第二章 固定收益债券的定价与利率的期限结构

至此，只是简单地通过将利率乘以每年的付款频率， 将之换算成年利率。称由此得出的利率为年利率。
事实上，这个在已有定期利率（周、月、季度、半 年等）的情况下，计算年利率的单步骤程序是不正确的。 要考虑有效年利率的概念。二者的关系如下：
m 有效年利率＝（ 定期利率）－ 1 1
例如：我们以8％的年利率对$100进行1年的投资， 但利息是以4％的利率（8/2）每半年支付一次的。则 有效年利率为 2
m
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lim A1
R mn m

Ae Rn
假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计 m次复利的利率，则
e
Rc n
1

Rm mn m

或
即
Rc m ln 1
Rm m(e

e
Rc
1
Rm m ( Rc ) / m

Rm m m

1)
亦即可以实现每年计m次复利的利率与连续复利之 间的转换。从实用目的来看，通常可以认为连续复利与 每天计复利等价。
1）加权平均投资组合收益率
w1 y1 w2 y2 w3 y3 wK y K
其中 wi=证券的市场价值相对于投资组合市场价值总
额的比例； K=投资组合中的证券个数； yi=证券i的收益率
虽是最常用的投资组合收益率测度，但它几乎不 能对投资组合的潜在收益率提供任何深入分析。
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年利率将给出下列现时价值：
距现今的年数 1 2 3 4 承诺的年度付款 以10％贴现的现金流 （投资者获得的现金流:$） 现时价值（$） 2000 2000 2500 4000 1818 1652 1878 2732
现时价值总额＝$8080
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距现今的年数 1 2 3
承诺的年度付款 以14％贴现的现金流 （投资者获得的现金流:$） 现时价值（$） 2000 2000 2500 1754 1538 1688
步骤4：将步骤3得出的现时价值总和与投资工具的价格进 行比较。接着，
那么步骤1选择的利率即为到期收益率。
假如步骤3中得出的现金流现时价值总和大于投资工具的价格， 那么步骤1选择的利率不是收益率。回到步骤1并选一个更高的利率。 假如步骤3中得出的现金流现时价值总和小于投资工具的价格， 那么步骤1选择的利率不是收益率。回到步骤1并选一个更低的利率。
（l）一般责任债券； （2）收入债券； （3）专门估价征税债券； （4）其他种类债券。
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（三）公司债券（corporate bond）
1．财产抵押债券(mortgage bonds) 2．抵押信托债券collateral trust bonds) 3．设备抵押债券(equipment obligations) 4．信用债券(debentures) 5．附属信用债券(subordinated debenture)
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表2-1 复利频率与终值
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例2.1
一家银行给出如下报价：年利
14%，按季度计复利。问： （1）等价的连续复利率为多少？
（2）按年计复利的利率为多少？
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4、即期利率与远期利率
如果把当前利率称为即期利率，则当前时 刻的未来一定时期的利率就称为远期利率。 远期利率是由一系列即期利率所决定的。
债券A（一年到期的纯折现债券）：934.58元
债券B（两年到期的纯折现债券）：857.34元
债券C（两年到期的带息债券）：946.93元
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方法一
对于债券A而言，因为现在在银行存入934.58元，一 年后可支取1000元，因此该债券的到期收益率即为银
行在这一年为这笔存款支付的利率rA，即到期收益率
1 [ (11i ) n ] M P C n i (1 i)
3，单利、复利与连续复利
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连续复利
假设数额A以利率R投资了n年。如果利息按
每一年计一次复利，则上述投资的终值为：
A1 R
n
如果每年计m次复利，则终值为：
A1
R mn m

当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuous compounding），此时的终值为
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方法二
利用计算折现值的方式 定义到期收益率
1000 对于债券A： 934.58 1 rA
1000 对于债券B： 857.34 2 1 rB
50 1050 对于债券C： 946.93 1 rC 1 rC 2
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练习
假若市场是无摩擦的，请问例2.3中债
N
其中y称为到期收益率（内部收益率），一般通过试错
法求解。其目标是寻找使现金流的现时价值等于价格的利 率。
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例2.3 债券A一年到期，在到期日，投资者获得1000元； 债券B两年到期，在到期日，投资者获得1000元；债券 C是带息债券，从现在开始，这种债券每年支付50元的 利息，两年到期，在到期日，支付给投资者1050元。 市场上这三种债券的价格分别为：
续复利，下同），6个月到1年的远期利率为
11%，1年期即期利率为12%，请问应如何进
行套利？
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三、 到期收益率
1，计算任何投资的收益率
C3 CN C1 C2 P 1 2 3 (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) N
或
Ct P (1 y ) t t 1
其中 CP＝赎回计划规定的在假设赎回日的赎回价格； n*＝在假设赎回日前的时期数（年数×2） 两个常用的赎回日是首个赎回日和首个票面赎回日
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3，回售收益率
C3 Cn C1 C2 PP p 1 2 3 n* (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) n*
2）投资组合的内部收益率 它是通过先确定投资组合中所有证券的现
金流，然后求出使现金流的现时价值等于投资
组合市场价值的利率计算的。 尽管投资组合的内部收益率优于加权平均投 资组合收益率，但却同样存在一般收益测度所 共有的问题。
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四、固定收益证券的定价公式
（一）债券的定价公式
1，折现因子
C3 CN C1 C2 P 1 2 3 (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) N
或
Ct P (1 y ) t t 1
N
此时，这里计算的收益率是时期收益率。我们必须通过将 时期收益率乘以恰当的系数m（每年现金流的次数）以计
算年利率。
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其中 PP＝假设回售日的回售价格； n*＝在假设回售日前的时期数（年数×2） 一些从业者计算债券的最差收益率即在为债券计算得 出的所有可能的收益率中最小的收益率测度。
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4、投资组合的收益率
从业者采用两个惯例计算投资组合的收益率：
（1）加权平均投资组合收益率
（2）内部收益率
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1 dk r k [1 m ]
2，永久性现金流（永久性年金）
A A P k r k 1 (1 r )
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3，有限期限的现金流定价公式
P
C C C C M (1 i)1 (1 i) 2 (1 i )3 (1 i ) n (1 i ) n

当即期利率和远期利率均为连续复利时， 即期利率和远期利率之间的精确关系为
r * T * t r T t ˆ r T* T


这是因为：
e
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r T t
e
ˆ r (T * T )
e
r * T * t

例2.2
假设现在6个月即期年利率为10%（连
rA应满足下列方程：
(1 rA ) 934.58 1000(元）
得rA=7%
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对于债券B，假设以rB为年利率计算复利，则初始857.34
元的投资在一年后变为（1+rB）*857.34元。连本带息接
着投资，在第二年末，投资增长为 到期收益率rB使得这个总收入为1000元。
(1 rB ) 1 rB 857.34元
换言之，债券B的到期收益率是使得下式成立的rB的值：
(1 rB ) 1 rB 857.34 1000(元）
得rB=8%
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对于债券C。初始946.93元的投资，一年后变为（1+rC） *946.93元。这时，投资者支取50元利息，账户变为
(1 0.04) 1 0.0816
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2，赎回收益率
当债券可被赎回时，投资者可以计算截至假设的赎 回日的收益率。赎回收益率是使截止假设的赎回日的 现金流的现时价值等于债券价格的利率。
C3 Cn C1 C2 CP p 1 2 3 n* (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) n*
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一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期 利率为r，T*时刻（T*>T）到期的即期利率为r* ，则t
时刻的T至T*期间的远期利率
ˆ r 可以通过下式求得：
1 r
1 r
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T t
1 r
T * T

T * t *
4
4000
2368
现时价值总额＝$7348
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距现今的年数 1 2 3
承诺的年度付款 以12％贴现的现金流 （投资者获得的现金流:$） 现时价值（$） 2000 2000 2500 1786 1594 1780
4
4000
2544
现时价值总额＝$7704
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当将公式推广至一年中有任何次数的定期付款的情 形。确定收益率的一般化公式为：
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例2.4 一种金融工具将提供以下年度付款：
距现今的年数 1 2 3 承诺的年度付款（现金流） 2000 2000 2500
4
4000
假设该金融工具的价格为$7704。该金融工具提供的 到期收益率是多少？
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为了计算收益率，必须用不同的利率进行尝试，直到找到
一个使现金流的现时价值等于$7704的利率为止。选取10％的
（六）大额可转让存单(CDs)
（七）外国债券(foreign bond) （八）欧洲债券(european bond) （九）固定收益证券的衍生产品
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二、利率的基本理论
1，货币的时间价值－－利率； 2，名义利率（NIR）、实际利率(RIR)以及通货膨胀 率(CCL)的关系: RIR≈NIR-CCL
[（1+rC）*946.93]-50元。在两年末，投资者的账户变
为：
(1 rC ) 1 rC 946.93 50元
债券C的到期收益率是使得下式成立的rC的值：
(1 rC ) 1 rC 946.93 50 1050
得rC=7.975%
6．收益债券(income bonds)
7．担保债券(guaranteed bonds) 8．参与债券(participating bonds) 9．投票权债券(voting bonds) 10．可转换债券(convertible bonds)
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（四）商业票据（commercial paper） （五）银行承兑汇票（bill of exchange）
第二章
固定收益证券的定价与利 率的期限结构
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第一节 固定收益证券概述
一、 固定收益证券及其种类 （一）含义
一种承诺在一段固定的时间后，支付给持有 者固定收益的证券。 可能只有一次现金流支付
（零息债券）或多次现金流支付（如附息债券）。
源自文库
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（二）政府债券(government note and bond)
券A、B、C的价格是否为均衡价格？为什么？
2013-10-27
任何投资的收益率计算的步骤总结
目标 ：寻找使现金流的现时价值等于投资工具价格的利率。
步骤1：选择一个利率。 步骤2：利用步骤1选择的利率计算每笔现金流的现时价值。
步骤3：将步骤2计算的现金流的现时价值相加起来。
假如步骤3中得出的现金流现时价值总和等于投资工具的价格，