时频分析发展史

6 小波变换方法有较高的时间分辨率，低频区有较高频率分辨率，高频区频率 分辨率较低，但其相位局部化，造成各频率相位基准不一，从而造成解释的 困难。 Chakraborty 等阐述了利用小波变换的方法进行时频分析，它是一种多尺度(MRA) 方法，对不同频率用不同尺度进行分析，它能给出比较好的时间精度，在低频区 有很好的频率精度， 而在高频区频率分辨能力较弱，但是在实际应用中还可以满 足要求。然而小波变换有一个致命的弱点， 小波变换是沿着时间方向绝对平移暗 含了调制沿着包络方向传播， 这样造成了相位信息仅仅是局部的，会失去其物理 意义造成难以解释。
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(3)分别对各分量进行 Hilbert 变换， 使各个基本模式分量转变为解析信号。
(4)然后对各分量进行 WVD 计算，结果相加，即为信号 x(O 的 LWVD 分布。 LWVD������ ������, ������ =
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S 变换
Stockwell 对 S 变换进行了详细阐述，，它是短时傅立叶变换和小波
变换的组合。 它解决了小波变换相位局部化问题， 它和小波变换一样是线性算子， 对多频率信号没有双线性类型变换那样的交叉项干扰问题。 利用 S 变换能够分辨 多频率信号， 但由于它实际上隐含存在一个窗口，因而在频率间断的地方频率刻 画不准确， 而且它也难以准确刻画振幅值，在峰值(谷值)与过零点地方振幅值相 差较大。 8 WVD 方法有很好的时频聚焦性，但受交叉项干扰的影响，它的各种平滑改进
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Hilbert—Huang 变换对于多频率成分信号按照理论也有很高的频率分辨率
和时间分辨率， 然而它的核心技术经验模态分离方法还很不成熟，它往往会在高 频区频率分辨率不高， 在低频区也会出现不合理的频率成分，容易掩盖低能量的
频率成分。 N．E．Huang(1998)等人首先介绍了 Hilbert—Huang 变换，它是为了解决 Hilbert 变换不能处理多值频率而发展起来的。该方法计算的瞬时频率有很高的 时间分辨率和较高的频率分辨率，然而，这里有三个主要缺点：在低频区会产生 不合理的频谱特征；首先得到的几个的固有模态函数（IMF）会包含太宽的频率 范围(前面几个 IMF 往往反映高频信息)， 因而不能满足 Hilbert 变换要求的信号 为单频率；不能分离出信号为低能量成分。Peng 等对该方法进行了改进，它利 用小波包来进行经验模态分离， 更好的保证了每个 IMF 具有窄的频带范围，同时 对每个 IMF 与原始信号做互相关，筛选掉互相关程度弱的信号，可以筛选掉不合 理的低频成分， 做互相关时进行了归一化处理，这也可以保留了能量低但相关程 度高的频率成分．
5 短时傅立叶变换是通过滑动时窗来计算其频谱，因而它的时间分辨率和频率 分辨率受 Heisenberg 测不准原理约束， 也就是利用短窗口有较高的时间分辨率， 但是频率分辨能力差； 当利用长窗口时有较高的频率分辨率，但时间分辨能力就 弱。 短时傅里叶变换思想是将时域信号分成一系列重叠块，然后对每个块加窗并 分别进行傅里叶变换。 短时傅里叶变换对于线性平稳信号提供了有效地时频分辨 率和局部稳定性， 其不足之处在于窗函数的选取是固定的，使短时傅里叶变换无 法满足同时分析低频信号和高频信号的需求。在观察某个时间段的信号时，一旦 窗口宽度选定，信号的频率分辨率就被限定。而在一定长度的时间窗口内，高频 信号的周期个数显然比低频信号的周期个数多， 这就导致窗口长度选取处于两难 境地：窗口长度长，时域上的定位精度低；窗口长度短，低频信号频率定位不够 准。 小波变换通过对函数或信号进行多尺度分析，解决了傅立叶变换不能解决的 许多困难问题，然而 Massel 分析比较了对海浪信号应用短时傅里叶变换和小波 变换的谱特性， 提出小波谱的时频分辨率同样受 Heisenberg 盒测不准定理限制， 仅在一定程度上解决了时域和频域分辨率上的两难困境， 且在所有尺度下小波变 换都表现出同一水平的分辨率。 短时傅立叶变换是最早最简单的时频分析形式，它的概念，算法简单直观， 被人们在工程中广泛应用； 而且是线性时频分布，对于频率分集信号具有其它算 法难以比拟的优点， 能够区分出各个频率而不产生交叉项干扰。但是这种分布有 着它无法客服的缺点，就是窗函数的选择。
些方法的目的都是使结果既有高的分辨率，而且又可以抑制交叉项，但效果都不 够理想。 在这里， 找们简单介绍核函数方法来抑制交叉项。已有的抑制时频分布交叉 项的方法，是从以下的三种信号表示域来考虑的： 时频域：因为交叉项在时频域是振荡的，而自身项则表现出低频特性，因而 可以在时频域采用低通滤波器将交叉项滤去。 模糊域：因为在模糊域，信号自身项聚集于原点附近，并过原点，而交叉项 远离原点， 据此可以在模糊域选择以原点为中心的递减核函数，以保证滤掉大部 分交叉项。这与在时频域采用平滑技术是一致的。 信号的相关域:Choi．William 分布，锥形核分布等正是从信号的相关域出 发，以满足信号的有限支撑特性为基础设计核函数的。 上述用以抑制交叉项的核函数都是低通特性的滤波器。 对于正弦及高斯信号， 这种核是合适的。 但对于具有高阶频率调制的信号(如线性调频信号)，由于其自 身项及交叉项在模糊域上发生了倾斜(或旋转)，仍采用这种低通核函数，信号能 量会有很大损失， 交叉项也将有严重的泄漏。为了更好地抑制交叉项同时保持很 好的信号时频聚集性， 对于具有不同时变频率特性的信号，核函数也要根据每个 信号不同的特性来选取，也就是说，核函数要相对于信号自适应选取，即采用自 适应最优核函数法。然而，当自项成分和交叉项成分重叠时，这种算法也无力将 自项成分和交叉项成分分离开。 局域波分解及其 Wigner-Ville 分布(LWD—WVD，简记为 LWVD)。即通过局域波分 解复杂信号，得到有限个基本的模式分量，然后计算 Wigner-Vitle 分布。这种 方法有效地抑制了时频分布交叉项的干扰，可用于一些复杂的非平稳信号分析， 在这里，我们需要提到，对于局域波分解只适用于频率线性变化的复杂信号。其 算法的基本算法： (1)通过自适应时交滤波法，找到待处理信号的均值 m。 (2)利用局域波分解方法对信号进行分解，得到有限个基本模式分量。
1 Hilbert 变换对于单频率信号有很高的时间分辨率和频率分辨率，但对于多 频率成分信号它失去了物理意义，因而其瞬时属性就会没有任何意义，造成解释NASA 工作期间提出了一种新的信号处理方法，被称为 Hilbert。Huang 变换(简称 HHT 变换)，该方法包含两个部分：经验模式分解 (EmpiricalMode Decomposition，简称 EMD)和希尔伯特(Hilbert)谱分析。 其中，EMD 算法是 HHT 变换构成的核心。采用 EMD 可将信号分解成拥有单分 量特性的一组正交完备的，且呈现自适应特性的固有模态函数 (Intrinsic Mode Function，简称 IMF)，以此来刻画信号每个局部的振荡结构和频率分 量， 再借以希尔伯特变换(HilbertTransform 简称 HT)得到实信号的解析形式 并获得具有明确物理意义的瞬时频率，进而得到信号的时间一频率一能量分 布。 传统的 HHT 方法存在一定缺陷，针对 HHT 会产生虚假分量和模态混叠的 问题，Peng 等人提出了相应的改进算法，引入了小波包分解对信号进行预处 理，使信号在进行 EMD 分解之前，通过小波包分解为一系列窄带信号：并利 用归一化相关性甄别方法对 EMD 分解后得到 IMF 中的虚假分量进行相关性识 别筛选，使得 HHT 的性能有了进一步提升。Kijewski．Correa 将 Morlet 小 波变换尺度．时间谱中的瞬时带宽信息剔除后，提取出小波脊并构成小波瞬 时频率谱(WIFS)。 而为了改善 EMD 分解中的模式混叠和端点飞异问题， Olhede 和 Walden 基于离散小波包分解，提出了一种最大重 叠离散小波包变换 (maximal-ovedap discrete wavelet packettransform(MODWPT))的分解方法， 改进了传统离散小波变换对采样长度必须为 2 的指数幂的限制，并通过避免 下采样，克服了离散小波尺度系数的不等变化循环变换问题。同时利用带宽 信息的阈值设定， 给出了二分非相交分解集合来选择不同级数上的分解频带。
4 雷克子波匹配现有算法由于受 Hilbert 变换方法影响不适应多频率成分信号。 Liu 首先给出了基于雷克子波分解方法进行时频分解，由于地震记录比较符 合雷克子波情况而不是正弦曲线， 因而该方法有可能比正弦曲线拟合方法能得到
更高时间精度和频率精度的时频分布特征． 然而在这个算法中沿用 Hilbert 变换 得到的瞬时频率、瞬时相位和瞬时振幅来计算雷克子波的主频、延时及振幅，这 对于在薄互层情况下出现的多个子波叠加情况，也就是出现多值频率情况，用 Hil—bert 变换得到的频率没有任何物理意义，因而它的频率、振幅及相位均不 反映实际情况， 所以用该算法计算的瞬时属性在多值频率下可信性很低．但是如 果对频率及延时完全按照扫描拟合得到， 那么它的时间分辨率和频率分辨率都比 较高，但计算量太大，目前也没发现有人这么做．不过该思路也许会有很大的发 展前景．
方法能一定程度上消除交叉项干扰影响，但又降低了时频聚焦性。 Wigner-Ville 分布，这是一种最基本的时频分布，提供了信号清晰的时频关 系。它有许多特有的性质，基于这些性质，有着多方面的应用。同时，WVD 是时 频分布方法的基础， 其它的各种分布都是在它的概念上发展起来的。对于单分量 线性调频信号，Wigner 分布具有很好的时频聚集性，但是这种分布也有它的缺 点，例如，正负性，当分析含有多个成分的信号时，分布存在着交叉项，影响了 人们对时频分布的正确解释。 多年来，众多学者提出了多种方法来解决这一问题，如 Cohen 类方法，模糊域滤 波等等。Cohen 类采用在时域和频域加权平滑的方法，模糊域滤波采用在模糊域 低通滤波的方法进行处理。 但是 Cohen 类方法往往在消除交叉项的同时，失去了 时域或频域好的分辨率。模糊域滤波是因信号而异，选择方法客观性差。在初期 是使用固定的核函数，后来，根据信号的时变特征，采用了自适应的核函数。这
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我们用线性调频信号作为分析信号，其频率成分随时间线性的变化，那么利 用局域波分解方法得到的基本模式分量的频率也必然随时间线性变化。 而各个基 本模式分量的 Wigner-Ville 分布具有很好的时频聚集性，因此这种方法得到的 时频分布)可以完全消除交叉项的干扰，而且该方法还完全保留了 Wigner-Ville 分布的所有优良特性。 该方法不同于传统的方法， 一般传统的时频交叉项抑制交叉项的方法主要是通过 设计核函数来实现的， 但是它们大都以降低分辨率为代价的， 而且在讨论减小交 叉项的问题上，都是假定交叉项没有重叠。而 LWVD 分布，克服了传统分析方法 的缺点．它首先对信号进行预处理，把复杂信号分解为有限基本模式分量，然后 再计算 Wigner-Ville 分布，来达到抑制交叉项的效果。 因此它不会对信号项产生拉平的负面作用。 即使是两个信号分量在时频平面上相 距足够近，该方法也能有效的也能有效抑制交叉项，同时保留了 Wigner-Ville 分布的所有优良特性。 同时该方法不需要通过设计核函数，来产生具有所需要的特性，因此方法简 单，容易实现。 但是，该方法也有它的局限性： 由于该方法的重点是利用信号的局部特征的信号分解方法筛选出基本模式 分量， 它特别适用于含有频率线性变化的复杂信号的分析与处理。当含有频率非 线性变化的复杂信号利用这种方法并不能保证有效的抑制交叉项的干扰。 同时对于边界效应也需要进一步的改进， 也就是说求解待处理信号的均值方 法需要进一步的研究和改善。 尽管如此，该方法也是目前最好的抑制时频分布交 叉项的方法之一。
3 正弦曲线拟合方法有比较高的时间分辨率和频率分辨率，适应多频率成分， 但是它在提取多频率成分时，各频率成分可能相互影响，而且它对于频率有 间断地方受窗口的影响会出现虚假频率成分，此外该方法计算量很大。 Choi 口胡等首先使用正弦曲线拟合的方法来分析语音信号。该方法是利用一组 不同频率的正弦曲线来拟合一时窗内信号， 取拟合误差最小的正弦曲线为该信号 的最佳拟合曲线，同时可以给出频率、振幅及相位信息，取拟合的剩余曲线重新 拟合， 直到拟合误差小到一定程度为止， 这样就可以得到一组频率、 振幅及相位， 因此该方法可以用于多频率信号．但是该方法分析信号必须在一个时窗内进行， 时窗内有滤波效果， 因而该方法时间分辨率没有 Hilbert 变换高；而且不同频率 成分的信号会互相干扰， 所以在提取一个频率成分的信号时会破坏其它频率信号， 只有窗长选择半个周期及其整数倍附近才对其它频率影响较小， 因而在不同频率 进行拟合时最好采用选取不同的窗长的方法进行拟合。