系统辨识

δ(％ ) 60.57795 51.24334 41.91458 27.44192 11.72605 7.02274 6.74955 6.62212 6.51544 6.45231 6.37613
True value
-0.8000
0.3000
0.3000
0.4000
0.0600
0.02500
5. 辨识理论研究概况
c1 0.33531 0.46947 0.29055 0.17688 0.12236 0.08128 0.06702 0.06511 0.06540 0.06233 0.06167
d1 0.05734 0.03488 0.08806 0.03302 0.02642 0.02473 0.02419 0.02577 0.02352 0.02450 0.02360
x(k )
v(k )
u2 ( k )
u2 ( k )
f 2 (.)
y (k )

ur ( k )
f r (.)
ur (k )
B1 r ( z 1 ) ( z 1 )
第m个子系统
u1 ( k )
f1 (.)

u2 ( k )
f 2 (.)

Bm2 ( z1 ) ( z1 )
B 1(z1) m (z1)
vm ( k )
xm ( k )
ym ( k )
f r (.)
ur (k )
Bmr ( z 1 ) ( z 1 )
两输入单输出实例仿真
• 考虑如下的双输入单输出以非线性Hammerstein-ARMAX模型的仿真 过程，并在相同条件下以线性ARMAX模型也做了仿真作为对比，其传 递函数矩阵为
存在的问题
•
采样周期的不一致
•
• •
工业过程往往是复杂多变量系统
非线性系统 传统的辨识方法都需要考虑传递函数阶次
针对上述问题，目前有多变量系统辨识（如子空间辨 识方法，综合统计工具、投影理论、矩阵理论），丁峰教 授提出的多率系统辨识，非线性辨识以及它们的组合形式 的辨识等。
较接近实际的三类复杂模型
n
1
b2 z
2
bn z .
n
随机系统模型（stochastic system models）
① 自回归模型（AR: Auto Regressive model）
y ( t ) a1 y ( t 1) a 2 y ( t 2) a n y ( t n a ) v ( t )
系统模型与辨识
内蒙古科技大学信息学院网络控制实验室
指导教师：崔桂梅 学生姓名：关英辉
内容安排
1. 2. 3. 4. 5. 6. 系统模型 最小二乘辨识方法（LS） 怎么辨识有色噪声模型（如：CARARMA） 仿真实例 辨识领域目前研究的进展 结语
系统模型
1.1 采样时间系统
u(t) y(t) D/A 对象 A/D
L ( t ) P ( t ) ( t ) P ( t 1) ( t ) 1 ( t ) P ( t 1) ( t )
T


P ( t ) P ( t 1)
P ( t 1) ( t ) ( t ) P ( t 1)
T
1 ( t ) P ( t 1) ( t )
b1 0.33620 0.29362 0.32028 0.32063 0.30152 0.30195 0.30079 0.30031 0.30011 0.29978 0.29963
b2 0.52759 0.52692 0.48524 0.44932 0.43155 0.41030 0.40590 0.40533 0.40449 0.40480 0.40292
下面就可以用最小二乘算法估计参数向量
•
经过准则函数最小化，得到最小二乘估计表达式：
从上式可以看出，主要的缺点就是需要计算矩阵的逆（matrix inversion）. 最后经过改进可用于在线辨识的递推最小二乘算法应运而生。
ˆ ( H t H t ) H t H t
T 1 T
y ( t ) T ( t ) ( t 1) ( t ) ( t 1) L ( t )
那么前面系统函数我们知道可以写成下式：
: s ( t ) s e ( t )
T
,
y ( t ) s ( t ) s e ( t ) s ( t ) s n ( t ) n v ( t ) s ( t )
T T T T
s n (t ) v (t ) n
1
BD
b 0 s b1 s
n
bn
s a1 s
n
n 1
an
• 离散时间状态模型
x ( t 1) A x ( t ) B u ( t ) y (t ) C x (t ) D u (t ) v (t )
G e
n n 1
AT
,F
A ( z ) y (t ) D ( z ) v (t )
④ 方程误差模型（EE: Equation Error model）
A ( z ) y (t ) B ( z )u (t ) v (t )
⑤ CARARNA/ARARMAX(Box-Jenkins)模型
A ( z ) y (t ) B ( z )u (t ) D (z) C (z) v ( t ), e ( t ) : D (z) C (z) v ( t ). y ( t ) ( t ) v ( t )
1 1 1 1 2 3 A ( z ) 1 a 1 z a 2 z a 3 z 1 0.88 z 0.417 z 0.083 z 1 1 2 3 1 2 3 B11 ( z ) b111 z b112 z b113 z 3 z 3.5 z 1.5 z 1 1 2 3 1 2 3 B12 ( z ) b121 z b122 z b123 z z 0.167 z 0.167 z C 1 [1, 0.9], C 2 [1, 0.88]
0 .3 z
1
1
C ( z ) 1 c1 z
D ( z ) 1 d1z
1
1
1 0 .0 6 z
1
1
b2 z
2
0 .4 z
2
1 0.025 z
k 100 200 300 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
A ( z ) y (t ) B ( z )u (t ) D (z) C (z)
v (t )
引进一个内部变量令：
e (t )
D (z) C (z)
v (t ) C ( z )e (t ) D ( z )v (t )
e ( t ) c1 e ( t 1) c n e ( t n c ) v ( t ) d 1 v ( t 1) d n v ( t n d )
a
A ( z ) y (t ) v (t )
② 滑动平均模型（MA：Moving Average model）
y ( t ) D ( z ) v ( t ). y ( t ) v ( t ) d 1 v ( t 1) d n v ( t n d )
d
③ 自回归滑动平均模型（ARMA model）
a1 -0.34726 -0.43108 -0.49439 -0.59458 -0.72743 -0.77876 -0.78219 -0.78483 -0.78754 -0.78900 -0.79028
a2 -0.14732 -0.05894 -0.00029 0.09366 0.22742 0.27820 0.28136 0.28355 0.28574 0.28857 0.28994
T
,
( t ) v ( t )
T
,
4. Simulation
A ( z ) y (t ) B ( z )u (t ) D (z) C (z) v (t )
2
,
( z ) 1 a1 z a 2 z
( z ) b1 z
1
1
2
1 0.8 z 0.3 z
T
2. Least squares algorithm for an ARX model
ARX/CAR model: controlled Auto Regressive model
A ( z ) y (t ) B ( z )u (t ) v (t )
A ( z ) 1 a1 z
1
T
P ( t 1) L ( t ) 1 ( t ) P ( t 1) ( t ) L ( t )
T T
I L ( t )
T
( t ) P ( t 1)
3. How to identify CARARMA/ARARMAX/Box-Jenkins models:
y(t) H 对象 S
u(t)
数据采集仪
• • • • H:周期T的零阶保持器，S：周期T的采样器 收集数据：当t=kT时，u(kT),y(kT),k=0,1, …,L(L：数据 长度) 为方便起见，记u(kT)=:u(k),y(kT)=:y(k) 在下面的讨论中，我们均用u(t)和有y(t)表示连续数据或 离散数据，认为t取连续或离散值。
a2 z
2
an z
n
, B ( z ) b 0 b1 z
1
b2 z
2
bn z
n
.
y ( t ) a 1 y ( t 1) a 2 y ( t 2 ) a n y ( t n )
b 0 u ( t ) b1 ( t 1) b 2 u ( t 2 ) b n ( t n ) v ( t )
1.2 连续系统模型离散化
• 状态空间形式或传递函数
x (t ) A x (t ) B u (t ) y (t ) C x (t ) D u (t )
或
Y ( s ) G ( s )U ( s ), Y ( s ) L y ( t )
n 1
G ( s ) C ( sI A )
系统输入
v(t) 无记忆非线性
中间输入
u(t)
ữ(t)
中间输入
y1(t)
线性动态系统
y(t)
系统输出
百度文库系统输入
v(t) 线性动态系统 无记忆非线性 y(t)
系统输出
u1 ( k )
f1 (.)
u1 ( k )
第一个子系统
B11 ( z 1 ) ( z 1 )
B12 ( z 1 ) ( z 1 )
c d
c1 c nc e ( t 1), , e ( t n c ), v ( t 1), , v ( t n d ) d1 T d nd
: n ( t ) n v ( t )
v (t )

T
e
0
At
d tB
G ( z ) C ( zI G ) F D
1
b 0 z b1 z z a1 z
n n 1
bn
an

B(z) A(z)

y (k ) u (k )
A ( z ) 1 a1 z
1
a2 z
2
a n z , B ( z ) b 0 b1 z
Identification model [least squares form]:
y ( t ) ( t ) v ( t )
T
Parameter vector:
a 1 , a 2 , , a n , b 0 , b1 , , b n
T
Information vector: ( t ) y ( t 1), , y ( t n ), u ( t ), u ( t 1), , u ( t n ) T