南京信息工程大学概率论与数理统计试卷及答案

南京信息工程大学试卷
2007 － 2008 学年 第 一 学期 概率统计 课程试卷( 卷) 本试卷共 页；考试时间 120 分钟；任课教师 统计系 ；出卷时间 07 年 12月 系 专业 年级 班 学号 姓名 得分 一、选择题 (每小题 4 分，共 20 分)
1、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ ）
A ）甲种产品帮销，乙种产品畅销；
B ）甲乙产品均畅销；
C ）甲种产品滞销；
D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.
2、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ ）
A ）
B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；
C ）A B ⊃；
D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。

3、常数b ＝（ ）时，),2,1()
1( =+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布。

A ）2 B ）1 C ）1/2 D ）3
4、设随机变量~(0,1),32X N Y X =-，则~Y （ ）
A) (0,1)N B) (2,9)N - C) (1,3)N - D) (2,1)N -
5、在假设检验中，原假设0H ,备择假设1H ，则称（ ）为犯第二类错误。

A) 0H 为真，接受 0H ； B) 0H 不真，接受0H ；
C) 0H 为真，拒绝0H ； D) 0H 不真，拒绝0H 二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分)
1、设事件B A ,,,4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P 则()P A B ⋃= 。

2、设离散型随机变量X 的分布律为X ～⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛5.03.02.0210
，则P (X ≤1.5)= 。

3、设随机变量X 的方差16)(=X D ，随机变量Y 的方差25)(=Y D ，又X 与Y 的相关
系数XY ρ=0.5，则=+)(Y X D ，=-)(Y X D 。

4、设总体)(~λπX ，n X X X ，，
， 21是X 的一个样本，2,S X 分别是样本均值及样本方差，则=)(X E ；=)(2S E 。

5、设由来自总体)9.0,(~2μN X 容量为9的简单随机样本的样本均值5X =，则未知参
数μ的置信度为0.95的置信区间是_ . （ 已知(1.96)0.975Φ=）
三、解答题 (每小题 10 分，共 60 分)
1、对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率是90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。

每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。

试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？
2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它
,010,2)(x x x f ，求Y=3X+1的概率密度。

3、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
.0,10,0),2(),(其它x y x x ky y x f <<<<⎩⎨⎧-=
求：⑴常数k ; ⑵}5.0,5.0{<<Y X P ; ⑶}1{≤+Y X P ；（4）判断X 与Y 的独立性
4、设),(Y X 的联合概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥+=其他,
002,02),(81),(y x y x y x f
求：（1）E(X)，E(Y) (2)).,cov(Y X （3）XY ρ.
5、设X 1， … ， X n 为取自总体X ~),(2σμN 的样本，求参数2
,σμ的最大似然估计量。

6、设某种橡胶的伸长率)015.0,53.0(~2N X ,现改进橡胶配方，对改进配方后的橡胶取样分析，测得其伸长率为0.56，0.53，0.55，0.55，0.58.0.56，0.57，0.57，0.54，已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率较以往有无显著变化？（05.0=α）
南京信息工程大学试卷答案
2007 － 2008 学年 第 一 学期 概率统计 课程试卷( 卷) 本试卷共 页；考试时间 120 分钟；任课教师 统计系 ；出卷时间 07 年 12月 系 专业 年级 班 学号 姓名 得分 一、选择题 (每小题 4 分，共 20 分)
1、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）
A ）甲种产品帮销，乙种产品畅销；
B ）甲乙产品均畅销；
C ）甲种产品滞销；
D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.
2、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）
A ）
B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；
C ）A B ⊃；
D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。

3、常数b ＝（ B ）时，),2,1()
1( =+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布。

A ）2 B ）1 C ）1/2 D ）3
4、设随机变量~(0,1),32X N Y X =-，则~Y （ B ）
A) (0,1)N B) (2,9)N - C) (1,3)N - D) (2,1)N -
5、在假设检验中，原假设0H ,备择假设1H ，则称（ B ）为犯第二类错误。

A) 0H 为真，接受 0H ； B) 0H 不真，接受0H ；
C) 0H 为真，拒绝0H ； D) 0H 不真，拒绝0H 二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分)
1、设事件B A ,,,4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P 则()P A B ⋃=0.72。

2、设离散型随机变量X 的分布律为X ～⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛5.03.02.0210
，则P (X ≤1.5)= 0.5 。

3、设随机变量X 的方差16)(=X D ，随机变量Y 的方差25)(=Y D ，又X 与Y 的相关
系数XY ρ=0.5，则=+)(Y X D 61 ，=-)(Y X D 21 。

4、设总体)(~λπX ，n X X X ，，
， 21是X 的一个样本，2,S X 分别是样本均值及样本方差，则=)(X E λ ；=)(2S E λ 。

5、设由来自总体)9.0,(~2μN X 容量为9的简单随机样本的样本均值5X =，则未知参
数μ的置信度为0.95的置信区间是_（4.412，5.588） . （ 已知(1.96)0.975Φ=） 三、解答题 (每小题 10 分，共 60 分)
1、对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率是90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。

每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。

试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？
解：设A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”。

已知25.0)(,75.0)(,3.0)(,9.0)(====B P B P B A P B A P ，
9.025
.03.075.09.075.09.0)()()()()
()()(=⨯+⨯⨯=+=B P B A P B P B A P B P B A P A B P 。

2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧<<=其它
,010,2)(x x x f ，求Y=3X+1的概率密度。

（两种方法求解）
解：方法一：定义法 )41()(}3
1{}13{}{)(31<<=-≤=≤+=≤=⎰-∞-y dx x f y X P y X P y Y P y F y Y )3
1(32)31(31)31)(31()()(''-=-=--==y y f y y f y F y f Y Y ，（41<<y ） 故⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
041),31(32)(y y y f Y
方法二：公式法
函数13+=x y 在),(∞-∞内可导，且导数03'>=y ，其反函数31)(-=y y h ，3
1)('=y h ，4}4,1max{,1}4,1{====βαnin ，则Y=3X+1的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⋅-=其它,
041,9)1(231312)(y y y y f Y 3、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
.0,10,0),2(),(其它x y x x ky y x f <<<<⎩⎨⎧-=
求：⑴常数k ; ⑵}5.0,5.0{<<Y X P ; ⑶}1{≤+Y X P ；（4）判断X 与Y 的独立性 解：⑴ ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f ),(1k dy x ky dx x
245)2(010=-=⎰⎰，解得 5
24=k ⑵ }5.0,5.0{<<Y X P =⎰⎰-5.000)2(524x dy x y dx 80
13= ⑶ 103)2(524)2(524}1{1015.005.00=-+-=≤+⎰⎰⎰⎰-dy x y dx dy x y dx Y X P x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-=⎰其它
,010),2(512)2()(20524x x x dy x y x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=-=⎰其它
,010),21223(524)2()(21524y y y y dx x y y f y Y 显然，)()(),(y f x f y x f Y X ⋅≠，故X 与Y 不独立。

4、设),(Y X 的联合概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥+=其他,
002,02),(81),(y x y x y x f
求：（1）E(X)，E(Y) (2)).,cov(Y X （3）XY ρ. 解：11
1,3611,361),(,34)(,67-===-====XY DY DX Y X Cov XY E EY EX ρ 5、设X 1， … ， X n 为取自总体X ~),(2σμN 的样本，求参数2,σμ的最大似然估计量。

解：X 的概率密度为22
2)(221
),;(σμσπσμ--=x e x f
似然函数：∑===---=--∏n i i i x n n i x e e L 122222)(221
2)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ 对数似然函数：∑=----=n i i x n n L 1
22222)(ln 22ln 2),(ln σμσπσμ 对),(ln 2σμL 关于2
,σμ求偏导数并令偏导数为0，即 0)
(ln 21=-=∂∂∑=σμμn i i x L
0)(2ln 4122
2=-+-=∂∂∑=σμσσn
i i x n L 解得∑=-==n i i x x n x 1
2^2^)(1,σμ 故2,σμ的最大似然估计量为∑=-==n i i L L X X n X 12^
2^)(1,σμ 6、设某种橡胶的伸长率)015.0,53.0(~2N X ,现改进橡胶配方，对改进配方后的橡胶取
样分析，测得其伸长率为0.56，0.53，0.55，0.55，0.58.0.56，0.57，0.57，0.54，已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率较以往有无显著变化？（05.0=α）
解：检验假设0100:,
53.0:μμμμ≠==H H
当0H 成立时，统计量)1,0(~/0__N n X Z σμ-=，拒绝域为2/0__|/|||ασμz n X Z >-=
由样本观察值得557.0_=x ，且015.0,53.0,90===σμn ，从而得
4.5|9/01
5.053
.0557.0||/|||0__
=-=-=n X Z σμ
05.0=α，96.1025.02/==z z α
显然，2/||αz Z >，故拒绝原假设0H ，即可认为改进配方后橡胶的平均伸长率较以往有显著变化。