2016-2017第一学期《高等数学A(一)》安徽大学期中考试试卷

安徽大学2016—2017学年第一学期

《高等数学A （一）》期中考试试卷

（闭卷 时间120分钟）

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． ()21

lim sin cos 1

x x x x x x →∞++=++____________．

2．已知函数()f x

满足02x →=，则0lim ()x f x →=____________．

3．设函数()y f x =在1x =处连续，且1()

lim 11

x f x x →=-，则曲线()y f x =在1x =处的切线

方程为________________．

4．设函数()y y x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则0|x dy

dx

== ___________．

5．设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()'()f x f x e =，(2)1f =，则

'''(2)f =____________．

二、选择题（每小题3分，共15分）

6．下列关于数列{}n a 的极限是a 的定义，错误的是 ( )

A ．对?0ε>，存在0N >，当n N >时，有(),n a U a ε∈

B ．对?0ε>，存在0N >，当n N >时，有无穷多项n a ，使得||n a a ε-<

C ．对?0ε>，存在0N >，当n N >时，有||n a a c ε-<，其中c 是正常数

D ．对任意给定m N +∈，存在m N +∈，当n N >时，有1

||n a a m -<

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订-----

----------------------

-------------线----------------------------------------

7．设()232x x f x =+-，则当0x →时 （ ） A ．()f x 是x 的高阶无穷小 B ．()f x 是x 的低阶无穷小

C ．()f x 与x 是等价无穷小

D ．()f x 与x 是同阶但非等价无穷小

8．设函数11

()1x

x

f x e -=-，则下列说法正确的是 （ ） A ．0x =是可去间断点 B ．0x =是跳跃间断点 C ．1x =是可去间断点 D ．1x =是跳跃间断点

9．下列函数在区间(0,)+∞ 内有界的是 ( ) A ．sin x x B ．cos x x

C ．sin x x

D ．cos x x

10．设232x y f x -??= ?+??

，2

'()arctan f x x =，则0|x dy dx == （ ） A ．2π B ．3π

C ．4π

D ．π

三、计算题（每小题8分，共56分）

11．求极限2221

2lim 12n n n n n n →∞??+++ ?+++??．

12．求极限()()()

3

sin 0

1cos lim

1cos ln 1x

x e

x

x x →--+

13．求极限()21

ln(1)0

lim cos x x x +→．

14．求极限0

1

1limcot sin x x x x →??- ???

．

15．求常数,a b

的值，使得1

,0,(),01,1arctan ,1

1x x f x ax b x x x

=+≤≤???>-??

在(),-∞+∞内是连续函数．

16．函数()y y x =

由参数方程ln arctan x y t

??=?=??确定，求22d y dx ．

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

17．2

1arctan ,0()0,0

x x f x x

x ?

≠?=??=?，求'()f x ，并讨论'()f x 在0x =处的连续性．

四、证明题（每小题7分，共14分）

18．设数列{}n x 满足301<

19．设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f >，1

(0)()02

f f <

证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得'()()0f f ξξ+=．