开关变换器-第4章 开关变换器建模
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对开关函数进行平均化：
1 1 k (t ) k ( )d T 0 T
1 1 k (t ) k ( )d T 0 T
T T dT
T
dT
k ( )d d
0
k ( )d 1 d
式中d为占空比。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
由此得出：
4.2.1 状态空间的基本定义
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分 方程或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项，一 般形式为：
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] x
输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数 关系的代数方程称为输出方程，当输出可测量时，又称为观测方程。 输出方程的一般形式为：
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
L iL VD io
us V
x iL (t ) uo (t )
R
T
C
uo
u us (t )
y uo (t )
当开关管V导通、二极管VD关断时
A1 x B1u x T y C 1 x
式中
0 A1 0 0 1 RC 1 B1 L 0 C1T 0 1
建 模
字解的方法
方
法
解析建模法：利用数学分析的方法以求得变换器运行特性 的解析表达式，使之能对变化器进行定量分析。
4.1
概述
本章从最基本而又最重要的状态空间平均法出发，分别介 绍 PWM 开关模型法、等效变压器描述法两种平均值等效电路 法，最后介绍了离散平均法，并对建模过程进行举例说明
4.2 状态空间平均法
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
当Boost电路工作于前两种状态，即开关管和二极管轮流
导通时，电感电流是连续的，可称之为电流连续工作模 式（CCM）； 而当Boost电路有三种工作状态时，即除了开关管和二极 管轮流导通外，还有开关管和二极管都不导通的状态， 电感电流是不连续的，可称之为电流不连续工作模式 （DCM）。 以电流连续工作模式为例说明状态空间平均法的建模过
系统模型
X 状态的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量 x和输入
对于系统的数学描述：
一种是关于系统输入-输出的数学描述，这种外部描述将系统
等效为黑箱，只是反映输入-输出间的关系，而不去表征系统 的内部结构和内部变量，如传递函数；
状态空间的基本概念：
输入和输出：由外部施加到系统上的激励称为输入；系统的被控量或从外部
整理为矩阵的形式得：
( A1k (t ) A2k (t )) x ( B1k (t ) B2k (t ))u x T T y ( C 1 k ( t ) C 2 k (t )) x
（3-1）
在引入开关函数以后，状态方程得到了统一，但由于在上式中存
在两变量的乘积项，并且开关函数随时间t变化，所以统一描述后
测量到的系统信息称为输出。 状态、状态变量和状态向量：能完整描述和唯一确定系统运行过程的一组独 4.2.1 状态空间的基本定义
立的变量称为系统的状态，其中的各个变量称为状态变量。在开关变换器中， 一般选择电感电流和电容电压作为状态变量，因为这些变量的微分不是趋于 无穷。
状态空间：以状态向量的n个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。
(us uo ) diL us k ( t ) k (t ) dt L L uo uo duo 1 k ( t ) i k (t ) L RC RC C dt y uo
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
ˆ 为占空比扰动量；X 为稳态状 式中： d D 为稳态占空比值，
ˆ 为输入 态变量， x ˆ 为状态变量扰动量； U 为稳态输入量，u
ˆ 为输出变量扰动量。 变量扰动量； Y 为稳态输出变量，y
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：
ˆ ( A1 A2) X ( B1 B2)U ˆ Ax ˆ Bu ˆd x
A dA1 (1 d ) A2 C T dC 1T (1 d )C 2 T
由上所述，平均化解决了状态变量时变问题，同时平均化后的 状态方程是低频模型。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
2) 求解稳态方程 根据稳态时 x 0 ，令 x X , y Y , d D, u U 大写表示稳态值，得到 AX BU 0 (3-19) T Y C X
( A1k (t ) A2k (t )) x ( B1k (t ) B2k (t ))u x T T y (C 1 k (t ) C 2 k (t )) x
那如何对变量进行平均化，进而得到平均状态方程呢？
状态系数矩阵均为常量，因此要建立系统的状态空间平均
模型，就必须首先对状态变量和开关函数进行平均化。 先定义平均算子：
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
5) 求解传递函数
对（3-2）进行拉普拉斯变换
ˆ ˆ ˆ ˆ s x ( s ) Ax ( s ) B u ( s ) ( A 1 A 2 ) X ( B 1 B 2 ) U d ( s) s s T T T ˆ ( s) ˆ ˆ y ( s ) C x ( s ) ( C 1 C 2 ) X d
根据式(3-19)，可得到状态变量的稳态解：
X A1 BU Y C A BU
T 1
(3-20)
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
3) 求解动态方程 当需要研究系统的动态过程时，可以在系统稳态工作点附 近引入扰动量，令瞬时值：
ˆ d Dd ˆ u U u ˆ y Y y ˆ xXx
1 x (t ) T
x( )d
0
T
x (t )
为需要平均的变量， x (t )
为平均算子。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
平均算子有如下性质：
（1） 微分性质：
dx dx dt dt
平均算子的微分等于变量微分后再平均 （2）线性性质： ax by ax by 两个与常数相乘的平均算子之和等于变量与常数乘积求和后再平均 （3）时不变性质： x (t t0 ) x(t t0 ) 延迟后的变量的平均算子等于平均变量延迟后的值 通常 x(t ) y(t ) x (t ) y (t ) ，但如果变量同时满足变化幅度足够小和变 化速度足够慢那么有
4.2.1 状态空间的基本定义
4.2.2 开关变换器的状态方程 4.2.3 连续导通模式下的状态空间平均法
4.2
状态空间平均法
另一种是关于系统状态空间的数学描述，这种内部描述是基于系统内部 U Y
变量u间的关系，具有一阶微分方程组的形式；另一个是表征系统输出向 量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
根据以上平均算子性质，假设对方程式（3-1）进行平均化：
( A1k (t ) A2k (t ))x ( B1k (t ) B2k (t ))u x ( A1k (t ) A2k (t )) x ( B1k (t ) B2k (t ))u
4.2.2 开关变换器的状态方程
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
L
iL
VD
io
L
iL
VD
io
us
V C
R
uo
us
V
a)
b)
VD
C
R
uo
L
iL
io
L
iL
VD
io
us
V
C
c)
R
uo
us
V
C
d)
R
uo
如上图所示为Boost变换器及其各开关换流状态，状态 变量为电感电流和电容电压。
开关变换器建模
第3章 开关变换器的建模分析
基本内容
4.1
概述 状态空间平均法
4.2
4.3 PWM开关模型法
4.4
等效变压器法
4.5
开关变化器离散平均模型
4.1
概述
开关变换器是典型的强非线性系统，为研究开关变换器的控制问 题，必须以开关变换器建模为基础。
数字仿真法：利用各种仿真软件以求得变换器某些特性数
y(t ) g[ x(t ), u(t ), t ]
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] x
y(t ) g[ x(t ), u(t ), t ]
动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状 态空间表达式，其一般形式为：
4.2.1 状态空间的基本定义
线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或差分方 程，输出方程是向量代数方程，线性连续时间系统动态方程的一般 形式为：
ˆ ( B1 B2)ud ˆd ˆˆ ( A1 A2) x ˆ (C 1T C 2T ) X (C 1T C 2T ) x ˆ ˆ d ˆd y CT x
假定动态过程中的扰动信号比其稳态量小的多：
ˆ 1,x/X ˆ 1,d/D ˆ 1 u/U
非线性方程中的变量乘积项可被忽略，由此而得到的线性方程在系 统的稳态工作点附近可以近似描述此非线性系统。
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) x y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
线性定常系统：若线性系统的状态方程中的系数矩阵A、B、C、D中的 各元素均为常数，则称之为线性定常系统，即
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y (t ) Cx(t ) Du(t )
程
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
定义开关函数如下：
1 k (t ) 0
开关管V导通，二极管VD关断时 开关管V关断，二极管VD导通时
0 k (t ) 1
二极管VD关断,开关管V导通时 二极管VD导通,开关管V关断时
在引入开关函数和后，前述Boost电路的状态方程可描述为：
下面将以连续导通模式时的 Boost变换器为例，介绍状态空
间平均法建模的具体步骤。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
1）变量的平均化
由于开关管的通断，开关变换器中的大多数变量都是突变的；
对两个状态进行平均化以后，时变的变量转化为连续的变量。
x
x
平均值
x
状态一
状态二
tFra Baidu bibliotek
状态一
状态二
t
a)
b)
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
( A1d A2(1 d )) x ( B1d B2(1 d ))u x
同理：
y (C 1T d C 2 T (1 d )) x
基本的状态空间平均方程为： x
其中：
T y C x
Ax Bu
B dB1 (1 d ) B 2
的状态方程本质上仍然是一个非线性时变方程。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
状态空间平均法的主要思想是：根据线性元件、独立电源和
周期性开关组成的原始网络，使用状态空间描述并进行平均 化处理，将各个电路状态对整个电路的影响用其在整个周期 的平均值来描述。这样可以得到在一个开关周期里，电路的 平均状态方程描述。
求解可得：
ˆ ( s ) ( sI A ) 1 Bu ˆs ( s ) ( sI A ) 1[( A1 A 2) X x ˆ ( s) ( B1 B2)U ]d
s
ˆ ( s ) CT ( sI A) 1 Bu ˆs ( s ) {CT ( sI A) 1[( A1 A 2) X y ˆ ( s) ( B1 B2)U ] (C1T C2 T ) X }d
s
式中 I 为单位矩阵,输入量 u us (t )
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
进而可解得传递函数：
ˆ ( s) x ( sI A ) 1 B ˆs ( s ) dˆ ( s )0 u
ˆ ( s) y C T ( sI A) 1 B ˆs ( s ) dˆ ( s )0 u
1 1 k (t ) k ( )d T 0 T
1 1 k (t ) k ( )d T 0 T
T T dT
T
dT
k ( )d d
0
k ( )d 1 d
式中d为占空比。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
由此得出：
4.2.1 状态空间的基本定义
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分 方程或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项，一 般形式为：
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] x
输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数 关系的代数方程称为输出方程，当输出可测量时，又称为观测方程。 输出方程的一般形式为：
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
L iL VD io
us V
x iL (t ) uo (t )
R
T
C
uo
u us (t )
y uo (t )
当开关管V导通、二极管VD关断时
A1 x B1u x T y C 1 x
式中
0 A1 0 0 1 RC 1 B1 L 0 C1T 0 1
建 模
字解的方法
方
法
解析建模法：利用数学分析的方法以求得变换器运行特性 的解析表达式，使之能对变化器进行定量分析。
4.1
概述
本章从最基本而又最重要的状态空间平均法出发，分别介 绍 PWM 开关模型法、等效变压器描述法两种平均值等效电路 法，最后介绍了离散平均法，并对建模过程进行举例说明
4.2 状态空间平均法
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
当Boost电路工作于前两种状态，即开关管和二极管轮流
导通时，电感电流是连续的，可称之为电流连续工作模 式（CCM）； 而当Boost电路有三种工作状态时，即除了开关管和二极 管轮流导通外，还有开关管和二极管都不导通的状态， 电感电流是不连续的，可称之为电流不连续工作模式 （DCM）。 以电流连续工作模式为例说明状态空间平均法的建模过
系统模型
X 状态的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量 x和输入
对于系统的数学描述：
一种是关于系统输入-输出的数学描述，这种外部描述将系统
等效为黑箱，只是反映输入-输出间的关系，而不去表征系统 的内部结构和内部变量，如传递函数；
状态空间的基本概念：
输入和输出：由外部施加到系统上的激励称为输入；系统的被控量或从外部
整理为矩阵的形式得：
( A1k (t ) A2k (t )) x ( B1k (t ) B2k (t ))u x T T y ( C 1 k ( t ) C 2 k (t )) x
（3-1）
在引入开关函数以后，状态方程得到了统一，但由于在上式中存
在两变量的乘积项，并且开关函数随时间t变化，所以统一描述后
测量到的系统信息称为输出。 状态、状态变量和状态向量：能完整描述和唯一确定系统运行过程的一组独 4.2.1 状态空间的基本定义
立的变量称为系统的状态，其中的各个变量称为状态变量。在开关变换器中， 一般选择电感电流和电容电压作为状态变量，因为这些变量的微分不是趋于 无穷。
状态空间：以状态向量的n个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。
(us uo ) diL us k ( t ) k (t ) dt L L uo uo duo 1 k ( t ) i k (t ) L RC RC C dt y uo
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
ˆ 为占空比扰动量；X 为稳态状 式中： d D 为稳态占空比值，
ˆ 为输入 态变量， x ˆ 为状态变量扰动量； U 为稳态输入量，u
ˆ 为输出变量扰动量。 变量扰动量； Y 为稳态输出变量，y
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：
ˆ ( A1 A2) X ( B1 B2)U ˆ Ax ˆ Bu ˆd x
A dA1 (1 d ) A2 C T dC 1T (1 d )C 2 T
由上所述，平均化解决了状态变量时变问题，同时平均化后的 状态方程是低频模型。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
2) 求解稳态方程 根据稳态时 x 0 ，令 x X , y Y , d D, u U 大写表示稳态值，得到 AX BU 0 (3-19) T Y C X
( A1k (t ) A2k (t )) x ( B1k (t ) B2k (t ))u x T T y (C 1 k (t ) C 2 k (t )) x
那如何对变量进行平均化，进而得到平均状态方程呢？
状态系数矩阵均为常量，因此要建立系统的状态空间平均
模型，就必须首先对状态变量和开关函数进行平均化。 先定义平均算子：
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
5) 求解传递函数
对（3-2）进行拉普拉斯变换
ˆ ˆ ˆ ˆ s x ( s ) Ax ( s ) B u ( s ) ( A 1 A 2 ) X ( B 1 B 2 ) U d ( s) s s T T T ˆ ( s) ˆ ˆ y ( s ) C x ( s ) ( C 1 C 2 ) X d
根据式(3-19)，可得到状态变量的稳态解：
X A1 BU Y C A BU
T 1
(3-20)
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
3) 求解动态方程 当需要研究系统的动态过程时，可以在系统稳态工作点附 近引入扰动量，令瞬时值：
ˆ d Dd ˆ u U u ˆ y Y y ˆ xXx
1 x (t ) T
x( )d
0
T
x (t )
为需要平均的变量， x (t )
为平均算子。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
平均算子有如下性质：
（1） 微分性质：
dx dx dt dt
平均算子的微分等于变量微分后再平均 （2）线性性质： ax by ax by 两个与常数相乘的平均算子之和等于变量与常数乘积求和后再平均 （3）时不变性质： x (t t0 ) x(t t0 ) 延迟后的变量的平均算子等于平均变量延迟后的值 通常 x(t ) y(t ) x (t ) y (t ) ，但如果变量同时满足变化幅度足够小和变 化速度足够慢那么有
4.2.1 状态空间的基本定义
4.2.2 开关变换器的状态方程 4.2.3 连续导通模式下的状态空间平均法
4.2
状态空间平均法
另一种是关于系统状态空间的数学描述，这种内部描述是基于系统内部 U Y
变量u间的关系，具有一阶微分方程组的形式；另一个是表征系统输出向 量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
根据以上平均算子性质，假设对方程式（3-1）进行平均化：
( A1k (t ) A2k (t ))x ( B1k (t ) B2k (t ))u x ( A1k (t ) A2k (t )) x ( B1k (t ) B2k (t ))u
4.2.2 开关变换器的状态方程
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
L
iL
VD
io
L
iL
VD
io
us
V C
R
uo
us
V
a)
b)
VD
C
R
uo
L
iL
io
L
iL
VD
io
us
V
C
c)
R
uo
us
V
C
d)
R
uo
如上图所示为Boost变换器及其各开关换流状态，状态 变量为电感电流和电容电压。
开关变换器建模
第3章 开关变换器的建模分析
基本内容
4.1
概述 状态空间平均法
4.2
4.3 PWM开关模型法
4.4
等效变压器法
4.5
开关变化器离散平均模型
4.1
概述
开关变换器是典型的强非线性系统，为研究开关变换器的控制问 题，必须以开关变换器建模为基础。
数字仿真法：利用各种仿真软件以求得变换器某些特性数
y(t ) g[ x(t ), u(t ), t ]
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] x
y(t ) g[ x(t ), u(t ), t ]
动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状 态空间表达式，其一般形式为：
4.2.1 状态空间的基本定义
线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或差分方 程，输出方程是向量代数方程，线性连续时间系统动态方程的一般 形式为：
ˆ ( B1 B2)ud ˆd ˆˆ ( A1 A2) x ˆ (C 1T C 2T ) X (C 1T C 2T ) x ˆ ˆ d ˆd y CT x
假定动态过程中的扰动信号比其稳态量小的多：
ˆ 1,x/X ˆ 1,d/D ˆ 1 u/U
非线性方程中的变量乘积项可被忽略，由此而得到的线性方程在系 统的稳态工作点附近可以近似描述此非线性系统。
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) x y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
线性定常系统：若线性系统的状态方程中的系数矩阵A、B、C、D中的 各元素均为常数，则称之为线性定常系统，即
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y (t ) Cx(t ) Du(t )
程
4.2.2.1变换器的开关状态和状态方程
定义开关函数如下：
1 k (t ) 0
开关管V导通，二极管VD关断时 开关管V关断，二极管VD导通时
0 k (t ) 1
二极管VD关断,开关管V导通时 二极管VD导通,开关管V关断时
在引入开关函数和后，前述Boost电路的状态方程可描述为：
下面将以连续导通模式时的 Boost变换器为例，介绍状态空
间平均法建模的具体步骤。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
1）变量的平均化
由于开关管的通断，开关变换器中的大多数变量都是突变的；
对两个状态进行平均化以后，时变的变量转化为连续的变量。
x
x
平均值
x
状态一
状态二
tFra Baidu bibliotek
状态一
状态二
t
a)
b)
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
( A1d A2(1 d )) x ( B1d B2(1 d ))u x
同理：
y (C 1T d C 2 T (1 d )) x
基本的状态空间平均方程为： x
其中：
T y C x
Ax Bu
B dB1 (1 d ) B 2
的状态方程本质上仍然是一个非线性时变方程。
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
状态空间平均法的主要思想是：根据线性元件、独立电源和
周期性开关组成的原始网络，使用状态空间描述并进行平均 化处理，将各个电路状态对整个电路的影响用其在整个周期 的平均值来描述。这样可以得到在一个开关周期里，电路的 平均状态方程描述。
求解可得：
ˆ ( s ) ( sI A ) 1 Bu ˆs ( s ) ( sI A ) 1[( A1 A 2) X x ˆ ( s) ( B1 B2)U ]d
s
ˆ ( s ) CT ( sI A) 1 Bu ˆs ( s ) {CT ( sI A) 1[( A1 A 2) X y ˆ ( s) ( B1 B2)U ] (C1T C2 T ) X }d
s
式中 I 为单位矩阵,输入量 u us (t )
4.2.2.2状态空间平均法建模步骤
进而可解得传递函数：
ˆ ( s) x ( sI A ) 1 B ˆs ( s ) dˆ ( s )0 u
ˆ ( s) y C T ( sI A) 1 B ˆs ( s ) dˆ ( s )0 u