蒙特卡罗方法在积分计算中的应用

Example
I e x dx
0 3
(we know that the answer is e3-1
19.08554)
write this as
1 I 3 e dx 3E[e X ] 3 0
x
3
where X~unif(0,3)
estimate this with
1 X ˆ ˆ I 3E[e ] 3 n
xi e i 1
n
where X1, X2, …, Xn are n independent unif(0,3)’s.
Simulation Results:
Simulation
1 2 3 4 5
true = 19.08554, n=100,000
ˆ I
19.10724 19.08260 18.97227 19.06814 19.13261
则有
g1 (P) f1 (P)dP Eg1 (P)
Vs
现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则
ˆ1 N g
1 N g1 (Pi ) N i 1
就是θ的又一个无偏估计。
2) 重要抽样和零方差技巧
2 2 2 2 2 g E g ( P ) g ( P ) f ( P ) d P V 1 1 1
Vs
这时
2 g 0
1
即 g1的方差为零。实际上，这时有
Eg1 (P) g1 (P) f1 (P)dP
Vs

称从最优分布 fl(P)的抽样为重要抽样
2.样本平均值法

设欲求积分
G(P)dP
Vs
其中，P＝P(x1，x2，…，xs) 表示 s 维空间的点，Vs表示积分区 域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令
g (P) f (P)dP Eg (P)
Vs
g (P) G(P) f (P)
即θ是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分布密度函数为 f (P) 。现 从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：Pi，i＝1，2，…，N， 则

M (b a )
.因此可以进行n q . n
次投点，若q次投中，则可以得的估计为 M (b a )
1.随机投点法(Cont)

具体步骤（方法）：
1.独立地产生2n个U [0,1]随机数,ui , vi ,i=1,2,...,n; 2.计算xi =a+ui(b-a),yi =Mvi 和f(xi ); 3.统计yi f(xi )的个数q; 4.计算M(b - a) q 得到的估计值； n
蒙特卡罗方法 在积分计算中的应用
Outline
1. 随机投点 2. 样本平均值法 3. 重要抽样
蒙特卡罗方法求积分


计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域 之一。 蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一 个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因 此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。
M f(x)
1 s

Vs
g 2 ( P) f 2 ( P) dP 2 f1 (P)
要使此方差取得最小值，可以证明最优的 f1(P) 为
f1 (P ) | g (P) | f (P)

Vs
| g ( P ) | f ( P ) dP

特别地，当 g(P)≥0 时，有 g (P) f (P) g (P) f (P) f1 (P ) g (P) f (P)dP
n=100000; intex=3*sum(exp(3*rand(n,1)))/n
3.重要抽样(Importance Sample)
1) 重要抽样和权重因子 取Vs上任wenku.baidu.com联合概率密度函数 f1(P)，令 g1 (P) g (P) W (P)
W (P) f (P) f1 (P) 即：G(P)=g ( P) f ( p) g1 ( P) f1 ( P)
1 ˆN g N
g (P )
i 1 i
N
就是θ的近似估计。
2.样本平均值法（Cont)

对上述问题，若a,b有限，可以取f(x)=1/(b-a)
设x1 ,..., xn是来自U ( a, b)的随机数，则的一个估计为： G ( X ) 1 n G ( xi ) b a n E G ( xi ). n i 1 f ( X ) n i 1 f ( xi ) 计算步骤为： 1.独立地产生n个U (0,1)随机数u1 ,..., un ; 2.计算xi a (b a )ui 和G ( xi ), i 1,..., n; ba n 3.用 G ( xi )估计 n i 1 可以证明，此方法的方差不超过上一个方法。
f ( x)dx
a
b
1.随机投点法


设a,b有限，0<=f(x)<=M, 令 D={(x,y):a<=x<=b,0<=y<=M} 并设（ X,Y ）是在 D 上 均匀分布的二维随机向量，其联合概率密度函数为 1/M(b-a). 所求积分为图中阴影部分的面积。 随机投点法：
向区域D中随机投点，若点落在y f ( x)下方，即为中的， 否则为不中。则中的的概率p