高中数学2-1-1曲线与方程课件新人教A版
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[答案] 必要不充分
[点评] (1)曲线是方程的曲线，方程是曲线的方 程，必须满足定义中的两条性质，即“纯粹性”与 “完备性”，本例中只有“纯粹性”满足，而“完备 性”不满足，故极易做出判断．
(2)对于充要条件的判断，关键看两命题之间的
关系，即若 A⇒B，而 B⇒/ A 则 A 是 B 的充分不必 要条件，若 A⇒/ B 而 B⇒A，则 A 是 B 的必要不充
2．曲线的方程、方程的曲线的判定 (1)判定曲线C的方程是否为f(x，y)＝0，需从两个 方面进行 首先判定曲线C上的点的坐标是否是f(x，y)＝0的 解． 其次判定方程f(x，y)＝0的解是否都在曲线C上．
(2)已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x，y) ＝ 0， G(x， y)＝ 0，则它们 的交点可以由方程组
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的 对应关系．
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
新知视界
1．曲线的方程，方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或 适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下的关系：
类型一 曲线的方程、方程的曲线的概念 [例1] “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0 的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的________条 件． [分析] 由曲线的方程和方程的曲线的定义判定两 命题的关系．
[解] 若曲线C的方程是f(x，y)＝0则满足定义中 两条性质，故曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0 的解，反之不满足性质(2)故应当是必要不充分条件．
分条件，若 A⇒B 且 B⇒A 则 A 是 B 的充要条件， 否则 A 是 B 的既不充分也不必要条件．
迁移体验1 “点M在曲线y＝2x上”是“点M的坐 标满足方程y＝2x”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵点M在曲线y＝2x上，故M坐标满足方程y ＝2x，
4．如果方程 ax2＋by2＝4 的曲线过 A(0，－2)， B(12ห้องสมุดไป่ตู้ 3)两点，则 a＝________，b＝________.
解析：分别将 A、B 两点坐标代入方程得
4b＝4， a4＋3b＝4，
解得ba＝＝14， .
答案：4 1
5．下列命题是否正确？若不正确，说明原因． (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2； (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.
第二章 圆锥曲线与方程
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
• 德国著名天文学家开普勒发现的行星运动 三大定律揭示了行星运动的规律，其中的 第一定律指出：太阳系中的每一个行星都 沿一个椭圆轨道环绕太阳运动，而太阳则 是该椭圆的一个焦点．
• 在本章中，我们将学习曲线与方程，椭圆、 双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性 质等内容．通过方程研究它们的简单性质， 并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简 单几何问题和实际问题，进一步感受数形 结合的基本思想，体会如何用数学的方法 来研究运动变化的世界，加深对用代数方 程表示几何图形的简洁美与对称美的认 识．通过不同圆锥曲线间的对比，学会类 比的方法．
3．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－ 1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 件
D．既不充分又不必要条
解析：当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0成立；反之，当 (a－1)(a－2)＝0时，a＝2或a＝1，不一定有a＝2.故选
A.
答案：A
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方 程的曲线．
思考感悟
如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P(x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？
提示：若点 P 在曲线上，则 f(x0，y0)＝0；若 f(x0， y0)＝0，则点 P 在曲线 C 上．∴点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)＝0.
[解] (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0 可得
x－1≥0 x＋y－1＝0
或x－1≥0 x－1＝0
.
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
表示直线 x＝1 和射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)方程左边配方得 2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， ∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
Fx，y＝0
G
x，y＝0
的解来得到．
尝试应用 1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线 C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：根据曲线和方程的对应关系判断． 答案：B
2．与y轴距离等于2的点的轨迹方程是( ) A．y＝2 B．y＝±2 C．x＝2 D．x＝±2 答案：D
图1
解：(1)错误．因为以方程|x|＝2的解为坐标的点， 不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的 一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有 两条直线l1和l2(如图1)，直线l1上的点的坐标都是方程y ＝x的解，但是直线l2上的点(除原点)的坐标不是方程y ＝x的解．
• 本章知识的学习重点是曲线与方程的概念， 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其简 单几何性质，坐标法的基本思想，直线与 圆锥曲线的位置关系等．
• 本章知识的学习难点是求曲线的方程，椭 圆、双曲线、抛物线标准方程的推导与化 简，双曲线的渐近线以及数形结合的基本 思想.
2.1 曲线与方程 2．1.1 曲线与方程
反之若M点坐标满足方程，则必在曲线y＝2x上， 故是充要条件．
答案：C
类型二 由方程研究曲线 [例 2] (1)方程(x＋y－1) x－1＝0 表示什么曲 线？ (2)方程 2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 表示什么曲线？ [分析] 为了判断方程表示什么曲线，当给出的 方程不易看出是什么曲线时，需对原方程变形．
[点评] (1)曲线是方程的曲线，方程是曲线的方 程，必须满足定义中的两条性质，即“纯粹性”与 “完备性”，本例中只有“纯粹性”满足，而“完备 性”不满足，故极易做出判断．
(2)对于充要条件的判断，关键看两命题之间的
关系，即若 A⇒B，而 B⇒/ A 则 A 是 B 的充分不必 要条件，若 A⇒/ B 而 B⇒A，则 A 是 B 的必要不充
2．曲线的方程、方程的曲线的判定 (1)判定曲线C的方程是否为f(x，y)＝0，需从两个 方面进行 首先判定曲线C上的点的坐标是否是f(x，y)＝0的 解． 其次判定方程f(x，y)＝0的解是否都在曲线C上．
(2)已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x，y) ＝ 0， G(x， y)＝ 0，则它们 的交点可以由方程组
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的 对应关系．
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
新知视界
1．曲线的方程，方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或 适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下的关系：
类型一 曲线的方程、方程的曲线的概念 [例1] “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0 的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的________条 件． [分析] 由曲线的方程和方程的曲线的定义判定两 命题的关系．
[解] 若曲线C的方程是f(x，y)＝0则满足定义中 两条性质，故曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0 的解，反之不满足性质(2)故应当是必要不充分条件．
分条件，若 A⇒B 且 B⇒A 则 A 是 B 的充要条件， 否则 A 是 B 的既不充分也不必要条件．
迁移体验1 “点M在曲线y＝2x上”是“点M的坐 标满足方程y＝2x”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵点M在曲线y＝2x上，故M坐标满足方程y ＝2x，
4．如果方程 ax2＋by2＝4 的曲线过 A(0，－2)， B(12ห้องสมุดไป่ตู้ 3)两点，则 a＝________，b＝________.
解析：分别将 A、B 两点坐标代入方程得
4b＝4， a4＋3b＝4，
解得ba＝＝14， .
答案：4 1
5．下列命题是否正确？若不正确，说明原因． (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2； (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.
第二章 圆锥曲线与方程
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
• 德国著名天文学家开普勒发现的行星运动 三大定律揭示了行星运动的规律，其中的 第一定律指出：太阳系中的每一个行星都 沿一个椭圆轨道环绕太阳运动，而太阳则 是该椭圆的一个焦点．
• 在本章中，我们将学习曲线与方程，椭圆、 双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性 质等内容．通过方程研究它们的简单性质， 并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简 单几何问题和实际问题，进一步感受数形 结合的基本思想，体会如何用数学的方法 来研究运动变化的世界，加深对用代数方 程表示几何图形的简洁美与对称美的认 识．通过不同圆锥曲线间的对比，学会类 比的方法．
3．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－ 1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 件
D．既不充分又不必要条
解析：当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0成立；反之，当 (a－1)(a－2)＝0时，a＝2或a＝1，不一定有a＝2.故选
A.
答案：A
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方 程的曲线．
思考感悟
如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P(x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？
提示：若点 P 在曲线上，则 f(x0，y0)＝0；若 f(x0， y0)＝0，则点 P 在曲线 C 上．∴点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)＝0.
[解] (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0 可得
x－1≥0 x＋y－1＝0
或x－1≥0 x－1＝0
.
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
表示直线 x＝1 和射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)方程左边配方得 2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， ∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
Fx，y＝0
G
x，y＝0
的解来得到．
尝试应用 1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线 C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：根据曲线和方程的对应关系判断． 答案：B
2．与y轴距离等于2的点的轨迹方程是( ) A．y＝2 B．y＝±2 C．x＝2 D．x＝±2 答案：D
图1
解：(1)错误．因为以方程|x|＝2的解为坐标的点， 不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的 一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有 两条直线l1和l2(如图1)，直线l1上的点的坐标都是方程y ＝x的解，但是直线l2上的点(除原点)的坐标不是方程y ＝x的解．
• 本章知识的学习重点是曲线与方程的概念， 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其简 单几何性质，坐标法的基本思想，直线与 圆锥曲线的位置关系等．
• 本章知识的学习难点是求曲线的方程，椭 圆、双曲线、抛物线标准方程的推导与化 简，双曲线的渐近线以及数形结合的基本 思想.
2.1 曲线与方程 2．1.1 曲线与方程
反之若M点坐标满足方程，则必在曲线y＝2x上， 故是充要条件．
答案：C
类型二 由方程研究曲线 [例 2] (1)方程(x＋y－1) x－1＝0 表示什么曲 线？ (2)方程 2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 表示什么曲线？ [分析] 为了判断方程表示什么曲线，当给出的 方程不易看出是什么曲线时，需对原方程变形．