第17章《勾股定理》专题复习课

图①
图②
图1
图③
参考小东同学的做法，解决如下问题： 小东同学的做法是： 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图 2④，请把它们分割后拼 设新正方形的边长为 x(x＞0).依题意，割补前后图形的面积相等， 接成一个新的正方形 .要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正 有 x2＝5，解得x＝ 5 . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形 方形网格图(图中每个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的 组成得矩形对角线的长 .于是，画出图②所示的分割线，拼出如图 新正方形. ③所示的新正方形 .
《勾股定理》专题复习
直角三角形有哪些特殊的性质
角
直角三角形的两锐角互余。
边 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 B 符号语言： 在Rt△ABC中
a2+b2=c2 c a C
面积 两种计算面积的方法。 A
b
如何判定一个三角形是直角三角形呢？ (1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形 (2) 两个内角互余的三角形是直角三角形 (3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
A F
●
H
问题二：如图，已知正方体的棱长为2cm E （1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 （2）如果蚂蚁从A点到G点，求蚂蚁爬行的距离。 （3）如果蚂蚁从A点到CG边中点M，求蚂蚁爬行 A 的距离。
H
F
G
●
M
D
B
C
知识点4：判断一个三角形是否为直角三角形
考查意图说明：勾股定理逆定理应用
3如图，正方形ABCD中，边长为 4 ， F 为 DC 的中点， E 1 为BC上一点，CE BC 你能说明∠AFE是直角吗？
B
x
8
D
C
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 3、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长 也是正整数，则此三角形的周长是（ ） A、120 B、121 C、132 D、123
C
B
A
教材71页练习11：
如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面 积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 . 问题：如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形 其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么 关系？(不必证明) 变式一：如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三 角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间 的关系并加以证明； 变式二： 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形， 其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系
(2) 两个内角互余的三角形是直角三角形 (3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
B 符号语言： 在Rt△ABC中 a2+b2=c2 A C (4) 如果一个三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
有四个三角形，分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个角之比为３:４:５; ③三边长分别为７、２４、２５ ④三边之比为5:12:13 其中直角三角形有（ C ） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4 个
4、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°， A AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
D E C
B
2、如图,点A是一个半径为 ２５０ m的圆形森林公 园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个小镇,现要在 B.C 两小镇之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将 两镇连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问?请通过 计算说明此公路会不会穿过该森林公园.
4
变式：如图，正方形ABCD中，F为DC的中点， E为BC上一点，且 CE 1 BC 你能说明∠AFE 4 是直角吗？
4、一位同学向西南走40米后，又走了50米， 再走30米回到原地。问这位同学又走了 50米后向哪个方向走了？
寻找规律性问题二 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题： （1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变 化规律； （2）推算出OA10的长； （3）求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。
A4 A5 S4 S3 A6 S5 ... O
A3 S2 S1 A2 A1
1
（2003山东烟台）请阅读下列材料： 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1－①，请把它们 分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格 图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
A D E B F C
2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm， 按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为 E A EF，求DE的长。
B
D C’
F
C
3、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片 ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF的长是?
D’
A F D
B E
C
4,折叠矩形ABCD的一边AD, 折痕为AE, 且使点D 落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm， 求点F和点E坐标。 y A , B D E C
变式二：有一个长为40cm，宽为30cm的长方形洞口，想用一 个圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？
教材67页探究2：如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,梯 子的顶端距地面的垂直距离为8m. 问题：如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1 m?
变式一：当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离AC 会等于梯子底端下滑的距离BD? 变式二：如果设梯子的长度为c米，AO=b米，BO=a米，请 用含a、b的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑 的距离AC会等于梯子底端下滑的距离BD?
观察下列图形，正方形1的边长为7，则 正方形2、3、4、5的面积之和为多少？ 规律：
2 3 4 5
S2+S3+S4+S5= S1
1
一、常见问题枚举：
• 知识点1：（已知两边求第三边) 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm， 2cm ，则斜边长为_____________．
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是 ________________． 3、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求BC的长？ 考查意图说明：2，3训练学生分类讨论思想
图甲
图乙
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分 割成6块，再拼合成一个正方形. （要求：先在图乙中画出分割线， 再画出拼成的正方形并表明相应数据）
教材改编题
教材68页练习1：有一个直径为50dm的圆形洞口，想用一个正 方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？
变式一：有一个直径为50dm的正方形洞口，想用一个圆 盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
符号语言：∵a2+bΒιβλιοθήκη Baidu=c2
∴∠C=90° A 或△ABC 为Rt△ABC
c
B a
b
C
直角三角形判定 如果一个三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？ C
A
D
B
如何判定一个三角形是直角三角形呢？ (1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形
解：在△ＡＢＣ中∠B=60°,∠C=30°,
A２５０
∴∠ＢＡＣ＝９００ ∴在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ＝
1 2
ＢＣ＝５００
BC2 AB2
=５００
3
∵2Ｓ△ＡＢＣ＝ＡＤ×ＢＣ＝ＡＢ×ＡＣ
B
60°
30°
∴ＡＤ＝２５０
D 1000
C
3
＞２５０
∴此公路不会穿过该森林公园
二、利用方程解决翻折问题
1、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸， 已知该纸片宽AB为8cm，• 长BC• 为10cm．当 折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）． 想一想，此时EC有多长？•
图④
图⑤
2、有一块菜地,形状如下, 试求它的面 积.(单位:米) B
12
C
3 4
D
13
A
你能分别在下列正方形中画出 格点三角形,使它是直角三角形,且 各顶点在正方形的三条边上(没有 两点在正方形的同一边上).并能给 予说明吗?
2006年北京市中考
（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大 会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼 成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条 直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.
知识点2： 一、利用方程求线段长 如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于 A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路 AB上 建一车站E，使得C，D两村到E站的距离相等， （1）E站建在离A站多少km处？ （2）DE与CE的位置关系 （3）使得C，D两村到E站的距离最短
D C
15
10
A
考查意图说明：
E25
B
4、等腰三角形底边上的高为8，周长为32， 求这个三角形的面积 A
解：设这个三角形为ABC，高为AD， 设BD为x，则AB为（16-x）， 由勾股定理得： x2+82=(16-x)2 即x2+64=256-32x+x2 ∴ x=6 ∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
四、对于本章复习的想法：
• 基本计算的准确性 • 注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类 讨论，方程思想等 • 注意勾股定理与实际相结合的问题 • 注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力 如勾股定理探索，数学活动中的折纸问题 • 注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点 问题，也为以后学习的相似三角形，二次函数 等问题做好铺垫
O
F
x
考查意图说明：
5.边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直 角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠 后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于 点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点 B1的坐标
y
C E O D B
A
x
B1
知识点3：
勾股定理在立体图形中的应用
问题一：如图，已知圆柱体底面直径为2cm，高为4cm （1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 （2）如果蚂蚁从A点到CG边中点H，求蚂蚁爬行的距 离。
A C D B O
教材70页练习5：要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为 13m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离。
变式一：如果电线杆的高度未知，现有一根一端固定在电线杆 顶端的钢缆，且钢缆长比电线杆长8米，地面钢缆固定点A 到电线杆底部B的距离为12米，求电线杆的高度。 变式二：现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，给你一把米 尺，你能测量出旗杆的高度吗？请你设计方案。