浅析二项分布与泊松分布之间的关系
二项分布与泊松分布的近似关系
让实验者在计算机上学会:
1）二项分布与泊松分布相关的概率分布列、分布函数的命令；
2）学会滚动条的制作并能用滚动条对不同的n和p进行滚动控制，实现对二项分布与泊松分布近似关系的动态演示并对结果进行总结分析。
实验原理与数学模型：
二项分布分布和泊松分布都是中亚哟的离散分布，在实际生活中有广泛应用。若X服从参数为n和p的二项分布X~B（n,p）,则p(X=K)=
3、在Excel界面中先选取数据所在的单元格区域$C$2:$c$52,在依次单击【插入】/【柱状图】，选取【簇壮柱形图】，确定后得到柱形图，再对柱形图做一定修饰。
实验结果与实验总结(体会)：
老师，我做实验的时候都不截图的，然后听班上的同学说要截图的，所以我下次实验课一定会截图保存弄到实验报告里面的。
数学实验报告
实验序号：3 日期：2016 年 4 月 6 日
班级
14D姓名学号Fra bibliotek1443201000
实验
名称
二项分布与泊松分布的近似关系
问题的背景：
二项分布与泊松分布都是重要的离散型分布在实际中均有广泛应用。泊松定理告诉我们，当n很大，p很小时，可以用泊松分布近似求解二项分布。本实验就是要通过实际计算、作图和比较等方法对上述结果在不同参数组合情形下给出直观、动态的展示。
一般来说，大量重复事件中稀有事件出现的频数X均服从或近似服从泊松分布。
实验所用软件及版本：Excel 2010
主要内容(要点):
先设置对试验次数n的滚动条
获得随机变量
利用函数BINOMDIST计算二项分布相应的概率值
利用Excel中的【图表向导】绘制出二项分布柱形图
实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等）
二项分布、泊松分布的关系
二项分布、泊松分布的关系二项分布和泊松分布是概率论中两个重要的离散概率分布。
它们在实际问题中经常被用来描述随机事件的发生情况，尤其是在计算事件发生次数的概率时。
本文将从概念定义、特点、应用场景等方面介绍二项分布和泊松分布的关系。
一、概念定义1. 二项分布：简单来说，二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数服从的概率分布。
其中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为1-p。
这些独立重复试验的结果是互相独立的，且每次试验的成功概率不变。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间范围内，某事件发生的次数服从的概率分布。
泊松分布的特点是事件发生的概率是相等的，且事件之间是独立的。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
二、特点对比1. 参数不同：二项分布的参数是试验次数n和成功概率p，而泊松分布的参数是事件发生的平均次数λ。
2. 取值范围不同：二项分布的取值范围是0到n，表示成功事件发生的次数；泊松分布的取值范围是0到无穷大，表示事件发生的次数。
3. 分布形态不同：二项分布呈现出明显的对称性，随着试验次数的增加，其形态逐渐趋于正态分布；泊松分布呈现出右偏的形态，随着参数λ的增大，其形态逐渐趋于对称。
三、关系解释1. 二项分布是泊松分布的一个特例：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为在大量独立重复试验中，每次试验成功的概率很小，但整体成功的次数还是有一定规律可循的，符合泊松分布的特点。
2. 泊松分布是二项分布的极限情况：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为泊松分布是用来描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率，当试验次数趋于无穷大时，单位时间或单位空间内事件发生次数也趋于无穷大，符合泊松分布的特点。
四、应用场景1. 二项分布的应用场景：二项分布常用于描述离散的二元事件，比如抛硬币的结果、赌博中的输赢、商品的合格率等。
泊松分布与二项分布的关系
泊松分布与二项分布的关系在统计学中，泊松分布和二项分布都是常见的概率分布类型。
虽然它们看起来非常不同，但实际上它们之间存在一定的联系和相互影响。
本文将讨论泊松分布和二项分布之间的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下泊松分布和二项分布的定义和特点。
泊松分布是一种用于估计在特定时间或空间内某事件发生的次数的离散概率分布。
它的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!其中，λ是事件发生频率的参数，k是事件发生的次数，e是自然对数的底数。
而二项分布则是一种用于描述在n次试验中，成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n,k)是组合数。
二项分布可以看作是将n次独立的伯努利试验加和得到的结果，因此也称为伯努利分布之和。
而泊松分布则是在极大n的情况下，二项分布的近似值。
通常情况下，n都很大且p较小的时候二项分布就可以近似为泊松分布，这个规律被称为泊松定理。
那么，我们来看一下泊松分布和二项分布的关系具体是如何体现的。
在实际问题中，我们往往需要推测某一事件在一定时间或者空间中发生的次数。
如果我们知道了该事件的发生概率p和该时间或空间内事件的频率λ，我们可以使用二项分布或者泊松分布进行估计。
当n很大p很小时，我们可以使用泊松分布，即：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!而当n相对较小或p较大时，则需要使用二项分布计算成功或失败的概率，再根据概率推出发生次数的期望值。
另外，泊松分布也是一种极限分布，它可以解释一些实际现象。
比如，在大型超市里，商品的销售数量一般是服从泊松分布的，即售出数量与时间和地点无关，只与其具体的特性有关。
同样，在医院里，急诊室的病人数量也是服从泊松分布的，即在一段时间内出现病人的数量与该时间的长度无关。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布与泊松分布区别和联系
(a + b) = ( ) a b + ( ) a b + ( ) a b +... +(
n n−1
(a + b) = ?+ ?+ ?+ ? .............
=Σ
n n k =0 k
) a b +( ) a b ( )a b
n−1 1 k n−k
n 0
第一节 二项分布的概念
一、Bernoulli试验 试验
400! (0.99)399(0.01)1 1!(400 − 1)!
=0.0180+0.0725=0.0905 因 为 P(X≤ 1)=0.0905> α， 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该地新生儿染色体异常率低于一般新生儿。
例 7-6
据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01，
（三）两样本率的比较
设两样本率分别为p1 和p2，当n1 与n2均较大，且p1 、 1-p1 及p2 、1-p2 均不太小 ，如n1p1 、n1(1-p1) 及n2p2 、 n2(1-p2)均大于5时，可采用正态近似法 正态近似法对两总体率作 正态近似法 统计推断。检验统计量u的计算公式为
p1 − p2 Z= S p1 − p2
H0
H1 ： π 1 ≠ π 2
α = 0.05
2.正态近似法 正态近似法
p −π0
当 n 较大、 和 1-p 均不太小， np 和 n(1-p) p 如
均大于 5 时，样本率的分布近似正态分布，可采用检验统计量
Z=
π 0 (1 − π 0 ) n
，作样本率 p 与已知总体率π0 的比较。
二项分布到泊松分布的推导
二项分布到泊松分布的推导二项分布和泊松分布是概率论中常见的两种离散分布。
二项分布描述了在一系列相互独立的重复试验中，成功的次数的概率分布。
而泊松分布则描述了在一个固定时间段内，事件发生的次数的概率分布。
在某些情况下，当试验次数很大，但成功的概率很小的时候，二项分布可以近似为泊松分布。
本文将从二项分布出发，推导出泊松分布。
我们先来回顾一下二项分布的定义和性质。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验中成功的概率，C(n,k)表示组合数。
接下来，我们假设当试验次数n趋向于无穷大，而每次试验成功的概率p趋向于0，同时n*p保持不变。
我们来推导一下当n趋于无穷大时，二项分布可以近似为泊松分布。
我们将二项分布的概率质量函数进行简化：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)= n! / (k! * (n-k)!) * p^k * (1-p)^(n-k)接下来，我们对n!进行近似处理。
根据斯特林公式，当n趋于无穷大时，n!可以近似表示为：n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n将这个近似式代入二项分布的概率质量函数中，得到：P(X=k) ≈ √(2πn) * (n/e)^n * (1/√(2πk) * (k/e)^k * (1/√(2π(n-k)) * ((n-k)/e)^(n-k)) * p^k * (1-p)^(n-k)我们可以将这个式子进一步简化。
首先，我们将√(2πn)和√(2πk)和√(2π(n-k))合并在一起，得到一个常数A：P(X=k) ≈ A * (n/e)^n * (k/e)^k * ((n-k)/e)^(n-k) * p^k * (1-p)^(n-k)接下来，我们将 (n/e)^n * (k/e)^k * ((n-k)/e)^(n-k)进行合并，得到一个常数B：P(X=k) ≈ A * B * p^k * (1-p)^(n-k)我们可以看到，A和B都是与n和k无关的常数。
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
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方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
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应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
浅析二项分布与泊松分布之间的关系
学年论文题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系学生：学号：院（系）：理学院专业：信息与计算科学指导教师：安晓钢2013 年11月25日浅析二项分布与泊松分布之间的关系信息121班; 指导教师：安晓钢（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。
二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。
它们有着密切的关系。
泊松分布是二项分布的特例。
某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。
事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。
通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。
关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似The Application of Asignment PoblemABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality.KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate1、问题重述：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内星球的个数，耕地上单位面积内杂草的数目等。
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学年论文题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系学生：学号：院（系）：理学院专业：信息与计算科学指导教师：安晓钢2013 年11月25日浅析二项分布与泊松分布之间的关系信息121班; 指导教师：安晓钢（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。
二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。
它们有着密切的关系。
泊松分布是二项分布的特例。
某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。
事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。
通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。
关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似The Application of Asignment PoblemABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality.KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate1、问题重述：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内星球的个数，耕地上单位面积内杂草的数目等。
二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。
下面是本人列出的关于二项分布和泊松分布作出的比较表格：从上表可以看出，当n 越大时，二项分布和泊松分布之间产生一种越明显的逼近关系。
那么，它们之间到底存在何种“亲密”的关系呢？下面就让我们一起来更深层地去探究吧！ 2、预备知识2.1二项分布 概率论中最常用的一种离散型概率分布。
若随机变量X 取整数值k 的概率为()()()(),,,1,0,,,1n k p n k b p p k n k X p k n k ==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 式中n 是给定的正整数；()!!!;10k n k n k n p -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<是从n 个对象中任意选取k 个的组合数,则称X 的分布为二项分布，记作B （n,p ）。
它的命名来源于()p n k b ,,恰好是()[]np p +-1的二项式展开的第k+1项。
从不合格品率为p 的产品中独立地抽出n 个（每次抽一个，抽出后又放回）,其中恰有k 个不合格品的概率就是()p n k b ,,。
统计学由此建立检验产品质量的方案。
类似的例子在生产实践和科学试验中是常见的。
将问题模型化,假设每次试验只有两个可能结果：A 以及它的对立事件A ,出现A 的概率为P(A)=p ，则对立事件A 出现的概率则为 1-p 。
这种只有两个可能结果的随机试验称为伯努利试验。
将这种试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验,其中A 出现的次数X是一个服从二项分布()p n B ,的随机变量。
2.2泊松分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。
若X 服从参数为的泊松分布，记为X~P(λ)，泊松分布的概率分布函数：()!k e k X p kλλ-== 参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
统计学上，满足三个条件，即可用泊松分布（1）小概率事件，两次以上事件发生概率趋于0；（2）事件发生的概率独立且互不影响；（3）发生概率是稳定的。
泊松分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数，例如：放射性物质在单位时间内的放射次数；在单位容积充分摇匀的水中的细菌数; 野外单位空间中的某种昆虫数等。
2.3推理论证二项分布和泊松分布的关系在二项分布的n 次伯努利试验中，如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积λ= n p 比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。
事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。
回顾e 的定义：λλe n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→1lim 二项分布的定义：()()k n k p p k n k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1 .如 果令p=λ/n, 则p 趋于无穷时的极限: ()()()()λλλλλλλλλλ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-∞→-∞→-∞→-∞→∞→exp !11!112111lim 11!!!lim 1!!!lim )1(lim lim k n n k n k n n n n k k n n n n n k k n n p p k n k X P k k n k n k n k k n kn k n k n k n n这说明,当p 很小而n 较大时,B(n,p)可以用泊松分布近似。
4、应用实例4.1二项分布的泊松近似计算在保险问题中的应用4.1.1保险公司的利润问题。
例2: 10000 名同年龄同社会阶层的人参加某保险公司的人寿保险，每个投保人在每年初需交纳200 元保费，在这一年中若投保人死亡，受益人可从保险公司获得100000 元赔偿费。
据生命表知这类人的年死亡率为0.001。
试计算: ( 1) 保险公司亏本的概率; ( 2) 至少获利500000 元的概率。
解: 设X 为10000 名投保人在一年中死亡的人数，则X 服从二项分布B( 10000，0.001)一方面，因为n = 10000 很大，p = 0．001 很小，λ= np= 10，考虑用泊松分布进行近似计算:( 1) 保险公司在这项业务上一年的收入为200 ×10000 = 2000000( 元) ，保险公司在这项业务上“亏本”就相当于{ X ＞20} ，因此所求概率为P{ X ＞20} = 1 －p{ x≤20}≈1 -0．998 = 0．002 ( 2) 保险公司业务上“至少获利500000 元”相当于{ X≤15}，因此所求概率为P{ X≤15} ≈0.951 4.1.2 二项分布的泊松近似计算在林业试验中的应用二项分布在林业试验中也是常见的。
例如在林木病虫害调查中,树木要么染病,要么不染病,n株树木中有x株染病的规律就是二项分布。
由于二项分布概率函数的计算在n较大时比较繁杂,为了简化计算,通常用泊松分布来近似地求得:当n充分大,np很小时,二项分布近似于参数为λ=np的泊松分布。
5、得出结论如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。
二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。
6、参考文献[黄必恒]关于二项分布的泊松近似问题[马小侠]有关二项分布的近似计算。