洛伦兹力的冲量(专题)

洛伦兹力的冲量

1. 洛伦兹力的冲量公式

如图1，一带电粒子电量为q ，在磁感应强度为B 的匀强磁场中做匀速圆周运动，速度为v 。某时刻v 与x 轴的夹角为θ，则它受到的洛伦兹力f 与y 轴的夹角也为θ。分别将v 、f 正交分解，可知：

f f qBv qBv x y ===sin sin θθ

在时间t 内f 沿x 轴方向的冲量为： I f t qBv t qBy x x y ===

同理，f 在y 轴方向的冲量为： I qBx

y =

2. 应用

例1. 如图2所示，

A 1和A 2是两块面积很大，互相平行又相距较近的带电金属板，相距为d ，两板间的电势差为U 。同时，

在这两板间还有垂直纸面向外的匀强磁场。一束电子通过左侧带负电的板A 1上的小孔，沿垂直于金属板的方向射

入磁场，为使该电子束不碰到右侧带正电的板A 2，问所加磁场的磁感应强度至少要多大？电子的重力以及从小

孔射入时的初速度均可不计。

例2. 如图3，在真空中建立一坐标系，以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，z 轴垂直纸面向里。在0≤≤y l 的

区域内有匀强磁场，l

m =080.，

磁感应强度B T =010.，方向沿z 轴正方向。一荷质比q

m

C kg =50/的带正电质点从x =0，y m =-020.，z =0处由静止释放，求带电质点刚离开磁场时的速度，取g m s =102/。

例3. 如图4，在一绝缘水平台面的上方空间的足够大的区域中，有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度E N C =10/，方

向水平向右，磁感应强度

B T =5，方向垂直纸面向里，今有一质量为m kg =-10

3

，带电量为

q C =⨯-4104的小球由静止开始运动，取g m s =102/，求小球在运动中速度能达到的最大值。

例4： 研究物理问题的方法是运用现有的知识对问题做深入的学习和研究，找到解决的思路与方法，例如：模

型法、等效法、分析法、图像法。掌握并能运用这些方法在一定程度上比习得物理知识更加重要。

（1）如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r 的绝缘光滑圆环

固定在竖直平面内，O 是圆心，AB 是竖直方向的直径。一质量为m 、电荷量为+q 的小球套在圆环上，并静止在P 点，且OP 与竖直方向的夹角θ=37°。不计空气阻力。已知重力加速度为g ，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

a ．求电场强度E 的大小；

b ．若要使小球从P 点出发能做完整的圆周运动，求小球初速度应满足

的条件。

（2）如图乙所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，一

个质量为m 、电荷量为+q 的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ。现使圆环以初速度v 0向上运动，经时间t 圆环回到出发位置。不计空气阻力。已知重力加速度为g 。求当圆环回到出发位置时速度v 的大小。

例5：如图6所示，空间存在足够大、正交的匀强电、磁场，电场强度为E 、方向竖直向下，

磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里。从电、磁场中某点P 由静止释放一个质量为m 、带

电量为+q 的粒子（粒子受到的重力忽略不计），其运动轨迹如图6虚线所示。对于带电粒子在电、磁场中下落的最大高度H ，下面给出了四个表达结果，用你已有的知识计算可能会有困难，但你可以用学过的知识对下面的四个结果做出判断。你认为正确的是

A ．

22mE B q

B ．

24mE

B q

C ．

22mB E q

D ．

2mB

Eq

例6：（20分）如图所示，直角坐标系xoy 位于竖直平面内，y 轴正方向竖直向上，x 轴正方向水平向右。空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场垂直xoy 平面向里，磁感应强度大小为B 。匀强电场（图中未画出）方向平行于xoy 平面，小球

图乙 图甲

（可视为质点）的质量为m 、带电量为+q ，已知电场强度大小为mg

E q

＝

，g 为重力加速度。 （1）若匀强电场方向水平向左，使小球在空间中做直线运动，求小球在空间中做直线运动的速度大小和方向； （2）若匀强电场在xoy 平面内的任意方向，确定小球在xoy 平面内做直线运动的速度大小的范围； （3）若匀强电场方向竖直向下，将小球从O 点由静止释放，求小球运动过程中距x 轴的最大距离。

洛伦兹力的冲量

例1：分析：电子在电场力作用下开始向右加速运动，同时受到洛伦兹力作用而向上偏转。为使电子束不碰到右板A 2，临界条

件是当电子到达板

A 2时，速度方向刚好与板A 2平行。

电场力水平向右，电子在竖直方向上只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力的冲量公式和动量定理有：

I eBd mv y ==

在电子的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，由动能定理有：

eU mv =

12

2 由以上两式解得：B mU ed =

22

例2： 分析：设带电质点离开磁场时速度为v ，与磁场边界夹角为β，质点从开始释放到离开磁场的过程中，由机械能守恒定律

有： ()[]

mg l y mv +-=

1

2

2 解得：v m s =25/

在x 轴方向上，由洛伦兹力的冲量公式和动量定理有：

I qBl mv x ==cos β 得：cos β==qBl mv

25

5

例3： 分析：小球在电场力作用下先沿水平台面加速运动，洛伦兹力逐渐增大。当洛伦兹力与重力大小相等时，小球开始脱

离水平台面做曲线运动。设小球脱离台面时的速度为v 0，则有：

qBv mg 0=

以脱离点O 为坐标原点，以重力与电场力的合力F 的方向为y 轴，建立直角坐标系如图5所示。若把恒力F 视为等效重力，则x 轴相当于“水平面”或“等势面”。小球做曲线运动，当其速度方向与x 轴平行，在力F 的方向上发生的位移最大时，F 做功最多，小球速度最大。由动能定理有：

W Fd mv mv ==-12

12

202max

在x 轴方向上由动量定理有：

I qBd mv mv x ==-max cos 0θ

× × × × × × ×

× × × × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

O y