二项分布与泊松分布区别和联系

总体均数 总体方差 总体标准差
µX = 3 × 0 . 4 = 1 . 2 ( 只 )
2 σX =3×0.4×0.6=0.72(只 )
σ X = 3 × 0.4 × 0.6 = 0 . 8 5 ( 只 )
二、二项分布的正态近似 1. 当 π=0.5 时 ， 图 形 对 称 ； 当 π≠ 0.5 时 ， 图 形 呈 偏 态 ， 但 随 n 的 增大，图形逐渐对称。 2 . nπ ≥ 5,且n(1−π) ≥ 5( n 大 ， π 不 接 近 0 、 1 ) 时 ， 近似正态分布。
( 3 )0.4 0 (1 − 0.4) 3−0 = 0 . 2 1 6 0
3 (1 )0.41 (1 − 0.4) 3−1 = 0 . 4 3 2 ( 3 )0.4 2 (1 − 0.4) 3−2 = 0 . 2 8 8 2
( 3 )0.4 3 (1 − 0.4) 3−3 = 0 . 0 6 4 3
S p1 − p2 X1 + X 2 X1 + X 2 1 1 = (1 − )( + ) n1 + n2 n1 + n2 n1 n2
例 7-7
为 研 究 A 、 B 两 地 学 生 的 肺 吸 虫 感 染 率 是 否 相 同 ，某 研 究
者 随 机 抽 取 8 0 名 A 地 学 生 和 8 5 名 B 地 学 生 ，查 得 感 染 人 数 A 地 2 3 ， B 地 13。 请 作 统 计 推 断 。 本 例 n1 = 8 0 ， n1 p1 = 2 3 ， n1 (1 − p1 ) = 5 7 ； n2 = 8 5 ， n 2 p 2 = 1 3 ， n 2 (1 − p 2 ) = 7 2 ， 可认为两地学生的肺吸虫感染样本率近似正态分布，故可用 Z 检验。 记 A 地 学 生 肺 吸 虫 感 染 率 为 π1 ， B 地 学 生 肺 吸 虫 感 染 率 为 π 2 ： π1 = π 2
愈率π0=0.45。新治疗方法是否更好。 检验假设为 H0：π=0.45；H1：π>0.45； α =0.05。 本例 n=180，p=117/180=0.65， Z =
0.65 − 0.45 = 5.394 0.45(1 − 0.45) 180
查 Z 界值表得单侧 P < 0.0005 。按 α =0.05 水准，拒绝 H0，接受 H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。
四、二项分布的概率计算
例 7-2 如 果 例 7-1 中 的 π =0.4， 则 3 只白鼠中死亡白鼠数 X 服从以 n=3、 π =0.4 的 二 项 分 布 ， 即 X～ B(3,0.4)， P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= X 各取值的概率：
=CRITBINOM(3,0.4,0.217) =BINOMDIST(1,3,0.4,0)
( p − Zα
2
S p, p + Zα
2
2
Sp)
S
p
=
p (1 − p ) / n
2
式中：α = 0 . 05 时， Z 0 .0 5
= 1 . 9 6 ；α = 0 . 01 时， Z 0 .0 1
= 2 .5 8
（二）样本率与总体率的比较
1. 直接法
（1）出现“阳性”的次数 X 至多为 k 次的概率为 P(X ≤ k) = ∑ P( X ) = ∑
例 7-6
据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01， 某 研 究 者 想 了
解 当 地 新 生 儿 染 色 体 异 常 是 否 低 于 一 般 ， 他 随 机 抽 查 当 地 400 名 新 生 儿，结果 1 名染色体异常，请作统计推断。 H0: π =0.01, H1： π <0.01 α=0.05 P(X≤ 1)= P(X=0)+ P(X=1) =(0.99)400+
为的阶乘, n!=1 (n! 为的阶乘, n!=1*2*……*n, 0!=1) *n, !=1
• ②、牛顿二项展开式： 牛顿二项展开式：
( a + b ) = a + 2 ab + b
2 2
3 3 2 2
2
3
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b
n
n n 0 0 n n n n 1 1 n−1 n 2 2 n−2
P( X = 2) = ( 3 )π 2 (1 − π )1 2
死
生
死
生 3 0
死
死
死
死
死
πππ
P( X = 3) = ( 3 )π 3 (1 − π ) 0 3
3 (π + (1−π ))3 = ( 3 ) π 0 (1−π )3 + ( 1 ) π1(1−π )2 + ( 3 ) π 2 (1−π )1 + ( 3 ) π 3 (1−π )0 0 2 3
三、成功次数的概率分布─二项分布
• 例7-1 设某毒理试验采用白鼠共3只，它 们有相同的死亡概率π，相应不死亡概率 为1－π 。记试验后白鼠死亡的例数为X， 分别求X＝0、1、2和3的概率
P ( X = k ) = ( n )π k (1 − π ) n − k k 右侧( n )π k (1 − π ) n − k 为二项式[π + (1 − π )]n 展开式的各项 k
表 7-1 死 亡 数 存 活 数
3 只 白 鼠 各 种 试 验 结 果 及 其 发 生 概 率
试 验 结 果 甲 生 乙 生 丙 生 试 验 结 果 的 概 率
X取 值 概 率
X
0 1
3− X
3 2
P( X ) = ( 3 )π k (1 − π ) 3− k k P( X = 0) = ( 3 )π 0 (1 − π ) 3 0
Sp =
例 7-5
p(1 − p) n
(7-7)
抽 居 民 3 0 0 人 的 粪 便 ， 检 出 蛔 虫 阳 性 6 0 人 ， 求 Sp
60 240 × S p = 300 300 = 0 . 0 2 3 1 = 2 . 3 1 % 300
第三节 二项分布的应用
一、总体率的区间估计 二、样本率与总体率的比较 三、两样本率的比较
三、样本率的均数和标准差 样 本 率 p的 总 体 均 数
µ = µX = (nπ ) = π
1 n
1 n
(7-5)
样 本 率 p的 总 体 标 准 差
σp = σX =
1 n
π (1 − π )
n
(7-6)
总 体 率 π 通 常 未 知 ， 采 用 样 本 率 p 代 替 总 体 率 π ， 有 Sp 为 ：
= Σ3=0 ( 3 ) π k (1−π )3−k k k
若 一 个 随 机 变 量 X的 可 能 取 值 是
k = 0 , 1 , … , n， 且 相 应 的 取 值 的 概 率 为 ： X = k ) = (n )π k (1−π )n−k P( k
则 称 此 随 机 变 量 X 服 从 以 n、 π 为 参 数 的 二 项 分 布 ， 记 为 X ～ B ( n, π ) 。
3 P( X = 1) = (1 )π 1 (1 − π ) 2
(1 − π )(1 − π )(1 − π )
死
生
生
π (1 − π )(1 − π )
(1 − π )π (1 − π ) (1 − π )(1 − π )π
生
死
生
生 2 1
生
死
死
死
生
ππ (1 − π )
π (1 − π )π
(1 − π )ππ
400! (0.99)399(0.01)1 1!(400 − 1)!
=0.0180+0.0725=0.0905 因 为 P(X≤ 1)=0.0905> α， 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该地新生儿染色体异常率低于一般新生儿。
例 7-6
据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01，
H0
H1 ： π 1 ≠ π 2
α = 0.05
X =0 k k
X =0
n! π X (1 − π ) n − X X !(n − X )!
（2）出现“阳性”的次数 X 至少为 k 次的概率为 P(X ≥ k) = ∑ P( X ) = ∑
X =k n n
X =k
n! π X (1 − π ) n − X X !(n − X )!
显然，P(X ≤ k)+ P(X ≥ k)=1+ P(X=k)。
某 研 究 者 随 机 抽 查 当 地 400 名 新 生 儿 ， 结 果 1 名 染 色 体异常，问是否该地染色体异常率与以往有所不同。 H0: π =0.01, H1： π ≠ 0.01 α=0.05 双 侧 P=2*P(X≤ 1) =0.181〉 0.05 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该 地 新 生 儿 染 色体异常率与一般新生儿不同。
n 或Cnk k
1 0 = =1 0 0
3 3! (3)(2)(1) = =3 = 2 2!(3 − 2)! (2)(1)(1)
10 10! (10)(9)(8)(7)(6)5! = = 252 = 5 5!(10 − 5)! 5!(5)(4)(3)(2)(1)
第二节 二项分布的性质
一、二项分布的均数与方差 若 X ～ B( n, π )， 则
X 的 均 数 µX = n π
2 X 的 方 差 σX = n π (1- π )
(7-2) (7-3) (7-4)
X 的 标 准 差 σX=
nπ (1 − π )
例 7-3
例 7-1 B( n, π )=B(3,0.4)的 鼠 死 亡 数 X 的
毒性试验：白鼠 临床试验：病人 临床化验：血清 死亡——生存 治愈——未愈 阳性——阴性
事件
成功（A）——失败（非A）
这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试 验。
二、Bernoulli试验序列 试验序列
n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。 其特点（如抛硬币）： (1)每次试验结果，只能是两个互斥 互斥的结果之 互斥 一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变 条件不变。即每次试验中，结 条件不变 果A发生的概率不变，均为 π 。 (3)各次试验独立 独立。即一次试验出现什么样的 独立 结果与前面已出现的结果无关。
（一）总体率区间估计（参见p42）
1. 查表法 对于n ≤ 50的小样本资料，根据n与X，直接查附表7。 2. 正态分布法
当 n 较大、 和 1-p 均不太小， p 如满足 np 和 n(1-p) 均大于 5 时， 可假定样本率 p 的分布近似服从正态分 布，由此来估计总体率的 1 − α 置信区间。计算公式：
(a + b) = ( ) a b + ( ) a b + ( ) a b +... +(
n n−1
(a + b) = ?+ ?+ ?+ ? .............
=Σ
n n k =0 k
) a b +( ) a b ( )a b
n−1 1 k n−k
n 0
第一节 二项分布的概念
一、Bernoulli试验 试验
第七章 二项分布与泊松分布 （Binomial Distribution and Poisson Distribution ）
本讲的内容
二项分布 概念、性质、 概念、性质、应用 泊松分布 概念、性质、应用 概念、性质、
复习中学数学概念
• ①、组合（Combination）:从个 元素中抽取 个元 组合（ 从个n元素中抽取 ） 从个 元素中抽取x个元 素组成一组（ 不考虑其顺序） 素组成一组 （ 不考虑其顺序 ） 的组合方式个数记 为 n n! = k k !(n − k )!
（三）两样本率的比较
设两样本率分别为p1 和p2，当n1 与n2均较大，且p1 、 1-p1 及p2 、1-p2 均不太小 ，如n1p1 、n1(1-p1) 及n2p2 、 n2(1-p2)均大于5时，可采用正态近似法 正态近似法对两总体率作 正态近似法 统计推断。检验统计量u的计算公式为
p1 − p2 Z= S p1 − p2
2.正态近似法 正态近似法
p −π0
Baidu Nhomakorabea
当 n 较大、 和 1-p 均不太小， np 和 n(1-p) p 如
均大于 5 时，样本率的分布近似正态分布，可采用检验统计量
Z=
π 0 (1 − π 0 ) n
，作样本率 p 与已知总体率π0 的比较。
例
新治疗方法治疗 180 人，117 人治愈。常规治疗方法的治