勾股定理中的易错题辨析
知错能改,善莫大焉——勾股定理易错题解析
的思 维 品质 ， 提 高解 题 能力 具 有 重 要 意义 ，
让我们 知错能改 ， 轻松应对勾股定理 ！
（ 作者单位 ： 江 苏省 常 州 市武 进 区湖 塘 实验 中学 ）
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
图２
图３
２ １
是直角 三角形 ， 大 多 数 同 学 错 误 地 理 解 为
【 正解 】 如图 ２ ， 当／ ＿ Ａ Ｂ Ｃ 为钝 角 时 ， 在
ＡＡＣ Ｄ也 是 直 角 三 角 形 ， 直 接 利 用 直 角 三 Ｒ ｔ ａＡ Ｃ Ｄ和 Ｒ ｔ ＡＡＢ Ｄ 中 ， 由勾 股 定 理 得 角 形 的面 积 公 式 求 解 ．而 实 际 上 △Ａ Ｃ Ｄ 的 ＣＤ ＝Ａ ｃ ２ － ＡＤ ＝ ２ ５ ６． Ｂ Ｄ ＝ Ｂ － ＡＤ ＝ ８ １．
析 问题时 ， 我 们 往 往 习 惯 性 地 将 △ＡＢ Ｃ理 用 数 学 知 识 ， 通 过计算 Ｂ Ｂ 的 长 度 来 判 断 解 成 锐 角三 角 形 ， 没 有 全 面 判 断 三 角 形 的 梯 子 的底 端 移 动 的距 离 ．
形状 ， 出现 漏 解情 况 ． 在 画示 意 图 的过 程 中 ，
第 二 步 由 ＡＣ ＝ ２ ０确 定 点 ｃ时 ， 要考虑点 ｃ 向外 移 ０ ． ８米 ． 的位 置 ． 当位 于 ＡＢ的左侧 ， 形 成 的 ／ＡＢ Ｃ为 【 感悟 】 看 似简 单 的实 际 问题 ， 不能 光 钝角 ， 如图 ２ ； 当位 于 Ａ Ｂ 的右侧 ， 形 成 的 凭 直 觉 ， 只 有转 化 为数 学 问题 ， 利 用 勾 股 ／ＡＢＣ 为锐角 ， 如图 ３ ． 定 理 计 算 线 段 长度 ， 才能呈现事实真相 ．
勾股定理及逆定理易错辨析
勾股定理及逆定理易错辨析内容摘要：勾股定理是华师大版八年级上册第14章的内容,它是在我们已经初步掌握直角三角形定义及有关性质的基础上进行学习的，它是我国古代数学的一项伟大成就，是三角形三边关系之后用来描述特殊三角形三边关系的又一个重要的结论.勾股定理揭示了直角三角形三边长的内在联系,反映了三边之间特殊的平方关系,它的逆定理为我们提供了三角形是否是直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的重要方法.它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法,因此应用十分广泛.关键词：勾股定理逆定理分类讨论在利用勾股定理及逆定理时，有时会犯一些错误，归纳起来，有以下常见错误：（1）解题时存在思维定势，考虑问题不全面而出现漏解；（2）不能准确利用勾股定理的逆定理.下面就一些典型例题加以说明.一、注意分清直角边和斜边例1. 在Rt△ABC中,∠B＝90o,a=6㎝,b=8㎝,求第三边长c.错解:由勾股定理,得所以第三边长为10 ㎝.[来源:_]分析:本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件,忽视了∠B＝90o ,由于∠B＝90o ,所以b应为斜边,而不是c.正解:因为∠B＝90o ,由勾股定理,得 ,故第三边长为㎝.二、注意定理的应用条件例2. 已知三角形中,三边长a、b、c为整数,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三边c 的长.[来错解: 由勾股定理,得 (㎝).分析: 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中,本题解法是受"勾3股4弦5 "的影响,错把它当成直角三角形,导致错误的使用勾股定理.正解: 由三角形三边关系可得 ,又c为整数, c的长应为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.三、注意定理和逆定理的区别例3. 判断下列三条线能否构成直角三角形:a= 3、b=4、c=5.错解: 因为 ,所以根据勾股定理可知,a、b、c能构成直角三角形.分析: 本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论,勾股定理是由"形"推得"数",而逆定理则是由"数"推得"形".因此不可混用.正解:因为 ,由勾股定理逆定理可知,三条线段能构成直角三角形.1.注意解题语言叙述例4.已知三角形的三边长为5、12、13,试说明三角形是直角三角形.错解:因为直角边是5和12,斜边是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.分析:解法中错在一开始就明示了"直角边"和"斜边",事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为"直角边"、"斜边".正解:因为 ,由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.五、注意分类讨论例5. 在一个直角三角形中,已知两边长为3、4,求第三边的长.[来源:学科网:学科网]错解: 因为三角形是直角三角形,第三边长为5.分析: 本题错在只考虑3、4为直角边的可能,而忽视了4也可以作为斜边的情况,因此须分类讨论.正解:(1)若4为直角边,则第三边的长为5；（2）若4 为斜边, 则第三边的长为 .故第三边长为5或.例6.已知在△ABC中,AB=4,AC=3,BC边上的高AD等于2.4,求△ABC的周长.错解:由勾股定理,得 , ,,△ABC的周长为12.分析:上面解法中,只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,忽视了高在形外的情况,即当是钝角三角形时.因此须分类讨论.图6-1 图6-2正解: 由勾股定理,得 , .（1）如图6-1，若△ABC是锐角三角形,则 ,这时△ABC 的周长为12；（2）如图6-2，若△ABC是钝角三角形,则 ,这时△ABC的周长为8.4.所以△ABC的周长为12或 8.4.例7.已知在Rt△ABC中,两直角边的长为20和15,求BD的长.错解: 由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得,在Rt△ABC中,由勾股定理得BD=16.分析:本题错在只考虑了AB的长是20的可能,忽视了AC的长也可能为20的情况.因此须分两种情况求解.正解: 由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得.（1）当AB=20时,BD=16；（2）当AC=20时,BD=9.所以BD的长为16或9 .例8.等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，求BC的长.错解：作BD⊥AC于D，则∠BDC＝∠ADB＝90°，△ ABC的面积＝AC·BD＝×5×BD＝10，解得BD＝4，在Rt△ABD中，由勾股定理得：；CD＝AC－AD＝2，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得：所以BC的长为 .分析:上面解法中,只考虑了等腰锐角三角形的高在三角形内部的情况,忽视了钝角三角形高在形外的情况.因此须分类讨论.正解: 分两种情况讨论：①等腰△ABC为锐角三角形时，如图8-1所示：CD＝AC－AD＝2，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得：图8-1②等腰△ABC为钝角三角形时，如图4-2所示：CD＝AC＋AD＝8，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得：所以BC的长为或 . 图8-2当然,应用勾股定理解题时的错误不仅仅上述这些,错误也多种多样,但最根本原因是对定理不熟悉或理解不深刻造成的,为避免上述错误,大家一定要加强基础知识的学习,为避免做题时出现一些错误，可适当多记忆些知识：（1）看到直角三角形就想到分类讨论；（2）出现三角形高的时候，考虑其在三角形内部或外部.在正确理解的基础上强化练习,不断提高自己.勾股定理有悠久历史和广泛应用，它是我国古代人民的聪明才智的结晶；希望大家能走进勾股定理的世界，一起用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！。
勾股定理易错题分析
勾股定理易错题分析勾股定理是初中几何的重要知识，是几何中的常用工具。
初学时，很多同学常易犯各种各样的错误。
下面仅选择几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错误。
【例1】在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解由勾股定理，得诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a 时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，【例2】已知RT△ABC中，∠B=RT∠,c=求b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴【例3】若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解 设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82． x=2268+=3664+=10即第三边长为10cm ．诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法 设第三边长为xcm ．若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=2268+=3664+=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286-=28=27(cm)因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.【例4】如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=23AD.又RT △ABC 的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形，∴AC:AB:BC=3:4:5∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．∴AC=31232+AB=4 12BC=512)=156+又∵12AC AB•=12BC AD•∴AD=AC AB BC•=25诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AD∴AD又∵MC=MA，∴CD=MD．∵点C与点M关于AD成轴对称．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°,AC=1 2∴AC+AB+BC=12BC+2BC+BC=6+∴BC=4．∵12BC=3AD, ∴AD=122BC【例5】在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．【例6】已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE．错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．所以高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。
中考数学复习指导：勾股(逆)定理应用中的易错点
勾股（逆）定理应用中的易错点勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一个三角形的三条边长，则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简单，因而在运用这两个定理时，同学们往往因不够重视而出现这样那样的错误．现将几种典型错解列举如下，并作简要的剖析，供同学们参考．一、忽视应用的前提例1 △ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，c为质数，求c．错解由勾股定理得：c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，故c＝5．分析不注意定理的成立条件，而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．其实，只有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解．正解由三角形的三边关系知：b－a<c<b＋a，即1<c<7，又c为质数，故c＝2，或c＝3，或c＝5．例2 如图1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，试说明AB＝AC．错解∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BC＝8，又∵AD＝6，∴在△ADC中，由勾股定理，得而AB＝10，故AB＝AC．分析由于受题目题设、结论及图形的影响，在没有进行推证说明的情况下，就先行认为△ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，导致解题过程错误．正解∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝8．又∵AB＝10，AD＝6，且有62＋82＝102，即AD2＋BD2＝AB2，则△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：∴AB＝AC．友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是：只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，在非直角三角形中不具备这种关系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理．二、忽视直角所对的边是斜边例3 在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的长．错解∵△ABC为直角三角形．由勾股定理得：a2＋b2＝c2，且c＝＝10.分析错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：a2＋b2＝c2的影响而理所当然的认为c是斜边，其实，由∠B＝90°，知道斜边应该是b（如图2）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解因为∠B＝90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理得：友情提示：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边才是斜边，而并不一定是我们所习惯的c为斜边．三、忽视隐含情形例4 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长，错解第三边长为：分析同学们都知道3.4.5是最小的勾股数，在我国古代就已有“勾三、股四、弦五”的说法，这意味着当两直角边分别为3和4时，斜边长为5，部分学生在解这道题时，由于思考不周全，忽略隐含情形，误认为一边是3，一边是4，第三边长也就是斜边长为5．实际上，题目中包含着两种情况：一种是已知的两边之长3，4都是直角边长，这时的第三边即斜边长为5；另一种是已知的两边中较长的边（长）4为斜边长，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为．正解(1)当两直角边为3和4时，第三边长为：；(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为：∴第三边的长为5或．友情提示：在给出直角三角形两条边长，并且没有确定它们都是直角边时，第三边既可能是斜边，也可能是直角边．四、忽视分类讨论例5 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12．求BC的长．错解如图3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：分析由于题目并没有给出对应的图形，所以根据习惯画出了图3，认为三角形的高在三角形的内部，忽视了三角形的高也可能在三角形的外部（即图4所示），此时BC＝BD－CD．错解忽视了分类讨论思想的运用.正解如图3，当△ABC的高AD在三角形内部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：如图4，当△ABC的高AD在三角形外部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：友情提示：在题目没有给出相应图形时，我们一定要周密思考，根据题意画出所有符合条件的图形进行解答．五、忽视区别应用勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理则是直角三角形的判定定理．在已知直角三角形中，需要用到三边的关系时用勾股定理；而已知三边想用直角三角形的性质定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判断它是否是直角三角形．在使用时要特别注意区别对待，例6 △ABC的三边长分别为7，24，25，试判断△ABC的形状．错解∵72＋242＝252，∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．分析虽然最终判断的结果是对的，但是判断的根据是错误的．因为勾股定理是直角三形的性质定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本题需对三角形形状作出判断，判断的依据是勾股定理的逆定理，错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和区别，导致错误运用．正解∵72＋242＝252，∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．友情提示：勾股定理是直角三形的性质，可以用它来解决直角三角形的三边的等量关系．而勾股定理的逆定理是根据三边的一个等量关系来判断三角形的形状的.六．忽视定理实质例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，则( )(A)∠A为直角(B)∠C为直角(C)∠B为直角(D)不是直角三角形错解选B．分析因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误，该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一等式进行判断．正解∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2．故选A．例8 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )(A)1.2.3 (B)32，42，52(C)，，(D)，，错解选B．分析对勾3股4弦5的形式根深蒂固，对概念的理解流于表面形式，判断一个三角形是不是直角三角形时，应将所给三边的长进行平方看是否满足a2＋b2＝c2的形式．正解因为，故选C．友情提示：在使用勾股定理及其逆定理时，既要看是否满足a2＋b2＝c2的形式，更要看这个定理中字母a，b，.c的实质．七、忽视最大边所对的角是直角例9 一个三角形的三边的长分别是a＝，b＝，c＝2．问这个三角形是直角三角形吗？所以这个三角形不是直角三角形．分析以上解答是错误的，因为根据三角形的边角关系可知，最大的角所对的边最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所对的边才是它的最大边即斜边，直角三角形中最大的边所对的角是直角．所以要判断一个三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大边，而错解中并没有判断哪条边是最大边，却受a2＋b2＝c2的影响，认为c为最大边．实际上本题中b才是最大边．所以应判断a2＋c2与b2之间的关系．根据勾股定理逆定理可知由a，b，c为边组成的三角形为直角三角形．例10 已知△ABC的三边的长分别是BC＝41，AC＝40，AB＝9．试说明△ABC是直角三角形．错解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．分析以上解题思路是对的，但∠C＝90°是不对的．直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为∠A，所以这里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．正解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠A＝90°．∴△ABC是直角三角形．友情提示：在判断所给的线段能否组成直角三角形时，要先确定最大边，然后再通过计算，判断最大边的平方是否等于其它两边的平方和，应用勾股逆定理时，一定要注意最长边对的角为直角．勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要工具，因此熟练掌握它们的使用方法是十分重要的，我们要加深理解这两个定理的本质意义，把“忽视”变为“重视”，尽量减少错误的发生．。
(完整)勾股定理易错点剖析
勾股定理及其逆定理的探究忽视运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状例在Ｂ港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６０°方向以每小时８海里的速度前进，乙船沿南偏东某角度以每小时１５海里的速度前进．２小时后,甲船到达Ｍ岛，乙船到达Ｐ岛，两岛相距３４海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解:甲船航行的距离为 BM＝８×２＝１６(海里),乙船航行的距离为 BP ＝１５×２＝３０（海里）．∵223016 ＝３４(海里），且 MP＝３４(海里），∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP＝９０°，∴乙船是沿着南偏东３０°的方向航行的．错解分析：本题最终判断的结果虽然也是正确的，但是在解题的过程中忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误．本题考查的重点是对三角形形状的判定,应该先应用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状，再求出乙船的航行方向．正解：甲船航行的距离为 BM＝８×２＝１６（海里），乙船航行的距离为 BP ＝１５×２＝３０（海里）．∵１６２＋３０２＝１１５６，３４２＝１１５６，∴BM２＋BP２＝MP２，∴△MBP为直角三角形，且∠MBP＝９０°，∴乙船是沿着南偏东３０°的方向航行的．点拨：已知三角形为直角三角形求其边的关系时，应用直角三角形的勾股定理；知道三角形的三边关系判定三角形是否为直角三角形时，应用勾股定理的逆定理。
在解题时要分清这两个定理的使用方法．通过本例告诉我们，掌握勾股定理的逆定理要注意以下两点：一是勾股定理的逆定理是利用三角形三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理；二是只要一个三角形的三边满足两较小边的平方和等于第三边的平方，就可以判定这个三角形是直角三角形，反之，这个三角形就不是直角三角形．。
利用勾股定理及其逆定理解题的常见错误
利用勾股定理及其逆定理解题的常见错误作者：韩春见来源：《初中生(二年级)》2009年第05期勾股定理及其逆定理体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想. 我们初学勾股定理及其逆定理时，由于对知识的理解不透彻，方法运用不熟练，常常出现一些不必要的错误，失分率较高.一、盲目套用勾股定理例１在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ分别是∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边，ａ＝３，ｂ＝４，且ｂ＜ｃ. 若ｃ为整数，则ｃ＝.错解：由勾股定理得ｃ＝＝＝＝５.剖析：受“勾三、股四、弦五”的影响，错误地把△ＡＢＣ当成直角三角形，盲目套用勾股定理进行计算.题目中没有给出直角三角形的条件，只能利用三角形的三边关系定理解题.正确解法：由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，知ｂ－ａ＜ｃ＜ａ＋ｂ.又ｂ＜ｃ，∴ｂ＜ｃ＜ａ＋ｂ，即４＜ｃ＜７.∵ｃ为整数，∴ｃ为５或６.二、考虑不全面出现漏解例２已知三角形两边为５和１２，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长.错解：设第三边的长为ｘ，则由勾股定理可得５２＋１２２＝ｘ２.解得ｘ＝１３，即这个三角形第三边为１３.剖析：已知直角三角形的两边，并未指明这两条边都是直角边还是有一条斜边，因此长度为１２的边可能是直角边，也可能是斜边（由于５＜１２，斜边是最长的边，长度为５的边不可能是斜边），求这个三角形的第三边必须分类讨论.正确解法：设这个三角形的第三边长为ｘ.当ｘ为斜边时，由勾股定理可得５２＋１２２＝ｘ２．解得ｘ＝１３.当ｘ为直角边时，则长度为１２的边为斜边．由勾股定理可得５２＋ｘ２＝１２２.解得ｘ＝ .因此，第三边为１３或 .评点：在应用勾股定理解题时，要全面地考虑问题，避免漏解.三、不理解勾股数的概念例３下列各组数能构成勾股数的是.Ａ．０.０７，０.２４，０.２５；Ｂ．６，８，１０；Ｃ．７，８，１０；Ｄ．，，１.错解：Ａ、Ｂ、Ｄ.剖析：勾股数必须是一组正整数，勾股数要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 将Ａ、Ｄ选上是因为对勾股数的概念不理解，属于概念错误.正确答案：Ｂ.评点：若ａ、ｂ、ｃ满足ａ２＋ｂ２＝ｃ２，且ａ、ｂ、ｃ均为正整数，则ａ、ｂ、ｃ是一组勾股数.例４以下各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有（）.①３，４，５；②，，；③３２，４２，５２；④６，８，１０.Ａ. １组Ｂ. ２组Ｃ. ３组Ｄ. ４组错解：选Ｄ.剖析：由于３，４，５是一组勾股数，把这组数同时扩大相同的倍数，所得一组数仍为勾股数，但将这组数同时开方或平方，得到的数就不是勾股数，因此，，和３２，４２，５２不是勾股数.正确答案：Ｂ.评点：判断一组正整数是不是勾股数，关键看它们是否满足ａ２＋ｂ２＝ｃ２. 认为，，和３２，４２，５２是勾股数，是犯了想当然的错误.四、忽视直角边和斜边的区别例５已知在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ分别是∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边，且ａ＝５，ｂ＝１３，ｃ＝１２，试判断△ＡＢＣ是否为直角三角形．错解：△ＡＢＣ不是直角三角形.理由：在△ＡＢＣ中，因为ａ２＋ｂ２＝５２＋１３２＝１９４，ｃ２＝１４４，ａ２＋ｂ２≠ｃ２，故△ＡＢＣ不是直角三角形.剖析：虽然ａ２＋ｂ２≠ｃ２，但我们不能由此就认定这个三角形不是直角三角形. 应该分析这个三角形的三条边长，如果是直角三角形，最长的边应该是斜边，由于ｂ＝１３最长，即只有ｂ可能为斜边，所以应该验证两条较短的边ａ和ｃ的平方和是否与ｂ的平方相等. 若相等，则△ＡＢＣ为直角三角形，否则△ＡＢＣ就不是直角三角形.正确解法：△ＡＢＣ是直角三角形.理由：在△ＡＢＣ中，因为ａ２＋ｃ２＝５２＋１２２＝１６９，ｂ２＝１６９，ａ２＋ｃ２＝ｂ２，故△ＡＢＣ是直角三角形.评点：勾股定理的逆定理是根据三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪两条边有可能为直角边，哪条边有可能为斜边.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
勾股定理易错题剖析
串 号 申 在 △ Ｂ 中 ， ， ｃ分 别 是 Ｉ Ｃ ８ ６，
且（ ０＋ｂ （ ）ａ一６ ＝Ｃ ， （ ） 则 Ａ ． 为直 角 ） ．
，
， Ｃ 的对 边 ，
形 一般 将 Ａ 角 标 注 为 Ｃ， 冈 而 有 的 同 学 就 习 惯 性 地 认 为 Ｃ 一定 表 永 Ａ 角 ， 之 对 术 题 所 给 条件 的 加 分 析 不 缜密 ． 导致错 误 ． 陔题 巾 的 条 件 应 转 化 为 ｎ 一６ ｒ ， 口ｎ ：ｃ ＝ Ｒ ＋ ｂ ． 据 这 一 公式 进 行 判 断 ． 根
罢 票
－ ） ｃ９ 南 定 得 ， １ ： ， 股 理 ｒ 当 ０ 勾 ｇ ￣（
ｃ： 、 ／ ：ｌ ０
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上 ，本 题并 没 有 ｝确 告 诉
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８ ． Ｂ ＝９ １即 Ｄ ．
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９
最 大 的傻 瓜 能 问 ｍ 远远 超 出最 Ｉ 的 人 所 能 回答 的 Ｉ 题 想明 ＇ ｉ ｉ ｌ
勾 股 定 理 易 日 Ｉ 勿 题剖ｌ ｔ Ｕ 错 口Ｙ 疋 木 斤
一
不 正 确 使 用 定 理 而 产 生 ：
例 １ 在△ Ｂ 中 ， Ａ＝９ 。ａ ｂ Ｃ分 别 是 Ｃ ０ ，，，
， Ｂ， Ｃ
错 解
： 对边 ． 的 ａ＝４ ｂ＝３ 求 Ｃ的 长 度 ． ， ．
— — — — — — —— ～ — — — — — — — — — — — — — — —— — —— — —— — ——
勾股定理易错题解析
勾股定理易错题解析作者：林学明来源：《中学生数理化·教与学》2017年第05期摘要：勾股定理是初中几何学习中重要的定理之一，体现了数形结合的思想方法.剖析勾股定理易错题，有助于加深学生对勾股定理的理解和掌握，也有助于提高学生的解题能力.关键词：勾股定理易错题一、审题不到位，受思维定式的干扰思维定式是人们受已有知识经验的影响，在分析和解决问题时，倾向于固定的思路和习惯.在解勾股定理题时，有些学生受思维定式的干扰和影响，审题不够严谨、到位，忽略题设条件，草率作答，从而导致错解产生.例1 已知直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边的长.错解：第三边得长为32+42=25=5.错因分析：有些学生由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，在解答时会不假思索地直接应用.在本题中，由于受思维定式的影响，未认真审题，直接套用了“勾三股四弦五”，从而导致错解.事实上，“勾三股四弦五”这一理解是存在前提条件的，即若两直角边为的长3和4时，斜边长为5，而在本题，并没有直接指明3和4一定为两直角边的长.所以，第三边有可能为直角边，也有可能为斜边.在解答时，需要分类讨论.解：（1）当两直角边的长为3和4时，第三边长为32+42=25=5.（2）当一直角边的长为3，斜边长为4时，第三边长为42-32=7.综上，第三边长为5或7.二、理解不透彻，勾股定理及其逆定理混淆清在解答勾股定理题时，有些学生对勾股定理及其逆定理的概念理解不透彻，往往将两者混淆起来，导致出现错解.例2 在A港有甲乙两艘轮船，若甲船沿北偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时20海里的速度前进，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，B、C两岛相差50海里.请问：乙船是沿哪个方向航行的？错解：甲船航行的距离为AB=15×2=30（海里），乙船航行的距离为AC=20×2=40（海里）.因为302+402=50（海里），且BC=50（海里），所以△ABC为直角三角形.所以∠BAC=90°.所以乙船是沿着南偏东60°方向航行.错因分析：本题解法虽然最终的判断结果是正确的，但是解题过程却存在错误.错误原因在于，勾股定理及其逆定理两者概念理解不透彻，混淆了勾股定理及其逆定理.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题没有给出明确的提示，需要我们对三角形做出判断.本题应运用勾股定理的逆定理进行求解.解：甲船航行的距离为AB=15×2=30（海里），乙船航行的距离为AC=20×2=40（海里）.因为302+402=2500，502=2500，AB2+ AC2= BC2，所以△ABC为直角三角形.所以∠BAC=90°所以乙船是沿着南偏东60°方向航行.三、分析不深入，以偏概全而造成漏解以偏概全错误是解数学题时比较常见的错误之一.在解勾股定理题时，有些学生分析不够深入，考虑不够全面，以偏概全，从而造成漏解，导致答案不完整.例3 在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的周长.错解：如图1，应用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.所以BC=BD+CD=16+9=25.所以△ABC的周长=AB+AC+BC=20+15+25=60.错因分析：上述解法犯了以偏概全错误，只考虑了三角形的高在形内的情况，遗漏了三角形高可能在形外这一情况，因而导致出现漏解，造成解题答案不完整.解：由用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.（1）若∠C是锐角（如图1），则BC=BD+CD=16+9=25，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=20+15+25=60.（2）若∠C是钝角（如图2），则BC=BD-CD=16-9=7，这时△ABC的周长=AB++BC+CA=20+7+15=52.故△ABC的周长为60或52.总之，在解勾股定理题时，错误是难以避免的，知错能改，善莫大焉.只要学生有恒心，有信心，善于找错、纠错，就能轻松掌握勾股定理.。
人教版初中数学勾股定理中的易错题辨析
勾股定理中的易错题辨析一、审题不仔细，受定势思维影响例 1 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=，则（ ）（A ）A ∠为直角;（B ）C ∠为直角; （C ）B ∠为直角; （D ）不是直角三角形 错解：选（B ）分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C ∠，因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=，即222a b c =+，因根据这一公式进行判断.正解：222a b c -=，∴222a b c =+.故选（A ）例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.错解：5==.分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.正解：（1）当两直角边为3和45；（2）当斜边为4，一直角边为3=.二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C （D 错解：选（B ）分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足222a b c +=的形式.正解：因为222+=，故选（C ） 例4 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海里）.34=（海里）且MP=34（海里）∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的. 分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若222a b c +=，则90C ∠=︒.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.正解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海里）.∵22216301156,341156+==，∴222BM BP MP +=，∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.。
专题02勾股定理(考题猜想,易错4个考点40题专练)解析版
专题02勾股定理（考题猜想，易错4个考点40题专练）易错点1没有明确斜边与直角边导致出错特别提醒：在直接三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论.易错点2对勾股数的理解出错特别提醒：勾股定理首先需要满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，其次必须是正整数，每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数，即同时扩大为原来的k （k 为正整数）倍，依然是勾股数.勾股定理勾股定理的逆定理 勾股数 勾股定理的应用一．勾股定理（共12小题）1．（2023春•岳池县期末）一个直角三角形的两条直角边分别长3和4，则斜边的长为()A B ．5C ．5D ．5或7【分析】根据勾股定理求解即可．【解答】解：∴直角三角形的两条直角边分别长3和4，∴5=．故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么222a b c +=．2．（2023春•鄂州期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm ，则图中所有正方形的面积的和是1922cm ．【分析】设图中正方形的面积分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，根据勾股定理得A B E +=，C D F +=，2864E F +==，从而解决问题．【解答】解：如图，设图中正方形的面积分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由勾股定理得，A B E +=，C D F +=，2864E F +==，∴图中所有正方形的面积的和2643192()cm ⨯=，故答案为：192．【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2023春•滑县月考）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，则S S +乙甲=S S +丙丁（填>，<或)=．【分析】连接AC ，分别在Rt ABC ∆和Rt ADC ∆中，利用勾股定理可得222AB BC AC +=，222AD CD AC +=，从而可得2222AB BC AD CD +=+，即可解答．【解答】解：连接AC ，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，222AB BC AC ∴+=，222AD CD AC +=，2222AB BC AD CD ∴+=+，S S S S ∴+=+乙甲丙丁，故答案为：=．【点评】本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2023春•潜江月考）已知a 的整数部分，2b c +=+，其中b 是整数，且01c <<，那么以a 、b 为两边的直角三角形的第三边的长度是【分析】先估算出的值的范围，从而可得2a =，再估算出2+从而可得4b =，1c =，然后分两种情况：当4b =为直角边时；当4b =为斜边时，分别利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：469<< ，23∴<<，∴的整数部分是2，2a ∴=，23<< ，425∴<+<，2b c +=+，其中b 是整数，且01c <<，4b ∴=，242c =+-=-，分两种情况：当4b =为直角边时，∴第三边的长度===；当4b=为斜边时，∴第三边的长度===综上所述：第三边的长度是或，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，分两种情况讨论是解题的关键．5．（2023春•江门校级期中）两根木条的长度分别是4cm和5cm，再添加一根木条，钉成一个直角三角形木架，则所添加木条的长度可以是或3cm．【分析】分两种情况分别利用勾股定理列式计算即可：添加的木条作为斜边；添加的木条作为直角边．)cm=；3()cm=或3cm．【点评】本题考查了勾股定理在计算中的应用，明确勾股定理并分类计算是解题的关键．6．（2022春•铁东区校级期中）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，3BC=，1AC=，AB的垂直平分线DE 交BC于点D，连接AD，则CD的长为43．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA DB=，从而可设DA DB x==，则3CD BC BD x=-=-，然后在Rt ACD∆中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：DE是AB的垂直平分线，DA DB∴=，设DA DB x==，3BC=，3CD BC BD x∴=-=-，90C∠=︒，222AC CD AD∴+=，2221(3)x x∴+-=，解得：53x =，433CD x ∴=-=，故答案为：43．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．（2023春•甘井子区校级月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，若3AD =，5BC =，则22AB CD +=34．【分析】根据“垂美”四边形的定义得到BD AC ⊥，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解： 四边形ABCD 为“垂美”四边形，BD AC ∴⊥，90AEB AED BEC DEC ∴∠=∠=∠=∠=︒，在Rt AED ∆中，2229AE DE AD +==，在Rt BEC ∆中，22225BE CE BC +==，222292534AE DE BE CE ∴+++=+=，在Rt AEB ∆中，222AE BE AB +=，在Rt CED ∆中，222CE DE CD +=，22222292534AB CD AE DE BE CE ∴+=+++=+=，故答案为：34．【点评】本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．8．（2023春•张店区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别是x 轴正半轴和y 轴正半轴上的动点，连接AB ，作AB 的中点P ，在x 轴和y 轴上分别取点(4,0)C ，(0,6)D ，连接CP ，DP ．若4AB =，2CP DP m +=，则m 的最小值为【分析】如图，在OA 上取一点J ，使得1OJ =，连接PJ ，OP ，DJ ．构造相似三角形解决问题．【解答】解：如图，在OA 上取一点J ，使得1OJ =，连接PJ ，OP ，DJ ．(4,0)C ，(0,6)D 4OC ∴=，6OD =，90AOB ∠=︒ ，4AB =，PB PA =，122OP AB ∴==，2OP OJ OC ∴=⋅，∴OP OC OJ OP=，POJ COP ∠=∠ ，POJ COP ∴∆∆∽，∴12PJ OP PC DO ==，2PC PJ ∴=，22()2m CP PD PJ PD DJ ∴=+=+，226137DJ =+= 237m ∴，m ∴的最小值为37故答案为：237【点评】本题主要考查了勾股定理的知识、二次根式的知识，有一定的难度．9．（2023春•岳麓区期中）如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的三边为边向外作正方形ACDE ，正方形CBGF ，正方形AHIB ，P 是HI 上一点，记正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为1S ，2S ，若116S =，225S =，则四边形ACBP 的面积等于18.5．【分析】根据正方形的面积公式可得：4AC =，5AB AH ==，然后在Rt ABC ∆中，利用勾股定理求出BC 的长，最后根据四边形ACBP 的面积ABC =∆的面积ABP +∆的面积，进行计算即可解答．【解答】解： 正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为1S ，2S ，116S =，225S =，4AC ∴=，5AB AH ==，90ACB ∠=︒ ，3BC ∴===，∴四边形ACBP 的面积ABC =∆的面积ABP +∆的面积1122AC BC AB AH =⋅+⋅11435522=⨯⨯+⨯⨯612.5=+18.5=，故答案为：18.5．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2023春•海淀区校级期中）如图所示的边长为1的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A 到边BC 的距离等于13．【分析】先用割补法求出三角形的面积、BC边的长，再利用三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点A到边BC的距离等于h，ABC∆的面积111 535122336222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，BC=，12BC h ABC⋅=∆的面积，13h∴==．故答案为：626 13．【点评】本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式，网格中图形面积的计算．熟练利用面积法是解题的关键．11．（2023秋•邳州市期中）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，4AC=，3BC=，将ABC∆扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为3或76或2．【分析】分三种情况讨论：①当AD AB=时，容易得出CD的长；②当AD BD=时，设CD x=，则3AD x=+，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当BD AB=时，由勾股定理求出AB，即可得出CD的长．【解答】解：分三种情况：①如图1所示：当AD AB=时，由AC BD⊥，可得3CD BC==；②如图2所示：当AD BD=时，设CD x=，则3AD x=+，在Rt ADC∆中，由勾股定理得：222(3)4x x+=+，解得：76 x=，76CD∴=；③如图3所示：当BD AB=时，在Rt ABC∆中，5AB==，5BD∴=，532CD∴=-=；综上所述：CD的长为3或76或2．故答案为：3或76或2．【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．12．（2023春•金安区校级期末）如图，在ABC ∆中，15AB =，14BC =，13AC =，求ABC ∆的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD BC ⊥于D ，设BD x =，用含x 的代数式表示CD ，则CD =14x -；（2）请根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”建立方程，并求出x 的值；（3）利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形的面积．【分析】（1）直接利用BC 的长表示出DC 的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x 的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1）14BC = ，BD x =，14DC x ∴=-，故答案为：14x -；（2）AD BC ⊥ ，222AD AC CD ∴=-，222AD AB BD =-，222213(14)15x x ∴--=-，解得：9x =；（3）由（2）得：12AD ===，1114128422ABC S BC AD ∆∴=⋅⋅=⨯⨯=．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD 的长是解题关键．二．勾股定理的逆定理（共15小题）13．（2023秋•鼓楼区校级期末）以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是()A ．2，3，4B ．6，8，9C ．1，2D ．5，12，13【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222313+= ，2416=，222234∴+≠，∴不能构成直角三角形，故A 不符合题意；B 、2268100+= ，2981=，222689∴+≠，∴不能构成直角三角形，故B 不符合题意；C 、22215+= ，27=，22221∴+≠，∴不能构成直角三角形，故C 不符合题意；D 、22512169+= ，213169=，22251213∴+=，∴能构成直角三角形，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．14．（2023春•福田区校级期末）满足下列条件时，ABC ∆不是直角三角形的是()A ．AB =，4BC =，5AC =B ．::3:4:5AB BC AC =C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．1123A B C ∠=∠=∠【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论．【解答】解：A 、22254251641+=+== ，ABC ∴∆是直角三角形，不合题意；B 、222222(3)(4)91625(5)x x x x x +=+== ，ABC ∴∆是直角三角形，不合题意；C 、::3:4:5A B C ∠∠∠= ，51807590345C ∴∠=⨯︒=︒≠︒++，ABC ∴∆不是直角三角形，符合题意；D 、1123A B C ∠=∠=∠ ，90C ∴∠=︒，30A ∠=︒，60B ∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形，不合题意；故选：C ．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．15．（2023春•保山期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A ．三个内角之比为1:2:3B ．三条边长分别为1，2C ．三条边长之比为3:4:5D ．三个内角之比为3:4:5【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、 三个内角之比为1:2:3，三角形内角和是180︒，∴三个内角分别为30︒，60︒，90︒，∴此三角形是直角三角形，故A 不符合题意；B 、2214+= ，224=，22212∴+=，∴此三角形是直角三角形，故B 不符合题意；C 、 三条边长之比为3:4:5，∴设三条边分别为3a ，4a ，5a ，222(3)(4)25a a a += ，22(5)25a a =，222(3)(4)(5)a a a ∴+=，∴此三角形是直角三角形，故C 不符合题意；D 、 三个内角之比为3:4:5，三角形内角和是180︒，∴三个内角分别为45︒，60︒，75︒，∴此三角形不是直角三角形，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．16．（2023春•长寿区期末）若ABC ∆的三边长为a ，b ，c ，则下列不是直角三角形的是()A ．6a =，7b =，8c =B ．1a =，b =，c =C ． 1.5a =，2b =， 2.5c =D ．3a =，4b =，5c =【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、22226785a b +=+= ，22864c ==，222a b c ∴+≠，ABC ∴∆不是直角三角形，故A 符合题意；B 、22221(2)3a c +=+= ，22(3)3b ==，222a c b ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，故B 不符合题意；C 、22221.52 6.25a b +=+= ，222.5 6.25c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，故C 不符合题意；D 、22223425a b +=+= ，22525c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，故D 不符合题意；故选：A ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．17．（2023春•汕尾期末）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，则ABC ∠是()A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．无法确定【分析】连接AC ，根据勾股定理的逆定理可证ABC ∆是直角三角形，从而可得90ABC ∠=︒，即可解答．【解答】解：连接AC ，由题意得：222125AB =+=，222125CB =+=，2221310AC =+=，222AB BC AC ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90ABC ∴∠=︒，故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2023秋•环翠区期末）在下列条件：①A B C ∠+∠=∠；②90A B ∠-∠=︒；③::1:310AB AC BC =④2()()AC BC AC BC AB +-=中，能确定ABC ∆是直角三角形的条件有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：①A B C ∠+∠=∠ ，180A B C ∠+∠+∠=︒，2180C ∴∠=︒，90C ∴∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形；②90A B ∠-∠=︒ ，90A B ∴∠=︒+∠，ABC ∴∆不是直角三角形；③::1:310AB AC BC = ，∴设AB a =，则3AC a =，10BC a =，22222(3)10AB AC a a a +=+= ，222(10)10BC a a ==，222AB AC BC ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形；④2()()AC BC AC BC AB +-= ，222AC BC AB ∴-=，222AC AB BC ∴=+，ABC ∴∆是直角三角形；所以，上列条件，能确定ABC ∆是直角三角形的条件有3个，故选：C ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．19．（2023春•绥江县期中）在ABC ∆中，点D 在直线AB 上，且222AD CD AC +=，则下列结论正确的是()A ．90ACB ∠=︒B ．90BCD ∠=︒C ．90BDC ∠=︒D ．90CAD ∠=︒【分析】根据勾股定理的逆定理，即可解答．【解答】解：如图：222AD CD AC += ，ADC ∴∆是直角三角形，90ADC ∴∠=︒，点D 在直线AB 上，18090BDC ADC ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．20．（2023春•蚌山区月考）已知a ，b ，c 是ABC ∆的三条边，满足下列条件仍不能判断ABC ∆是直角三角形的是()A ．222b c a -=B ．::5:12:13a b c =C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．C A B∠=∠-∠【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222b c a -= ，222b a c ∴=+，ABC ∴∆是直角三角形，故A 不符合题意；B 、::5:12:13a b c = ，∴设5a k =，则12b k =，13c k =，222169a b k += ，22169c k =，222a b c ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，故B 不符合题意；C 、::3:4:5A B C ∠∠∠= ，180A B C ∠+∠+∠=︒，518075345C ∴∠=︒⨯=︒++，ABC ∴∆不是直角三角形，故C 符合题意；D 、C A B ∠=∠-∠ ，C B A ∴∠+∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒ ，2180A ∴∠=︒，90A ∴∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形，故D 不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．21．（2023春•西乡塘区校级月考）如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AB =，BC =7CD =，24AD =，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，根据垂直定义可得90ABC ∠=︒，然后在Rt ABC ∆中，利用勾股定理求出AC 的长，再利用勾股定理的逆定理证明ADC ∆是直角三角形，从而可得90ADC ∠=︒，最后根据四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ADC +∆的面积，进行计算即可解答．【解答】解：连接AC ，AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，105AB = 55BC =2222(105)(55)25AC AB BC ∴=++，7CD = ，24AD =，2222724625AD CD ∴+=+=，2225625AC ==，222AD CD AC ∴+=，ADC ∴∆是直角三角形，90ADC ∴∠=︒，∴四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ADC +∆的面积1122AB BC AD DC =⋅+⋅111055524722=⨯+⨯⨯12584=+209=，∴四边形ABCD 的面积为209．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．22．（2023春•巨野县期中）如图所示，是一块地的平面图，其中4AD =米，3CD =米，13AB =米，12BC =米，90ADC ∠=︒，求这块地的面积．【分析】连接AC ，在Rt ACD ∆中，利用勾股定理求出AC 的长，然后利用勾股定理的逆定理证明ABC ∆是直角三角形，从而可得90ACB ∠=︒，最后根据这块地的面积ABC =∆的面积ADC -∆的面积，进行计算即可解答．【解答】解：连接AC ，90ADC ∠=︒ ，4AD =米，3CD =米，2222345AC CD AD ∴=+=+=（米)，13AB = 米，12BC =米，2222512169AC BC ∴+=+=，2213169AB ==，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90ACB ∴∠=︒，∴这块地的面积ABC =∆的面积ADC -∆的面积1122AC BC CD AD =⋅-⋅115123422=⨯⨯-⨯⨯306=-24=（平方米），∴这块地的面积为24平方米．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（2023春•思明区校级期中）如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，已知52AB =5AD =，17BC =，12DC =，求边AC 的长．【分析】根据已知可得5BD =，然后利用勾股定理的逆定理证明ABD ∆是直角三角形，从而可得90ADB ∠=︒，进而可得90ADC ∠=︒，然后在Rt ADC ∆中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：17BC = ，12DC =，17125BD BC CD ∴=-=-=，52AB = ，5AD =，22225550AD BD ∴+=+=，22(52)50AB ==，222AD BD AB ∴+=，ABD ∴∆是直角三角形，90ADB ∴∠=︒，18090ADC ADB ∴∠=︒-∠=︒，222251213AC AD CD ∴=+=+=，AC ∴的长为13．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．24．（2023春•玉州区期中）如图，四边形ABCD 中，25AB =45BC =6AD =，8CD =，90B ∠=︒．（1）直接写出AC 的长为10；（2）求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）连接AC ，在Rt ABC ∆中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）先利用勾股定理的逆定理证明ACD ∆是直角三角形，再利用四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ADC +∆的面积进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接AC ，25AB = ，5BC =，90B ∠=︒，2222(25)(45)10AC AB BC ∴=++，故答案为：10；（2）6AD = ，8CD =，10AC =，222268100AD CD ∴+=+=，2210100AC ==，222AD CD AC ∴+=，ACD ∴∆是直角三角形，90D ∴∠=︒，∴四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ADC +∆的面积1122AB BC AD CD =⋅+⋅112556822=⨯+⨯⨯2024=+44=，∴四边形ABCD 的面积为44．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．25．（2023春•兰山区期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的顶点均在格点上．（Ⅰ）直接写出线段AC 、CD 、AD 的长；（Ⅱ）求ACD ∠的度数；（Ⅲ）求四边形ABCD 的面积．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理，进行计算即可解答；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答；（Ⅲ）根据四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ACD +∆的面积，进行计算即可解答．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：222425AC =+=，22125CD =+=，22345AD =+=，∴线段AC 的长为25，线段CD 5，线段AD 的长为5；（Ⅱ）由（1）得：22(25)20AC ==，22(5)5CD ==，22525AD ==，222AC CD AD ∴+=，ACD ∴∆是直角三角形，90ACD ∴∠=︒，ACD ∴∠的度数为90︒；（Ⅲ）如图：由题意得：四边形ABCD 的面积ABC =∆的面积ACD +∆的面积1122BC AE AC CD =⋅+⋅114422=⨯⨯+⨯85=+13=，∴四边形ABCD 的面积为13．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．26．（2023春•张北县期末）如图，AD 是ABC ∆的中线，DE AC ⊥于点E ，DF 是ABD ∆的中线，且2CE =，4DE =，8AE =．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求DF 的长．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明ADC ∆是直角三角形，即可得出ADC ∠是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）DE AC ⊥ 于点E ，90AED CED ∴∠=∠=︒，在Rt ADE ∆中，90AED ∠=︒，222228480AD AE DE ∴=+=+=，同理：220CD =，22100AD CD ∴+=，8210AC AE CE =+=+= ，2100AC ∴=，222AD CD AC ∴+=，ADC ∴∆是直角三角形，90ADC ∴∠=︒；（2）AD 是ABC ∆的中线，90ADC ∠=︒，AD ∴垂直平分BC ，10AB AC ∴==，在Rt ADB ∆中，90ADB ∠=︒，点F 是边AB 的中点，152DF AB ∴==．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．27．（2023春•武昌区期中）如图，在四边形ABCD 中，已知90B ∠=︒，30ACB ∠=︒，3AB =，10AD =，8CD =．（1）求证：ACD ∆是直角三角形；（2）求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到26AC AB ==，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到BC =【解答】（1）证明：在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30ACB ∠=︒，3AB =，26AC AB ∴==，在ACD ∆中，6AC =，8CD =，10AD =，2228610+= ，即222AC CD AD +=，90ACD ∴∠=︒，即ACD ∆是直角三角形；（2）解：在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，6AC =，BC ∴==，Rt ABC ∴∆的面积为11322AB BC ⋅⋅=⨯⨯又Rt ACD ∆ 的面积为11862422AC CD ⋅⋅=⨯⨯=，∴四边形ABCD 的面积为：93242+．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．三．勾股数（共2小题）28．（2023秋•衡阳期末）勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，满足这个方程的正整数解(a ，b ，)c 通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，⋯．分析上面勾股数组可以发现，41(31)=⨯+，122(51)=⨯+，243(71)=⨯+，⋯分析上面规律，第5个勾股数组为(11，60，61)．【分析】由勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)⋯中，41(31)=⨯+，122(51)=⨯+，243(71)=⨯+，⋯可得第5组勾股数中间的数为：5(111)60⨯+=，进而得出(11，60，61)．【解答】解：由勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)⋯中，41(31)=⨯+，122(51)=⨯+，243(71)=⨯+，⋯可得第4组勾股数中间的数为4(91)40⨯+=，即勾股数为(9，40，41)；第5组勾股数中间的数为：5(111)60⨯+=，即(11，60，61)，故答案为：(11，60，61)．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．29．（2022春•西山区期末）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琪同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当18a =时，b c +的值为()a 68101214⋯b815243548⋯c 1017263750⋯A ．242B ．200C ．188D ．162【分析】根据表格中数据确定a 、b 、c 的关系，然后再代入18a =求出b 、c 的值，进而可得答案．【解答】解：根据表格中数据可得：222a b c +=，并且2c b =+，则222(2)a b b +=+，当18a =时，22218(2)b b +=+，解得：80b =，则80282c =+=，则162b c +=．故选：D ．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a 、b 、c 的数量关系．四．勾股定理的应用（共11小题）30．（2023春•怀柔区期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，1号舰沿东偏南60︒方向以9节(1节1=海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60︒方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A ，B 两点，此时两舰的距离是()A ．9海里B ．12海里C ．15海里D ．30海里【分析】根据题意可得：18AO =海里，24BO =海里，60AOE ∠=︒，60COB ∠=︒，90EOC ∠=︒，从而可得30AOC ∠=︒，然后利用角的和差关系可得90AOB ∠=︒，从而在Rt AOB ∆中，利用勾股定理求出AB 的长，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：2918AO =⨯=（海里），21224BO =⨯=（海里），60AOE ∠=︒，60COB ∠=︒，90EOC ∠=︒，30AOC EOC EOA ∴∠=∠-∠=︒，90AOB AOC BOC ∴∠=∠+∠=︒，在Rt AOB ∆中，2222182430AB AO OB =+=+=（海里），∴此时两舰的距离是30海里，故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．31．（2023春•新抚区期中）小莉在秀美安顺的某风景处划船结束后，如图，在离水面高度为5m 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13m ，此人以0.5/m s 的速度收绳．10s 后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【解答】解： 在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，13BC m =，5AC m =，2213512()AB m ∴=-=，此人以0.5/m s 的速度收绳，10s 后船移动到点D 的位置，130.5108()CD m ∴=-⨯=，22228539()AD CD AC m ∴=-=-=，(1239)BD AB AD m ∴=-=-．答：船向岸边移动了(1239)m ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，正确理解图形．领会数形结合的思想的应用．32．（2023春•巴东县月考）【问题背景】勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法【定理表述】（1）用文字语言叙述勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=【定理证明】（2）以图1中的直角三角形为基础，延长BE 到点C ，使CE a =，过点C 作：CD CE ⊥，使CD b =，连接DE ，AD （如图2)，则AE DE ⊥，AD =，四边形ABCD 是以a 为底、()a b +为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．【定理应用】（3）当a b ≠时，利用图2，可以证明a b +<．证明步骤如下：如图3，过点A 作AF CD ⊥于点F ，则AF AD <，90AFC ∠=︒，又，90ABC BCF ∠=∠=︒，∴四边形ABCF 为，AF ∴=，BC ∴AD ，又BC a b =+ ，AD =，a b ∴+<．【分析】【定理表述】（1）由勾股定理得出结论；【定理证明】（2）利用SAS 可证ABE ECD ∆≅∆，可得对应角相等，结合90︒的角，可证90AED ∠=︒，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证222a b c +=；【定理应用】（3）根据题干中的过程及矩形的性质可直接得出结论．【解答】【定理表述】（1）解：如果直角三角形的两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．故答案为：如果直角三角形的两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．【定理证明】（2）证明：Rt ABE Rt ECD ∆≅∆ ，AEB EDC ∴∠=∠；又90EDC DEC ∠+∠=︒ ，90AEB DEC ∴∠+∠=︒；90AED ∴∠=︒；Rt ABE Rt DEC Rt AED ABCD S S S S ∆∆∆∴=++梯形，∴21111()()2222a b a b ab ab c ++=++，即2221111(2)2222a ab b ab abc ++=++，整理得222a b c +=．【定理应用】（3）如图3，过点A 作AF CD ⊥于点F ，则AF AD <，90AFC ∠=︒，又，90ABC BCF ∠=∠=︒，∴四边形ABCF 为矩形，AF BC ∴=，BC AD ∴<，又BC a b =+ ，AD =，a b ∴+<．故答案为：矩形；BC ；<．【点评】本题考查了勾股定理的应用，涉及全等三角形的判定和性质，矩形的性质，面积分割法，勾股定理等知识．熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键．33．（2023春•岳池县期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC CD ⊥，现测得6AB CD dm ==，3BC dm =，9AD dm =，其中AB 与BD 之间由一个固定为90︒的零件连接（即90)ABD ∠=︒，通过计算说明该车是否符合安全标准．【分析】在Rt ABD ∆中，由勾股定理求出BD ，在BCD ∆中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可．【解答】解：在Rt ABD ∆中，222229645BD AD AB =-=-=，在BCD ∆中，22223645BC CD +=+=，222BC CD BD ∴+=，90BCD ∴∠=︒，BC CD ∴⊥．故该车符合安全标准．【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解决问题的关键．34．（2023春•久治县期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A 地分别向C 、D 、B 三地修了三条笔直的公路AC 、AD 和AB ，C 地、D 地、B 地在同一笔直公路上，公路AC 和公路CB 互相垂直，又从D 地修了一条笔直的公路DH 与公路AB 在H 处连接，且公路DH 和公路AB 互相垂直，已知9AC =千米，15AB =千米，5BD =千米．（1）求公路CD 、AD 的长度；（2）若修公路DH 每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH 的费用．【分析】（1）根据勾股定理得出2212BC AB AC -=千米，再求出7CD =千米，然后根据勾股定理即可得出答案；（2）根据面积相等得出1122ABD S BD AC AB DH ∆=⋅=⋅，即可得出答案．【解答】解：（1）90C ∠=︒ ，9AC =千米，15AB =千米，∴12BC =千米，5BD = 千米，7CD ∴=千米，∴AD 千米；（2）DH AB ⊥ ，∴1122ABD S BD AC AB DH ∆=⋅=⋅，解得：3DH =千米，∴修建公路DH 的费用为320006000⨯=（万元）．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．35．（2023春•防城港期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C ，再测量绳子底端C 与旗杆根部B 点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度AB 为x 米，通过计算即可求得旗杆的高度．（1）依题知BC =5米，用含有x 的式子表示AC 为米；（2）请你求出旗杆的高度．【分析】（1）根据“测量绳子底端C 与旗杆根部B 点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x 米，则绳子的长度为(1)x +米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：（1）根据题意知：5BC =米，(1)AC x =+米．故答案为：5；(1)x +；（2）在直角ABC ∆中，由勾股定理得：222BC AB AC +=，即2225(1)x x +=+．解得12x =．答：旗杆的高度为12米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．36．（2023春•镇江期末）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m ，圆盘半径为50m ．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P 时，小丽到点Q ，此时90POQ ∠=︒，且小丽距离地面20m ．（1）OCP ∆与QDO ∆全等吗？为什么？（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．【分析】（1）分别证明90QDO OCP ∠=∠=︒，Q COP ∠=∠，即可利用AAS 证明OCP QDO ∆≅∆；（2）由全等三角形的性质可得QD OC =，再根据线段之间的关系求出40OD m =，进而利用勾股定理求出30OC QD m ==，则10CD OD OC m =-=，由此可得两人所在座舱距离地面的高度差为10m ．【解答】解：（1）OCP QDO ∆≅∆，理由如下：QD BD ⊥ ，PC BD ⊥，90QDO OCP ∴∠=∠=︒，90POQ ∠=︒ ，90DOQ Q DOQ COP ∴∠+∠=︒=∠+∠，Q COP ∴∠=∠，。
《勾股定理》易错题集用
《勾股定理》易错题集选择题1、工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A、80cmB、错误！未找到引用源。
C、80cm或错误！未找到引用源。
D、60cm考点：勾股定理的应用。
分析：可将截取的钢条做为直角边或斜边，然后根据勾股定理，计算出钢条的长度，看其是否符合题意．解答：解：将钢条看作直角边，则钢条长度l2+3600=10000，得到l=80（cm），将钢条看作斜边，则l2=3600+10000，所以l=错误！未找到引用源。
＞90cm，不合题意；故选A．点评：本题主要考查对于勾股定理的应用，要注意钢条的长度是否符合题意．2、现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A、错误！未找到引用源。
米B、错误！未找到引用源。
米C、错误！未找到引用源。
米或错误！未找到引用源。
米D、错误！未找到引用源。
米考点：勾股定理的应用。
专题：分类讨论。
分析：分两种情况讨论：①第三根铁棒的长为斜边；②第三根铁棒的长为直角边．解答：解：①第三根铁棒为斜边时，其长度为：错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
米；②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
米．故选C．点评：本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A、30厘米B、40厘米C、50厘米D、以上都不对考点：勾股定理的应用。
分析：由于不明确直角三角形的斜边，故应分两种情况讨论．解答：解：此题要分两种情况：（1）当50是直角边时，所需木棒的长是错误！未找到引用源。
=10错误！未找到引用源。
；（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30．故选D．点评：解答此题的关键是运用勾股定理解答，注意此题的两种情况．4、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A、6cmB、12cmC、13cmD、16cm考点：平面展开-最短路径问题。
八年级下学期数学解题常见错误分析——以勾股定理为例
八年级下学期数学解题常见错误分析——以勾股定理为例八年级下学期数学解题错误的类型较为复杂,具体分为书写错误、思路错误等。
对于初中生来说,要快速、精准地完成解题任务,必须提高审题准确性,锁定数学解题目标。
正确理解题意、合理选择解题方法,这是实现精准解题的基本前提条件。
勾股定理的数学问题并不复杂,但由于审题疏忽、计算错误,学生很容易解题出现错误。
合理调整数学解题方法,整合数学知识点,才能提升八年级下学期数学解题的精准度。
一、八年级下学期数学解题错误常见原因分析(一)曲解题意精准审题是解决数学问题的基本前提条件。
学生对于题干信息的理解反映了学生的基本信息搜集素养。
只有快速掌握解题要求,提出解题方向,学生才能有效应用数学知识解决问题。
但从教学情况来看,存在学生曲解题意的问题,部分学生在解题过程中,并没有正确理解相关信息,未能整合出具体的数学解题思路,对于问题产生错误理解,导致学生无法应用数学信息处理问题。
(二)方法不当数学经验可以帮助学生快速、准确地解决数学问题。
但需要强调的是,小学数学教学与中学数学教学之间存在着本质上的差别,从教学特点进行分析,小学数学强调的是学生基础计算能力、信息搜集能力的培养,解题方式较为单一;而在八年级下学期的数学解题活动中,学生需要对问题中的关键知识进行应用,形成逻辑性思维与数学推理能力。
受小学的计算经验影响,在解题的过程中,学生使用代入数值、假设猜测等错误的学习方法,解题效率低,学生形成思维惯性,数学解题误区也随之增多。
(三)产生前后知识冲突在解题的过程中,学生产生知识冲突,混淆数学概念与定理,导致学生无法精准解题。
以勾股定理的有关问题为例,其按照“勾三股四弦五”的基本思路设计问题,但受到其他数学知识的干扰,学生很容易将问题理解成“对三角形的探究”,从而形成错误思路导致解题方向上出现错误。
二、解决策略(一)预防错误,教师讲解要有针对性针对八年级下学期数学解题常见错误开展教学工作,要以“预防错误”为切入点,帮助学生在解题、学习的过程中掌握错误出现的原因、解决出错的有效方法,以此来提升初中生的数学解题能力。
中考数学总复习知识点专题讲解9---勾股定理典型易错题分析
A D
B
C
图 4-1
4 / 12
CD＝AC－AD＝2，
∴在 Rt△BCD 中，由勾股定理得：
BC＝
＝
＝2 ；
②等腰△ABC 为钝角三角形时，如图 4-2 所示：
D A
B
C
图 4-2
CD＝AC＋AD＝8，
∴在 Rt△BCD 中，由勾股定 理得：
BC＝
图 11-2 ∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°， ∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC =360°﹣45°﹣45°﹣105° =165°. ∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB =165°﹣105° =60°. 即△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形， ∵AD=2，
2 ∴AE=DE= AD = 2 ，
2 ④等腰直角三角形腰长是底边长的 倍，底边长是腰长的 2 倍；
2 ⑤含 30 度角的直角三 角形，长直角边是短直角边的 3 倍. 下面我们就一些典型例题加以说明. 题 1. 若直角三角形的三边长分别为 x，6，8，则 x2=_______． 【答案】100 或 28 【解析】没有区分所给的两边是直角边还是斜边，因为题目中没有给出明确的条件， 对此类问题应该分类讨论. （1）长为 6 和 8 的边都是直角边时，x2=100； （2）长为 6 的边是直角边，长为 8 的边是斜边时，x2=28.
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】D. 【解析】解：分别求出点 A 与 C 到 BD 的距离，然后与 1 比较即可. 过点 A 作 AE⊥BD 于 E，过点 C 作 CF⊥BD 于 F，如图 7-2 所示.
图 7-2 ∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= 6 ，CD= 3 ， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°， ∴△ABE 和△CDF 是等腰直角三角形，
八年级数学上册 第三章 勾股定理 勾股定理中的易错题辨析素材 苏科版(2021学年)
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勾股定理中的易错题辨析一、审题不仔细，受定势思维影响例1 在△AＢC中，,,∠∠∠的对边分别为,,a b c，且2A B Ca b a b c+-=，则（)()()(A)A∠为直角∠为直角(B)C(C)B∠为直角(D)不是直角三角形错解:选（B)分析:因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为C∠,因而有同学就习惯性的认为C∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误．该题中的条件应转化为222=+,因根据这一公式进行判断。
a b ca b c-=，即222正解：222a b c=+.故选(A)-=，∴222a b c例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.==。
5分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法,即意味着两直角边为3和4时，斜边长为５。
但这一理解的前提是3、4为直角边。
而本题中并未加以任何说明,因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．正解：(1)当两直角边为3和4时，第三边长为==;5（２）当斜边为4,一直角边为3时，第三边长为=二、概念不明确,混淆勾股定理及其逆定理例3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是()(A）1、２、3 (B)2223,4,5(C D)错解：选(B）分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理,对概念的理解流于表面形式．判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足222a b c +=的形式。
勾股定理常见错解剖析
勾股定理常见错解剖析江苏 刘 顿勾股定理是我们研究几何的重要定理之一，是勾通代数与几何的桥梁，所以，同学们一定要认真学好．但仍有不少同学在运用勾股定理解题时，因缺乏慎重考虑，时常出现错解现象，为了方便同学们学习，现就常见错误说明如下：一、忽视利用勾股定理解题的格式例1 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15cm ，BC ＝12cm ，求AC 的长．错解 在Rt △ABC 中，因为∠C ＝90°，AB ＝15cm ，BC ＝12cm ，所以由勾股定理，得AB 2＝AC 2+BC 2，所以AC2＝AB 2－BC 2＝221512-＝81＝9．即AC 的长是9cm ． 剖析 AC 的长确实是9cm ，不过问题出在求解过程中的格式书写不当，即AC 2＝AB 2－BC 2≠221512-． 正解 在Rt △ABC 中，因为∠C ＝90°，AB ＝15cm ，BC ＝12cm ，所以由勾股定理，得AB 2＝AC 2+BC 2，所以AC ＝22AB BC -＝221512-＝81＝9．即AC 的长是9cm ．二、忽视勾股定理的存在条件例2 已知在△ABC 中，若AB ＞BC ＞AC ，且AB ＝10，BC ＝8．试求偶数AC 的长．错解 在△ABC 中，因为AB ＞BC ＞AC ，所以AB 是斜边，所以由勾股定理，得AB 2＝AC 2+BC 2，即AC 2＝AB 2－BC 2，又因为AB ＝10，BC ＝8，所以AC ＝22AB BC -＝22108-＝6，即偶数AC 的长是6．剖析 勾股定理适用的范围必须是在直角三角形中才能成立．然而本题中并没有说明是直角三角形，所以不能利用勾股定理求解．根据题设条件可以利用三角形的三边关系求解．解 在△ABC 中，因为AB ＝10，BC ＝8，所以2＜AC ＜18，又BC ＞AC ，所以2＜AC ＜8，而AC 是偶数，所以AC 只能取4或6．三、忽视对直角三角形边的分类讨论例3 已知一个直角三角形的两条边是3cm 和4cm ，求第三条边的长．错解 因为直角三角形的两条边是3cm 和4cm ，所以由勾股定理，得第三条边，即斜边是2234+＝25＝5，即第三条边的长是5cm ．剖析 受勾3股4的影响，误以为已知的3cm 和4cm 就是两条直角边，求第三条边的长就是斜边，当然是5了．事实上，这里也并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm 可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．正解 在直角三角形中，若3cm 和4cm 两条直角边，所以由勾股定理，得斜边＝2234+＝25＝5，即第三条边的长是5cm ．在直角三角形中，若3cm 是直角边，4cm 是斜边，则由勾股定理，得另一条直角边＝2243-＝7，即第三条边的长是7cm ．故第三条边的长是5cm 或7cm ．四、忽视对图形中高的分类讨论例4 已知：在△ABC 中，AB ＝15cm ，AC ＝13cm ，高A D ＝12cm ，求S △ABC ．错解 如图1，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中，分别由勾股定理，得BD ＝22AB AD -＝221512-＝81＝9；CD ＝22AC AD -＝221312-＝25＝5．所以BC ＝BD + CD ＝9+5＝14．故S △ABC ＝12BC ·A D ＝12×14×12＝84（cm 2）．剖析 由于给定的条件中并没有给出图形，所以求解时除了要考虑如图1的情况外，还要考虑如图2的情况．即要画出所有可能的图形．错解时正是漏掉了如图2的情形．正解 分两种情况：①如图1，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中，分别由勾股定理，得BD ＝22AB AD -＝221512-＝81＝9；CD ＝22AC AD -＝221312-＝25＝5．所以BC ＝BD + CD ＝9+5＝14．故S △ABC ＝12BC ·A D ＝12×14×12＝84（cm 2）；②如图2，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，分别由勾股定理，得BD ＝22AB AD -＝221512-＝81＝9；CD ＝22AC AD -＝221312-＝25＝5．所以BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．故S △ABC ＝12BC ·A D ＝12×4×12＝24（cm 2）． 五、忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论例5 已知：等腰三角形中，一边长是6cm ，另一边是8cm ，求一腰上的高．错解 如图3，作BD ⊥AC 于D ，则在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD )2，所以82－AD 2＝62－(8－AD )2，即AD ＝234，所以BD ＝22AB AD -＝222384⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3554．剖析 对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因可能是只对图3中的一种情况计算，而忽视了如图4的情形．正解 分两种情况讨论：①若以6cm 为底，8cm 为腰，则如图3，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD )2，所以82－AD 2＝62－(8－AD )2，即AD ＝234，所以D C B A图1 图2 C D B A 8 图3 A D C B 6 图4 B D C 6 8 ABD ＝22AB AD -＝222384⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3554；②若以8cm 为底，6cm 为腰，则如图4，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD )2，所以62－AD 2＝82－(6－AD )2，即AD ＝23，所以BD ＝22AB AD -＝22263⎛⎫- ⎪⎝⎭＝85．。
勾股定理及其逆定理易错点剖析
关于勾股定理的几个误区示例一、主观确定斜边例1 已知直角三角形的三边长分别是3,4, x ,则x =_______________. 错解:由勾股定理,得23+24=2x ,∴x =5.错解分析:这种解法是将x 当成斜边,事实上,本题没有指明x 与4的大小关系,因此长度为4的边可能是直角边,也可能是斜边,应分两种情况讨论.正解:当x 为斜边时,同错解.当4为斜边时,由勾股定理,得x,∴x =5答案：5二、忽略题目中的隐含条件例2 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°, a =5, b =12,求c 边的长.错解: ∵△ABC 是直角三角形,∴222a b c +=,即222512c +=,解得c =13. 错解分析：这种解法忽略了题目中∠B ＝90°,则b 为斜边这个隐含条件. 正解: ∵∠B ＝90°, ∴b 为斜边.由勾股定理,得222a c b +=,∴c 三、忽略高在三角形外例3 在△ABC 中, AB =15, AC =20, BC 边上的高AD =12,求BC 的长.错解:如图,由勾股定理,得222BD AB AD =-=22215129-=,即BD=9.222CD AC AD =-=222201216-=,即CD=16.∴BC = BD +CD =9+16=25.图1DC B错解分析：本题满足条件的三角形除上图外,还有下图所示的情况,即高AD 在△ABC 的外部.图2B正解：⑴当高AD 在△ABC 的内部时,同错解.⑵当高AD 在△ABC 的外部时,同样由勾股定理可求得BD=9, CD=16,这时BC = CD-BD =16 -9=7. ∴BC 的长是25或7.四、混淆勾股定理及其逆定理的区别例4 已知△ABC 的三边a ，b ，c 的长分别是6,8,10,试判断△ABC 的形状.错解: ∵22a b +=2268+=100,2210100c ==,∴222a b c +=,由勾股定理，知△ABC 是直角三角形.错解分析：勾股定理是由直角三角形推导三边的数量关系,而逆定理是由三角形的三边之间的数量关系推导三角形是直角三角形,二者不可混淆.正解:把错解中的“由勾股定理,知……”改为“由勾股定理的逆定理,知△ABC 是直角三角形”.五、盲目套用勾股定理例 5 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且 a ＝３，b ＝４，且 b ＜c ．若 c 为整数，则 c ＝________.错解：由勾股定理得 c ＝ 22b a +＝2243+＝25 ＝５．错解分析：上面的解法受“勾 ３,股 ４,弦 ５”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形，就把△ABC 当成直角三角形，盲目套用勾股定理进行计算，导致错误．解题时应注意已知条件，要注意勾股定理只在直角三角形中才成立．由于题目中没有明确给出三角形为直角三角形，只能利用三角形的三边关系解题．正解：由三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，知 b －a ＜c ＜a ＋b ．又 b ＜c ，∴b ＜c ＜a ＋b ，即 ４＜c ＜７．∵c 为整数，∴c 为５或者６．点拨：应用勾股定理解题的前提是在直角三角形中，否则勾股定理是不适用的．掌握勾股定理要注意以下三点：一是勾股定理所揭示的是直角三角形三边之间平方关系的定理，它反映了直角三角形三条边之间的数量关系；二是在直角三角形中一定要分清已知的边是直角边还是斜边；三是勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形或钝角三角形．六、不理解勾股数的概念例6 下列各组数能构成勾股数的是________.①０．０７，０．２４，０．２５； ②６，８，１０； ③７，８，１０； ④53,54,1.错解：①，②，④错解分析：首先，勾股数必须是一组正整数，其次是勾股数要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．将①，④选上主要是对勾股数概念不理解，出现概念错误．正解：②点拨：若 a，b，c 满足 a２＋b２＝c２，且 a，b，c 均为正整数，则 a，b，c 是一组勾股数．七、对勾股数想当然例 7 以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有（）．①３，４，５；②3，4，5；③３２，４２，５２；④６，８，１０．Ａ．１组Ｂ．２组Ｃ．３组Ｄ．４组错解：选Ｄ．错解分析：由于３，４，５是一组勾股数，故把这组数同时扩大相同的倍数，所得一组数仍为勾股数．但将这组数同时开方或平方，得到的数就不是勾股数，因此3，4，5和３２，４２，５２不是勾股数．正解：选Ｂ．点拨：判断一组正整数是不是勾股数，就是运用勾股定理的逆定理，将两条较短的线段的平方和a２＋b２与最长的线段的平方c２作比较，看它们是否满足a２＋b２＝c２．这样才能判断它们是否是勾股数，以这样的三条线段能否构成直角三角形，千万不要出现认为3，4，5和３２，４２，５２是勾股数这样的想当然的错误．八、仅凭直觉记忆，模糊解题例 8 已知在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且（a＋b）（a－b）＝c２，则（）Ａ．∠A 为直角Ｂ．∠C 为直角Ｃ．∠B 为直角Ｄ．不是直角三角形错解：选Ｂ．错解分析：错解错在受思维定势的影响：在通常情况下，将直角标注为∠C．因而有的学生就习惯性认为∠C 所表示的角就是直角，导致对已知条件粗略地分析了一下，得出存在平方关系之后就习惯性认为边 c 的对角∠C 就是直角，出现直觉错误．该题中的条件应转化为 a２－b２＝c２，根据这一关系，利用勾股定理的逆定理进行判断．正解：选Ａ．∵a２－b２＝c２，∴b２＋c２＝a２，∴a 边所对的角∠A为直角，故选Ａ．点拨：我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候，不能因为思维定势，看到数量之间的平方关系，就得到某个角是直角的结论，这样很容易产生直觉错误，丢掉不该丢的分．它告诫我们在审题时一定要仔细，防止由于思维定势而产生会做却做不对的情况．。
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勾股定理易错题
一、审题不仔细，受定势思维影响
例1 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=，则（ ）
（A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形
错解：选（B ）
分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C ∠，因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=，即222a b c =+，因根据这一公式进行判断.
正解：222a b c -=，∴222a b c =+.故选（A ）
例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
错解：5==.
分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.
正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为
5==；
（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为
=二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理
例3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
（A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C （D 错解：选（B ）
分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足222a b c +=的形式.
正解：因为222
+=，故选（C ） 例4 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，
甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
错解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），
乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海里）.
34=（海里）且MP=34（海里）
∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.
分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若222a b c +=，则90C ∠=︒.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.
正解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），
乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海里）.
∵22216301156,341156+==，∴222BM BP MP +=，
∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.。