泊松分布及其应用研究

湖南科技大学

信息与电气工程学院

《课程论文》

题目：泊松分布及其应用研究

专业：通信工程

班级： 13级3班

*名：***

学号： **********

一、摘要 (1)

二、泊松分布的概念 (2)

三、计数过程为广义的泊松过程 (4)

四、泊松分布及泊松分布增量 (5)

五、泊松分布的特征 (5)

六、泊松分布的应用 (6)

七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8)

八、参考文献 (12)

作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

二、泊松分布的概念：

定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且

{}0,,2,1,0,!

>===-λλ

k e k x k X P k 为常数。

则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。

定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。

主要结论：

定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。

证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有:

0 , , ,2 ,1 0 k ,!

k} X P{>===-λλλ e k k

则()()λλλλλλλλ

λ

=⋅=-==-

∞

=--∞

=-∑∑

e e k e

k e k X E k k k k

11

0!1!

从而()()()

λλλλλλλ

λ

+=-+-==-∞

=-∞

=--∞

=∑

∑

∑212

2

2

2

!1!2!

e k e k e

k k

X

E k k

k k k k

故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==

定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为

{}n k p p C k x P k n n k

n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。

又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞

→==e k k x P k

n n !

lim

。

证明 由λ=n np 得:

{}()()n n

k

n k

k

n k

n n n k n n k n n k k n n n k x P ⋅--⎪⎭⎫

⎝⎛-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡

⎪⎭⎫ ⎝

⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=

⎪

⎭⎫

⎝

⎛-⎪

⎭⎫

⎝⎛+--==λλλλ11121111!1!11

显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有

λλ-⋅-→⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯e n n k n n n n

k

n 1,11121111

从而{}λ

λ-→=e k k x P k

n 1

，故{}λλ-∞

→=

=e k k x P k

n n !

lim 。

定理3 设λp 是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:

dt e

x p P x

t ⎰

∞

--

∞

→=

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<-2

221

lim π

λλλλ

证明 已知ελ的特征函数为()()1

-=Φit e e t λλ,故()λλεληλ-=的特征函数为:

()1

-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛Φ=-λλλλλλit

e

t

t

e e

t t g

对任意的t ,有()∞→⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=λλολλλ

1!212t it

e

it

。

于是()∞→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-λλολλλλ

212122t t t i e it

。 从而对任意的点列∞→n λ,有()2

2

lim t e t g n

n

-∞

→=λλ。

但是2

2t e

-

是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列(){}x F n 弱收敛于

分布函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛于