统计学：二项分布与泊松分布
二项分布、泊松分布的关系
二项分布、泊松分布的关系二项分布和泊松分布是概率论中两个重要的离散概率分布。
它们在实际问题中经常被用来描述随机事件的发生情况，尤其是在计算事件发生次数的概率时。
本文将从概念定义、特点、应用场景等方面介绍二项分布和泊松分布的关系。
一、概念定义1. 二项分布：简单来说，二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数服从的概率分布。
其中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为1-p。
这些独立重复试验的结果是互相独立的，且每次试验的成功概率不变。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间范围内，某事件发生的次数服从的概率分布。
泊松分布的特点是事件发生的概率是相等的，且事件之间是独立的。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
二、特点对比1. 参数不同：二项分布的参数是试验次数n和成功概率p，而泊松分布的参数是事件发生的平均次数λ。
2. 取值范围不同：二项分布的取值范围是0到n，表示成功事件发生的次数；泊松分布的取值范围是0到无穷大，表示事件发生的次数。
3. 分布形态不同：二项分布呈现出明显的对称性，随着试验次数的增加，其形态逐渐趋于正态分布；泊松分布呈现出右偏的形态，随着参数λ的增大，其形态逐渐趋于对称。
三、关系解释1. 二项分布是泊松分布的一个特例：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为在大量独立重复试验中，每次试验成功的概率很小，但整体成功的次数还是有一定规律可循的，符合泊松分布的特点。
2. 泊松分布是二项分布的极限情况：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为泊松分布是用来描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率，当试验次数趋于无穷大时，单位时间或单位空间内事件发生次数也趋于无穷大，符合泊松分布的特点。
四、应用场景1. 二项分布的应用场景：二项分布常用于描述离散的二元事件，比如抛硬币的结果、赌博中的输赢、商品的合格率等。
二项分布与泊松分布
二项分布在实际 生活中广泛应用 于成功率已知的 n次独立重复试 验中，例如抛硬 币、扔骰子等。
二项分布的公式和参数
二项分布公式：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X表示成功次数，n表示试验次数， p表示每次试验成功的概率 参数解释：n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，X表示成功次数
定义上的区别和联系
二项分布：表示在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数概率分布。
泊松分布：表示在单位时间内（或单位面积上）随机事件发生的次数概 率分布。 联系：两者都是离散概率分布，但二项分布强调的是成功次数，而泊松 分布强调的是发生次数。
区别：二项分布需要满足独立重复的条件，而泊松分布则没有这个限制。
它以法国数学家西莫 恩·德尼·泊松的名字 命名，他在19世纪早 期研究了这种分布。
泊松分布适用于描述 在固定时间段内独立 随机事件发生的次数， 例如电话呼叫、到达 的顾客等。
泊松分布的参数是平 均发生率，决定了分 布的形状。
泊松分布的公式和参数
公式：P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k! 参数：λ (lambda)，表示单位时间内随机事件的平均发生率 适用场景：泊松分布常用于描述单位时间内随机事件发生的次数 特点：当λ较小时，泊松分布与二项分布接近
公式中各符号的含义：C(n, k)表示组合数，即从n次试验中选取k次成功的组合方式数
二项分布的应用场景：适用于独立重复试验，例如抛硬币、扔骰子等概率试验
二项分布在概率论中的应用
描述独立重复试验的概率 模型
计算概率和期望值
应用于保险、生物统计学 等领域
与泊松分布的关系和区别
二项分布在统计学中的应用
描述：二项分布是统计学中用来描述成功或失败次数的一种概率分布。 应用场景：在生物统计学、医学统计、可靠性工程等领域有广泛应用。 实例：在医学统计中，二项分布常用于研究某种疾病的发生率、治疗成功率等。 注意事项：在使用二项分布时，需要注意数据的独立性和试验次数的限制。
泊松分布与二项分布的关系
泊松分布与二项分布的关系在统计学中，泊松分布和二项分布都是常见的概率分布类型。
虽然它们看起来非常不同，但实际上它们之间存在一定的联系和相互影响。
本文将讨论泊松分布和二项分布之间的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下泊松分布和二项分布的定义和特点。
泊松分布是一种用于估计在特定时间或空间内某事件发生的次数的离散概率分布。
它的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!其中，λ是事件发生频率的参数，k是事件发生的次数，e是自然对数的底数。
而二项分布则是一种用于描述在n次试验中，成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n,k)是组合数。
二项分布可以看作是将n次独立的伯努利试验加和得到的结果，因此也称为伯努利分布之和。
而泊松分布则是在极大n的情况下，二项分布的近似值。
通常情况下，n都很大且p较小的时候二项分布就可以近似为泊松分布，这个规律被称为泊松定理。
那么，我们来看一下泊松分布和二项分布的关系具体是如何体现的。
在实际问题中，我们往往需要推测某一事件在一定时间或者空间中发生的次数。
如果我们知道了该事件的发生概率p和该时间或空间内事件的频率λ，我们可以使用二项分布或者泊松分布进行估计。
当n很大p很小时，我们可以使用泊松分布，即：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!而当n相对较小或p较大时，则需要使用二项分布计算成功或失败的概率，再根据概率推出发生次数的期望值。
另外，泊松分布也是一种极限分布，它可以解释一些实际现象。
比如，在大型超市里，商品的销售数量一般是服从泊松分布的，即售出数量与时间和地点无关，只与其具体的特性有关。
同样，在医院里，急诊室的病人数量也是服从泊松分布的，即在一段时间内出现病人的数量与该时间的长度无关。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用在统计学和概率论中，二项分布和泊松分布是两种重要的离散概率分布，它们广泛应用于各个领域，如生物统计、金融、工程、社会科学和质量控制等。
理解这两种分布的特性及其应用场景，可以帮助我们更好地进行数据分析与决策。
一、二项分布的基本概念二项分布用于描述在固定次数的独立试验中成功次数的概率。
每次试验有两个可能的结果——成功或失败。
具体地说，如果我们进行( n ) 次独立试验，每次成功的概率为 ( p )，则成功次数 ( X ) 的分布可以表示为：[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} ]其中，( C(n, k) ) 是组合数，表示从 ( n ) 次试验中成功( k ) 次的方式总数。
1.1 应用场景二项分布的应用非常广泛，常见的场景包括：医学临床试验：在药物测试中，通过一定数量的病人检测药物是否有效。
若成功则为阳性反应，失败则为阴性反应。
问卷调查：在市场研究中，我们可以用二项分布来模拟调查中选择特定选项人数的概率。
生产过程质量控制：在批量生产中，可以通过随机抽样来判断产品不合格率。
例如，在一家冰激凌厂，假设每个冰激凌都是合格的概率为 0.9。
如果我们随机挑选 10 个冰激凌，想知道其中恰好有 8 个是合格品的概率，可以使用二项分布进行计算。
二、泊松分布的基本概念泊松分布是一种用于描述单位时间或单位面积内事件发生次数的概率分布。
例如，在某个固定的时间段内，交通事故发生的次数、电话中心接到电话的次数等都可以用泊松分布来建模。
其概率质量函数为：[ P(X = k) = ]这里，( ) 是单位时间或面积内事件发生的平均次数，( k ) 是事件发生的实际次数。
2.1 应用场景泊松分布同样在许多领域具有实际应用，包括但不限于：排队理论：如银行、医院等服务场所，可以使用泊松分布来分析顾客到达的频率。
故障率分析：工程领域中，可以用来描述机器设备故障事件发生频率，以及维护需求。
二项分布与泊松分布公式概览
二项分布与泊松分布公式概览在统计学中，二项分布和泊松分布是两个常见的概率分布模型。
它们可以用于描述离散型随机变量的分布情况。
本文将对二项分布和泊松分布的公式进行概览，并分析它们在实际问题中的应用。
一、二项分布公式概览二项分布是描述在n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率分布。
其概率质量函数（probability mass function，简称PMF）的公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率；C(n, k)表示从n次试验中选出k次成功的组合数；p表示每一次试验中成功事件发生的概率；(1-p)表示每一次试验中失败事件发生的概率。
二、泊松分布公式概览泊松分布是描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
其概率质量函数的公式为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，P(X=k)表示在单位时间或单位空间内事件发生k次的概率；λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率；e表示自然对数的底；k!表示k的阶乘。
三、二项分布与泊松分布的关系当进行大量重复试验，试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，且n*p=λ时，二项分布逼近于泊松分布。
也就是说，泊松分布可以看作是二项分布的一种特殊情况。
四、二项分布与泊松分布的应用1. 二项分布的应用：二项分布常用于描述二分类问题，比如投掷硬币正面朝上的次数、医院手术成功率等。
通过计算二项分布的期望值和方差，可以对这些事件的概率进行分析和预测。
2. 泊松分布的应用：泊松分布常用于描述罕见事件的发生概率，如单位时间内交通事故发生的次数、单位空间内放射性粒子的数量等。
由于泊松分布的特点是平均发生率固定，与时间和空间无关，因此可以用于对事件的稀有性进行建模。
举例来说，某电商网站每天接收的订单数量服从泊松分布，平均每天接收10个订单。
如果想要计算某一天接收到20个订单的概率，可以使用泊松分布的概率质量函数进行计算。
泊松分布和二项分布的区别
泊松分布和二项分布的区别泊松分布和二项分布是统计学中常见的两种概率分布。
它们在不同的情境下应用，具有各自独特的特点和适用范围。
本文将从几个方面来探讨泊松分布和二项分布的区别。
泊松分布和二项分布在定义上有所不同。
二项分布是一种离散型概率分布，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
而泊松分布则用于描述在一定时间或空间范围内随机事件发生次数的概率分布，适用于事件发生的次数是不确定的情况。
泊松分布和二项分布的参数设置也不同。
在二项分布中，我们需要知道试验次数和成功的概率，即n和p，来描述成功次数的概率分布。
而在泊松分布中，我们只需要知道单位时间或单位空间内事件的平均发生率λ，即可描述事件发生次数的概率分布。
泊松分布和二项分布在应用场景上也有所区别。
二项分布通常适用于具有固定试验次数和成功概率的情况，比如抛硬币、掷骰子等。
而泊松分布更适用于描述在一定时间或空间范围内事件发生次数的情况，比如描述单位时间内电话呼叫次数、单位空间内汽车事故发生次数等。
泊松分布和二项分布在概率分布形状上也有所不同。
二项分布是对称的，随着试验次数的增加，会逐渐趋向于正态分布。
而泊松分布是右偏的，随着平均发生率λ的增加，分布形状会变得更加陡峭。
泊松分布和二项分布在计算方法和推导过程上也有差异。
二项分布可以通过组合数学公式直接计算概率，而泊松分布则需要通过极限推导或泊松定理等方法来得到概率分布。
泊松分布和二项分布在定义、参数设置、应用场景、概率分布形状以及计算方法等方面都存在明显的区别。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的概率分布来进行建模和分析，以更好地解决问题并做出合理的决策。
通过深入理解和比较泊松分布和二项分布的特点，可以更好地应用于实际问题中，提升统计分析的准确性和有效性。
二项分布与泊松分布公式概览与详解
二项分布与泊松分布公式概览与详解一、二项分布的公式概览与详解二项分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中成功的次数。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功的次数，k表示具体的成功次数（0≤k≤n），n表示总的试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
该公式中的组合数C(n, k)可以用以下公式计算：C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二项分布的公式可以用于计算在一定的概率下，进行一系列独立重复试验中成功次数的分布情况。
比如，在一个公平的硬币实验中，进行10次抛掷硬币，每次抛掷正面朝上的概率为0.5，我们可以利用二项分布公式计算在这10次抛掷中正面朝上的次数为1、2、3等的概率分布情况。
二、泊松分布的公式概览与详解泊松分布是在离散空间上定义的一种概率分布，用于描述在一定时间或空间区间内随机事件发生的次数。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X表示随机事件发生的次数，k表示具体的发生次数，λ表示在一定时间或空间区间内平均每单位时间或空间发生的次数。
对于泊松分布，其平均值和方差都等于λ。
这意味着泊松分布可以很好地描述那些事件发生率较低，但难以精确预测每次事件的具体发生时间或空间位置的情况。
比如，用来描述单位时间内平均发生1次交通事故的情况，我们可以利用泊松分布的概率质量函数计算在单位时间内发生0次、1次、2次等交通事故的概率分布情况。
三、二项分布与泊松分布的联系与区别在一些特定的情况下，二项分布和泊松分布之间存在联系。
当进行二项分布的试验次数n较大，每次试验成功的概率p较小，而成功次数np约等于一个较小的常数λ时，二项分布可以近似地用泊松分布来描述。
这是因为在这种情况下，二项分布的计算较为复杂，而泊松分布的计算则相对简单。
另外，泊松分布可以看作是二项分布的一种特殊情况，即当试验次数无穷大、每次试验成功的概率无穷小时，可以用泊松分布来近似表示。
二项分布与泊松分布
二项分布的应用
2 正态近似法：应用条件：np及n(1−p)均≥5
p±uαsp
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性 率为8.81%，求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
s p p ( 1 p ) /n 0 .0( 1 8 0 .0 8) 8 /3 1 8 2 0 .0 1 9 1 1 .5 % 5 6 6
第一节 二项分布和总体率的估计
一、二项分布 （一）二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物， 其结果可分为两个彼此对立的类型，如一个病 人的死亡与存活、动物的雌与雄、微生物培养 的阳性与阴性等，这些都可以根据某种性状的 出现与否而分为非此即彼的对立事件。这种非 此即彼事件构成的总体，就称为二项总体 （binomial population）。
二、二项分布的应用
(一 )、总体率的估计
1 查表法：附表6百分率的置信区间表直接
列出了X≤n/2的部分。其余部分可以查nx的阴性部分的QL~QU再相减得 PLand pU PL=1-QL 1-QU 例：某地调查50名儿童蛔虫感染情况，发现有10人大便
中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的95%置信区间是多少？
1份混合样本中含有k份阳性的概率为当k0时p0是说混合样品中没有1阳性样品的原始概率反映的是混合样品阴性的概率当收集的样本数量很大时全部检验费时费力可以用群检验的方法进行解决若每个标本的阳性概率为则其阴性概率为q1便是某个群m个标本均为阴性的概率一个群为阴性的群的概率而1q就为一个群阳性的概率
二项分布与泊松分布
第一节 二项分布和总体率的估计
二项分布(binomial distribution) 就是对这种只具有两种互斥结果的离散型 随机变量的规律性进行描述的一种概率分 布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝 努里(Bernoulli)首先发现的，又称贝努里 分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简历
返回总目录 返回章目录 .
第8页
结束
贝努里模型应具备下列三个基本条件。
1. 试验结果只出现对立事件A或AA ，两者只能出
现其中之一。这种事件也称为互斥事件。
2. 试验结果是相互独立，互不影响的。例如， 一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个 妇女生育男孩或女孩等。
3. 每次试验中，出现事件A的概率为p，而出现
医学本科生用
医学统计学
主讲 程 琮
泰山医学院预防医学教研室 zcheng@
简历
返回总目录 返回章目录 .
第1页
结束
The teaching plan for medical students
MEDICAL STATISTICS
Professor Cheng Cong
Dept. of Preventive Medicine Taishan Medical College
简历
返回总目录 返回章目录 .
第7页
结束
2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出 现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二 项分布。
3.二项分布名称: 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家 J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。
X 0
C n n 1n 1 ( 1 ) 1 C n nn ( 1 ) 0 1（7.2）
简历
返回总目录 返回章目录 .
第12页
结束
二项式展开式实例
将二项式（a+b）n 展开
(ab)2a22a bb2
(a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a 3 b b 4
对立事件 A的概率为１-p。则有总概率p+
（1-p）=1。注意：1-p=q
简历
返回总目录 返回章目录 .
第9页结束二、 二 Nhomakorabea分布的概率函数
1. 根据贝努里模型进行试验的三个基本条 件，可以求出在n 次独立试验下，事件 A出现的次数X的概率分布。X为离散型 随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
法。
6. 了解：Poisson分布的概率函数及性质。 7. 了解：二项分布与Poisson分布的拟合优度检验的概
念及意义。
8. 了解：常用的拟合优度检验方法。
简历
返回总目录 返回章目录 .
第6页
结束
第一节 二项分布及其应用
一、二项分布的概念及应用条件
1.二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属 于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独 立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动 物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无 效等。
简历
返回总目录 返回章目录 .
第2页
结束
程琮教授简介
医学统计学教授，硕士生导师。男，1959年6月出生。汉族，无党派。 1982年12月，山东医学院公共卫生专业五年本科毕业，获医学学士学位。 1994年7月，上海医科大学公共卫生学院研究生毕业，获医学硕士学位。 2003年12月晋升教授。现任预防医学教研室副主任。主要从事《医学统 计学》、《预防医学》，《医学人口统计学》等课程的教学及科研工作， 每年听课学生600-1000人。自2000年起连续10年，为硕士研究生开设 《医学统计学》、《SPSS统计分析教程》、《卫生经济学》等课程，同 时指导研究生的科研设计、开题报告及科研资料的统计处理与分析。发 表医学统计学及预防医学的科研论文50多篇。代表作有“锌对乳癌细胞 生长、增殖与基因表达的影响”，，“行列相关的测度” 等。主编、副 主编各类教材及专著10部，代表作有《医学统计学》、《SPSS统计分析 教程》。获得院级科研论文及科技进步奖8项，院第四届教学能手比赛二 等奖一项，院教学评建先进工作者一项。获2004年泰山医学院首届十大 教学名师奖。《医学统计学》为校级和省级精品课程。
( a b ) 5 a 5 5 a 4 b 1 a 3 b 2 0 1 a 2 b 0 5 a 4 b b 5
简历
返回总目录 返回章目录 .
第13页
结束
由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
简历
返回总目录 返回章目录 .
第3页
结束
《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
简历
返回总目录 返回章目录 .
第4页
结束
第7章二项分布与泊松分布 目录
第一节 二项分布及其应用 第二节 泊松分布及其应用 第三节 两种分布的拟 合优度检验
简历
返回总目录 返回章目录 .
第5页
结束
第7章 二项分布与泊松分布 学习要求
1. 掌握：二项分布的概念及意义。 2. 熟悉：二项分布的适用条件及计算方法。 3. 了解：二项分布的概率函数、性质及医学应用。 4. 掌握：Poisson分布的概念及意义。 5. 熟悉：Poisson分布的适用条件、医学应用及计算方
三、 二项分布的性质
1. 二项分布是概率分布，因此它就具备概率分布的各种性 质。
2. 二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率 等于1。
n
[ ( 1 )n ] C n XX ( 1 ) n X C n 00 ( 1 ) n C n 11 ( 1 ) n 1
简历
返回总目录 返回章目录 .
第10页
结束
2. 则X的概率函数为：
P n(X )C n X X(1)n X
X=0,1,2,…,n
(7.1)
式中：0<π<1，C
X n
为组合数，公式（7.1）称随机变量X
服从参数为n,π的二项分布，则记为X～B(n,π)。
简历
返回总目录 返回章目录 .
第11页
结束