★复摆的振动周期(小论文示范)

复摆的振动周期
1、引言
复摆是大学物理中三个简谐振动模型之一，是刚体绕光滑水平轴作小角度摆动。

研究复摆的振动周期可以运用转动定律，也可以运用机械能守恒定律。

本文先介绍与研究复摆振动周期有关的概念和规律，然后用两种方法推导复摆的周期公式，最后讨论复摆周期公式在测量刚体转动惯量中的应用。

2、原理
刚体定轴转动定律的表达式为
M J α= （1）
其中M 为对转轴的力矩，J 为刚体对转轴的转动惯量，α
为刚体转动的角加速度。

转动惯量的定义式为2=i i J m r ∑，
其中r i 为质点m i 到转轴的距离。

转动角速度为ω的转动刚体的转动动能为 212k E J ω= （2）
在重力场中，刚体质心坐标为(C x ,C y )的重力势能为
P C E mgy = （3）
以摆角θ为变量的简谐振动的表达式为
0Θcos()f θωt φ=+ （4）
式中Θ和0φ分别为摆幅和初相位，f ω振动圆频率，与振动周期间的关系为 2f πT ω= （5）
3、模型
如图所示，质量为m 的复摆对转
轴O 的转动惯量为J ，质心C 到转轴
O 的距离为b 。

当OC 与铅垂线的夹角
为θ时，复摆受到的对转轴O 的力矩
为sin M mgb θ=-。

根据刚体定轴转动
定律M J α=，得sin mgb mgb αθθJ J =-≈-。

将0=Θcos()f θωt φ+代入可得，f mgb ωJ =。

于是求得，
复摆振动周期为22f πJ T πωmgb ==。

复摆振动时只有重力作功，因此振动系统的机械能守恒，即21cos 2J ωmgb θC -=。

等式两边对时间t 求导，得sin 0J ωαmgb ωθJ ωαmgb ωθ+≈+=。

将0=Θcos()f θωt φ+代入b
可得
，f ω=。

同样，求得复摆振动周期
为
22f πT ω==。

4、讨论
对于单摆，b ＝l ，J ＝ml 2
，周期为2T =。

利用复摆的周期公式可得2T J mgb π
=2（），即测量了刚体的质量、质心位置和振动周期，即可计算出刚体的转动惯量。

这种方法可以应用于测量导弹、火箭等飞行器的转动惯量中。