kx =，设切点为(,ln )t t , 因为()1f x x '=，则()1k f t t'==所以切线方程为()1ln y t x t t-=-即1ln 1y x t t =+- 由题得ln 10t -=则e t = ∴切线l 的方程为1ey x =． (2) 解：()21ln xg x x -'=，e x <<时，()0g x '>；4e e x <<时，()0g x '<，所以函数()g x 在单调递增，在4(e,e )单调递减，∵g =，()44e e 4g =， 因为44e <=所以最小值()44e e 4g =． 4e 4a ∴≤. 9．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ (2)(],1-∞-【解析】【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x a f x x '=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0a h x a x x x =--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案.(1)解：()e x a f x x '=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立， 即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，则()()e e 1e x x x g x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<，所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； (2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1a a x x-+≤， 即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0a h x a x x x =--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<， 当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>，所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增，所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-，综上所述，a 的取值范围(],1-∞-.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.10．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-(2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案.(1)解：（1）()226f x x ax '=+-， 因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；(2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-， ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-， 所以()max 312f x =，()min 163f x =-．。
高中求导专项练习题
高中求导专项练习题1. 求导问题一已知函数$y=x^3-2x^2$，求该函数在$x=2$处的导数值。
解析：求导即求函数的斜率，利用导数的定义进行求解。
函数$y=x^3-2x^2$的导数为$\frac{dy}{dx}=3x^2-4x$。
将$x=2$代入导数表达式中，即可求出该函数在$x=2$处的导数值。
2. 求导问题二已知函数$y=\sqrt{x+1}$，求该函数的导数。
解析：利用导数的定义求解。
函数$y=\sqrt{x+1}$的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$。
将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
3. 求导问题三已知函数$y=e^x\ln x$，求该函数的导数。
解析：利用乘法法则和链式法则求解。
函数$y=e^x\ln x$的导数为$\frac{dy}{dx}=e^x\ln x+\frac{e^x}{x}$。
利用指数函数和对数函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
4. 求导问题四已知函数$y=\sin^2x$，求该函数的导数。
解析：利用链式法则求解。
函数$y=\sin^2x$的导数为$\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$。
利用三角函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
5. 求导问题五已知函数$y=\frac{1}{\log_2x}$，求该函数的导数。
解析：利用倒数法则和链式法则求解。
函数$y=\frac{1}{\log_2x}$的导数为$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x\ln 2(\ln x)^2}$。
利用对数函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
6. 求导问题六已知函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}$，求该函数的导数。
解析：利用除法法则和链式法则求解。
函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}$的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}x^2\frac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+x}$。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，用于描述函数的变化率。
掌握导数的计算方法对于理解数学的应用问题以及解决实际问题非常关键。
本文将为大家提供一些高中数学导数的练习题，以帮助巩固相关知识。
1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 的导函数。
解析：为了求函数的导函数，需要对函数进行求导运算。
对于多项式函数，求导时只需要按照幂次递减的规则，将各项的系数与幂次相乘即可。
因此，对于 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导函数为 f'(x) = 6x - 2。
2. 计算函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。
解析：对于三角函数的求导，可以利用导数的性质和基本公式来计算。
根据基本求导公式，sin(x) 的导数为 cos(x)，cos(x) 的导数为 -sin(x)。
因此，函数 g(x) 的导数为 g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 设 h(x) = (x^2 + 1)^2 ，求 h'(x)。
解析：对于复合函数的求导，可以使用链式法则来计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)。
对于给定的函数 h(x) = (x^2 +1)^2，可以将其分解成两个复合函数：f(g(x)) = g^2(x) 和 g(x) = x^2 + 1。
首先求 g(x) 的导数，g'(x) = 2x。
然后求 f(g(x)) 的导数，f'(g(x)) = 2g(x)= 2(x^2 + 1)。
综合链式法则，得到 h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 2(x^2 + 1) *2x = 4x(x^2 + 1)。
4. 求函数 y = e^x 的导数。
解析：指数函数 e^x 的导数等于其本身，即 e^x 的导数为 e^x。
因此，函数 y = e^x 的导数为 y' = e^x。
高中数学必修一导数经典习题
高中数学必修一导数经典习题
在高中数学必修一的研究过程中，导数是一个重要的概念。
通过研究导数，我们可以求出函数的变化率和极限值，从而更好地理解函数的性质。
以下是一些导数的经典题，帮助学生巩固对导数的理解和应用。
1. 求函数的导数
1. 试求函数 $f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$ 的导数。
2. 求函数 $g(x)=\sin(x)+\cos(x)$ 的导数。
3. 计算函数 $h(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=2$ 处的导数。
2. 导数的应用
1. 已知一辆汽车的速度函数为 $v(t)=3t^2-2t+5$，求该车在
$t=2$ 时的速度。
2. 一物体的位移函数为 $s(t)=t^3-4t^2+5t-2$，求该物体的速度和加速度函数。
3. 设一边长为 $x$ 的正方形的面积为 $A(x)=x^2$，求当边长增加 0.01 时，面积的变化率。
3. 高阶导数
1. 求函数 $f(x)=\sin(x)$ 的二阶导数。
2. 求函数 $g(x)=3x^4-4x^3+2x^2-1$ 的三阶导数。
3. 已知函数 $h(x)=e^x$ 的导数为 $h'(x)=e^x$，求 $h''(x)$。
以上是一些高中数学必修一中关于导数的经典习题，它们可以帮助学生更好地掌握导数的概念和应用。
希望这些习题对你的学习有所帮助！。
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精心整理
高二数学导数专题训练
一、选择题
1.一个物体的运动方程为S=1+t+2
t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）
A 7米/秒
B 6米/秒
C 5米/秒
D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2
＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（）
A.1
B.2
C.－1
D.0
3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y
A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C ．充要条件D ．非充分非必要条件7．曲线3
)
2f x x
在0p 处的切线平行于直线A (1,0)(2,8)
C (1,0)1,4)--
D (2,8)和(1,-8．函数3
3y x x +-有（）
A.-1，极大值1
B.极小值
C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C
(0)(2)2(1)f f f +≥D (0)(2)2(1)f f f +>
10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
的值为（）
A ．'
0()f x B ．'
02()f x C ．'
02()f x -D ．0 二、填空题
11．函数32
y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3
()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是.
13.曲线x x y 43
-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________.
14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 . 三、解答题：
15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3
2
35y x x =+-相切的直线方程 16
17 （1）求y （2）求y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题
11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1
3
-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1
3
）∪（1，+∞））
12．(,0)-∞13．3
4
π
14．1
2
2n +-()()/
112
22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，
令0x =，求出切线与
y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以
21n n a n =+，则数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和()12122212
n n n
S +-=
=--
三、解答题：
15．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'2
36y x x =+
切线的斜率'
2
|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到32
35y x x =+-
16'12V x =V =极大值1718．（I 得⎩⎨
⎧
3d （II 解得6,1-==b a
所以396)(2
3++-=x x x x f …………（8分）
（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()
m x x x x x x +++-=++-5343962
23有三个不等实根，即：
()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g ，
()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,27
6832．…………（10分） 当且仅当()0164027
68
32<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，
故而，27
68
16<<-m 为所求．…………（12分）
19．解：（I ）当1k =时，2()1
x
f x x -'=-
)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得，………………（2分） ∵当
x ∴(f ∴当（II ②当k
令(f '∴(f ∴(f 20．解（故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫
-∞+ ⎪⎝⎭
单调递减， 在2
(1,1)m
+
单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得()3f x m '>，即2
2(1)20mx m x -++>
又0m <所以2
22(1)0x m x m m -
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m
-++<∈-①
设212
()2(1
g x x x
m m
=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以
22
(1)0120
(1)0
10
g
m m
g
⎧
-<+++<
⎧⎪
⇒
⎨⎨
<
⎩⎪-<
⎩
解之得
4 3m
-<又0
m<
所以
4
0 3
m
-<<
即m的取值范围为
4
⎛⎫。