《热统》计算题汇总

三、证明、推算题：

(9分)1、满足C PV n =的过程为多方过程，其中常熟n 称为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容n C 为

V n C n n C 1

--=

γ

2、(8分)设有1 mol 的理想气体，其状态参量由P 1、V 1、T 1变化到P 2、V 2、T 2，假设：

（1）此过程为一等温膨胀过程，求理想气体内能的改变ΔU ，外界对理想气体所作的功W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS ； （2）此过程为一绝热膨胀过程，求理想气体内能的改变ΔU ，外界对理想气体所作的功W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS 。 解：（1）等温膨胀过程：

由于温度T1=T2=T 不变，理想气体内能仅是温度的函数，所以

0=?U ，1

2ln 2

1

V V RT V dV

RT pdV W V V

B

A -=-=-=?? 根据热力学第一定律，

1

2

ln V V RT W Q =-=

等温膨胀过程引起的系统的熵变：

1

2ln V V R T Q

S ==

?

（2）绝热膨胀过程：

210,()v Q W U C T T ==?=-

2211ln

ln V T V

S C R T V ?=+

3、(9分)试根据热动平衡的熵判据，通过简单推导给出由一个单元两相系（α，

β）构成的孤立系统，当系统达到平衡时所要满足的平衡条件。

解：由一个单元两相系构成的孤立系统，其总内能、总体积和总物质的量恒定，

即

U U U =+βα；V

V V =+βα；n n n

=+βα

；

设想系统发生一个虚变动，在变动中α相和β相的内能、总体积和总物质的量

分别发生虚变动，由于整个系统是孤立的，所以有

0=+βαδδU U ；0=+βαδδV V ；0=+βαδδn n ；

在稳定的平衡条件下，整个孤立系统的熵应取极大值，即

0=+=βαδδδS S S

根据热力学基本方程，

α

α

ααααδμδδδT n dV P U S -+=

，

β

β

ββββδμδδT n pdV U S -+=

代入整个孤立系统的熵变，得

)()()11(=---+-=+=ββ

αααββαααβααβ

αμμδδδδδδT

T n T P T P V T T U S S S

在虚变动中，U δ、V δ、n δ可以独立地改变，0=S δ则要求

βαT T =（热平衡条件）， βαP P =（力学平衡条件），

βαμμ=（相变平衡条件）

4. (7分)用热力学理论证明气体节流的焦耳——汤姆逊系数

μ=H

P T

)(??=P C V (T α-1)

证明：根据焦汤系数定义H P T ???

????=μ(1分)

又1-=???

??????? ??????? ????P

T H T H H P P T (2分)

则()P

P P P

T H

C T V C V T V T T H P H P T 1--=?

??

???-??? ????=

??? ???????

????=??? ????α(4分) 5、(8分)实验发现，一气体的压强P 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即

()()

T U U T f PV ==

试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式

6、(7分)根据热力学理论证明：理想气体的内能只是温度的函数，与体积无关。

7、(9分)理想气体的卡诺循环包括哪四个准静态过程？请用pV 图和能流图表示出来，并写出其效率公式。

答：等温膨胀过程，绝热膨胀过程，等温压缩过程，绝热压缩过程。(4分)

8、(8分)根据单元两相系的平衡条件推导克拉伯龙方程。 解：取两相平衡曲线上邻近两点。在两点上，两相化学势相等.

且 上述两式相减

两相的化学势的变化相等.

其中L 表示1摩尔物质有α 相转变到 β相所吸收的相变潜热 代入得 9、(7分)试根据公式

V a p l

l

l

?ε?-=∑证明，对于非相对论粒子

Λ

η,2,1,0n ,n ,n ),n n n (L 2m 21m 2p z y x 2

z 2y 2x 2

2±±=++??? ??π==ε

),(),(P T P T βα

μμ=)

,(),(dP P dT T dP P dT T ++=++βαμμβα

μμd d =dp V

dT S d m m +-=μdp

V dT S dp V dT S m

m

m

m

ββαα+-=+-αβα

βm

m m

m V V S S dT dp --=)

(α

βm m S S T L -=)(αβm m V V T L dT dp -=1

21211T T

Q Q -=-=卡诺η

有

V U 32p =

。

10、(7分)试根据公式

V a p l

l

l

?ε?-=∑证明，对于极端相对论粒子

()2

1

222z y x n n n L

h c cp ++==ε(),...2,1,0,,±±=z y x n n n ，

有 V

U

P 31=

上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立

11、(9分)应用经典的玻尔兹曼分布推导单原子分子理想气体的压强P （物态方程），内能U 和热容量C v 。

解：根据玻尔兹曼统计，理想气体的配分函数可以表示为

2

/322223)(231)

2(11

2

22222β

πββββ

h m V dP e dP e dP e dxdydz h dP dP dxdydzdP e h

Z z

P m

y P m x P m z

y x P P P m z y x z y x =??=???=????????∞+∞--∞+∞--∞+∞--++-

根据玻尔兹曼热力学量的统计表达式，

V

NkT

Z y N Y P =

??=-=1ln β

NkT Z N U 23

ln 1=??-=β

Nk dT dU C v 23

==

12、(7分)试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，能量在ε到εεd +范围内，量子态数为

εε

εεd m h L d D 2

/1)2(2)(=

13、(8分)试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，能量在ε到εεd +范围内，量子态数为

επεεmd h

L d D 22

2)(=

14、(9分)试证明，对于三维自由粒子，在面积V 内，能量在ε到εεd +范围内，量子态数为 ()εεπεεd m

h V d D 21233

22)(=

15、(9分)在极端相对论情况下，粒子的能量动量关系为cp =ε 试求在体积V 内，在能量在ε到εεd +范围内三维粒子的量子态数。 解：对于三维自由粒子，有,x x n L P h =

,y y n L P h =,z z n L

P h = z z y y x x dn L P dn L dP dn L dP h

h h ===

∴,,

在L 2面积内，动量大小在z z z y y y x x x dP P P dP P P dP P P +→+→+→，,内的量子态数为z y x z y x dP dP dP h V

dn dn dn 3=

换为极坐标，则动量大小在dP P P +→内的量子态数为

?θθd dPd P h V dn sin 2

3=

对θ由0积分到π，?从0到2π积分，dP P h V

dn 234π=

在极端相对论情况下，粒子的能量动量关系为cp =ε

代入，可得在体积V 内，在能量在ε到εεd +范围内三维粒子的量子态数为

()εεπεεd ch V d D 2

3

4)(=

16、(9分)应用玻耳兹曼统计，求二维单原子分子理想气体系统 （1）、粒子的配分函数Z 1; （2）、

系统的内能。

解：根据玻尔兹曼统计，二维单原子分子理想气体的配分函数为

βπβββ

2

222)(2212112

222h m A dP e dP e dxdy h dP dxdydP e h

Z y

P m

x P m x

y

x P P m y x y x =?=???=??????∞+∞--∞+∞--+-

根据玻尔兹曼热力学量的统计表达式，

A

NkT Z A NkT Z V N Y P =

??=??=-=11ln ln β

NkT Z N

U =??

-=1ln β

Nk dT dU

C v ==

17、(9分)利用玻尔兹曼统计推导理想气体的物态方程。

18、(8分)试推证二维空间中平衡辐射的普朗克公式为

1),(22-=kT e d c A d T U ω

ω

ωπωωηη

式中A 为二维空间面积，c 为光速。

解：考虑光子自旋，在面积A 内，动量大小在p p dp -+范围内二维光子可能的状态数为

24A

pdp h π

将cp εω==h 带入得在d ωωω-+范围内光子的量子数为

2A

d c ωωπ

辐射场的内能为 2

2

2(,)11kT kT

A A U T d d d c c e e ωωωωωωωωωππ==--h h h h

19、(9分)简要推导普朗克热辐射公式

ωωd T U ),(=32c V

π13-kT e d ω

ωωηη

式中V 为平衡辐射场的体积，c 为光速。

(

20. (8分)利用能量均分定理，写出CO 分子理想气体的内能与热容量（不考虑振动），并简要说明在常温范围，振动自由度对热容量贡献接近于零的原因 解：CO 为双原子分子，自由度为i=5，根据能量均分定理，一个分子的内能；

NkT U 2

5

=

热容量根据定义有 5

2

V dU C Nk dT =

=。(2分) 常温范围内双原子分子的振动能级间距kT ＞＞ω， 由于能级分立，振子须取得能量ω才有可能跃迁到激发态。

在T << θv （~103K ）情形下，此概率极小。几乎全部振子都冻结在基态。 当气体温度升高时，几乎不吸收能量，所以常温范围，振动自由度对热容量贡献接近于零。

21、(9分)表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求最概然速率、平均速率和方均根速率。

解：根据玻尔兹曼分布的经典表达式

l

e

h a r l l βεαω--?=0

(1)

当理想气体作二维运动时，分子质心运动能量的能量为

)(212

2y x P P m

+=

ε (2) 所以在面积S 内，质心平动动能在x dP y dP 范围内的分子数为

y x P P mkT dP dP e h S y x )

(21

20

22+--α (3) 由于系统总分子数为N ，即

N dP dP e

h S y x P P mkT

y x =??+-

-)(21

20

22α (4)

整理后得

kT

m h S N e

πα

22

0=- (5) 将（5）带入（3），可得在面积S 内质心平动动能在x dP y dP 范围内的分子数为

y x P P mkT

dP dP e kT

m N y x )(21

2221+-

π (6)

由于x x mdv dP =，y y mdv dP =，代入，

得麦克斯韦速度分布函数：y x v v kT m

dv dv e kT

m N

y x )

(2222+-π (7) 将直角坐标（x,y ）转换到极坐标（θ,v ），用θvdvd 代替y x dv dv ，并对θ积分， 可得麦克斯韦速率分布：

vdv e kT m N v f v kT m

2222)(-=ππ (8)

由

0)

(=dv

v df ，可得最概然速率： m kT

v m =

平均速率：

m

kT vdv ve kT m dv v vf N v v kT m

222)(1022πππ??===∞--

方均根速率：

m

kT

vdv e v kT m dv v f v N v v kT m

s 222)(102222===

??∞-ππ

附：部分可能用到的积分公式

2

/10

22

a dx e

ax π

?

∞

-=

2

/30

242

a

dx e

x ax π

?

∞

-=

2

321

2

a

dx e

x ax ?

∞

-=