第4章 网络拓扑结构分析(1)

[1] V= {v1 , v 2 ,, v n } 是有穷非空集，称为顶点集， 其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边. [3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素 偶对的集合的映射，称为关联函数.
例1 设 G=(V,E, )，其中 V={v1 , v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
欧拉1707年出生在瑞士的巴塞
尔（Basel）城，19岁开始发表 论文，是科学史上最多产的一 位杰出的数学家，据统计他那 不倦的一生，共写下了886本书 籍和论文，其中分析、代数、 数论占40%，几何占18%，物理 和力学占28%，天文学占11%， 弹道学、航海学、建筑学等占 3%，在失明后的17年间，他还 口述了几本书和400篇左右的论 文．19世纪伟大数学家高斯 （Gauss，1777-1855年）曾 说:“研究欧拉的著作永远是了 解数学的最好方法．”
例2
公路连接问题
某一地区有若干个主要城市，现准备修建 高速公路把这些城市连接起来，使得从其中 任何一个城市都可以经高速公路直接或间接 到达另一个城市。假定已经知道了任意两个 城市之间修建高速公路的成本，那么应如何 决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成 本最小？
例3
运输问题(transportation problem)
e cos i sin
i
i
Euler——伟大的数学家
e 1 0
著名的欧拉公式，最完美的公式
e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定 义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复变函数论里占有非常重要的地位。
哥尼斯堡七桥(Kö nigsberg Bridges)问题
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
并称图 G 为赋权图.
规定用记号 和 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边． （４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n 为顶点的数目． ( 7)若 V=X Y，X Y= ，X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
最大流问题的应用
最小费用流问题
第一节 图论基础
一、图与网络优化的例子
例1 最短路问题
（SPP－shortest path problem）
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将 一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的 公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这 名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运 行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要 找到一条从甲地到乙地的最短路。
某种原材料有N个产地，现在需要将原材 料从产地运往M个使用这些原材料的工厂。假 定N个产地的产量和M家工厂的需要量已知， 单位产品从任一产地到任一工厂的运费已知， 那么如何安排运输方案可以使总运输成本最 低？
例4 中国邮递员问题 （CPP－Chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如 何为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮 局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最 后返回邮局）？由于这一问题是我国管梅谷教 授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国 邮递员问题。
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次） 称为 v 的次数，记为 d(v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)， d(v)=d+(v)+d-(v)称为 v 的次数．
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝(mij ) ，其中：
1 mij 1 0
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 1 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
注：假设图为简单图
v4 v1 v2 v 3 v 4
v1 v 2 v3 0 1 0 1 A= 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵A (aij ) ，其中：
aij 1 0
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
在哥尼斯堡有七座桥 将普莱格尔河中的两个岛 及岛与河岸联结起来问题 是要从这四块陆地中的任 何一块开始通过每一座桥 正好一次，再回到起点。 欧拉(Euler)解决了这个问题！ 将问题用图表示 四快被分开的区域作为点 连结它们的桥作为边
原来是一笔画问题！
何为”一笔画“？
画一个图案，如果用笔既 不重复也不遗漏，纸不离 笔，一笔画成，那么就称 这个图案是一笔画图案。
图论：数学的一个分支，它以图为研究
对象，图论中的图是若干给定的点及连 接两点的线所构成的图形，这种图形通 常用来描述某些事物之间的某种特定关 系。用点代表事物，用连接两点的线表 示相应两个事物间具有这种关系。因此 这种图中点的位置，线的长短曲直是无 关紧要的。
与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或 称网络优化 （netwok optimization）问题。所以 上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于 多数网络优化问题是以网络上的流（flow）为研 究的对象，因此网络优化又常常被称为网络流 （network flows）或网络流规划等。
v3 v 4 7 v1 8 3 v2 0 5 v3 5 0 v4
图的连通性

考虑边的一个序列，相邻二边有公共端，如(v1， v2)， (v2，v3)， (v3，v4)， (vi，vi+1)，这 个边序列称为链，链简单说就是一个连续轨迹。 没有重复边的链称为简单链；没有重复端的链 称为初等链或道路；
Leabharlann Baidu
奥 运 标 记
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给 出了一笔画的一个判定法则： 这个图是连通的，且每个点都与偶数线 相关联。 将这个判定法则应用于七桥问题，得到 了“不可能走通”的结果，不但彻底解决 了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
三、图的基本概念
定义 有序三元组G=(V,E,
)称为一个图.
网络分析与测试
jgu@cumt.edu.cn
第4章 网络拓扑结构分析
网络拓扑结构分析是很基本，也是很重要 的问题。 拓扑结构是网络规划和设计的第一层次问 题。 计算机网络的拓扑结构可以用图论的模型 来代表。

第4章 网络拓扑结构分析

图论基础
最短路问题 最短路的应用 网络流基本概念 最大流问题
例5 旅行商问题 （TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。 如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从 驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回 驻地）？这一问题的研究历史十分悠久，通常 称之为旅行商问题。
上述问题有两个共同的特点：
一是它们的目的都是从若干可能的安排或 方案中寻求某种意义下的最优安排或方案， 数学上把这种问题称为最优化或优化 （optimization）问题； 二是它们都易于用图形的形式直观地描述 和表达，数学上把这种与图相关的结构称 为网络（network）。
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝(mij ) ，其中：
mij 1 0
若vi 与e j 相关联 若vi 与e j 不关联
e1 1 M= 1 0 0
注：假设图为简单图
e 2 e3 e 4 e5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4


性质：设T是树，则任何两点之间恰好有 一条道路；反之，如图T中任何两点之间 恰好有一条道路，则T为树。

如果树T是连通图G的子图，TG，且T包含G的 所有端，称T是G的支撑树或主树。 连通图一定有支撑树。 如果在一个连通图G中确定了一个支撑树T,图的 边集合被分为两类，属于树的边称为树边；不属 于树的边称为连枝。 树上任两端间添加一条连枝，则形成圈，这个圈 被称为基本圈。基本圈是由其包含的惟一连枝所 决定的。
(e1 ) v1v2 , (e2 ) v1v3 , (e3 ) v1v4 , (e4 ) v1v4 , (e5 ) v3v3 .
G 的图解如图.
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e，称为图的有向
边（或弧） ，而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e，称为图 的无向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是 有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混 合图.
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E E,且当 E1 时， 1 (e)= e 1
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图． (e),则称 G1 是 G 的子图．
二、图论的发展
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数 学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。 1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了 “树”的概念。1857年，凯莱在计数烷的同分异构 物时，也发现了“树”。 哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图 论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近 几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大 地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗 透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、 心理学、经济学、社会学等学科中。

m n 1
定理 给定一个图T，若 | V | n ，| E | m ， 则下面论断等价： （1）T是树； （2）T无圈，且 m n 1 ； （3）T连通，且 m n 1 。

性质：若T是树，则： （1）T是连通图，去掉任何一条边，图便 分成两个且仅仅两个连通分支； （2）T是无圈图，但添加任何一条边，图 便会包含一个且仅仅一个圈。
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的 图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1]. (3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E , 且wij 为其权 若i j 若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1 v 2 0 2 A= 2 0 8 7 3
若链的起点与终点重合，称之为圈；若道路的 起点与终点重合,称之为初等圈。一般重点讨论 道路和初等圈。


连通图 任何二端间至少存在一条链的图，为连通 图。否则，就是非连通图。 非连通图G有三个连通分支

G
四、树
定义 无圈的连通图称为树。 性质 除单点树，至少有两个度数为1的端(悬 挂点)。 性质 任意树的边数m和端数n满足