分治算法策略(2)
分治算法策略（2）
快速排序改进算法
（1）基本思想：
与方法1相比，主要做了以下改进，取无序区R[1..H]中间的一个数x作为比较基准，从左扫描找到比x大的数R[i]，从右扫描找到比x小的数R[j]，然后交换R[i]和R[j]，直到i>j，一趟排序结束，此时R[1..j]的元素均小于R[i..H]。
（2）排序过程：
初始关键字[38 65 97 49 76 13 27 49]
第一次交换后[38 49 97 49 76 13 27 65]
第二次交换后[38 49 27 49 76 13 97 65]
第三次交换后[38 49 27 13 76 49 97 65]，此时i=5，j=4，i>j
第一趟排序结束[38 49 27 13 76 49 97 65]
【示例】：
初始关键字[38 65 97 49 76 13 27 49]
一趟排序之后[38 49 27 13] [76 49 97 65]
二趟排序之后[38 13 27] [49] [49] [76 97 65]
三趟排序之后[13] [38 27] [49] [49] [76 65] [97]
最后的排序结果[13] [27] [38] [49] [49] [65] [76] [97]
快速排序算法qsort
procedure sort(l,r:longint);
var
tmp,i,j,mid:longint;
begin
i:=l;
j:=r;
mid:=a[(i+j)div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数基准}
repeat
while a[i] while a[j]>mid do dec(j); {在右半部分寻找比中间数小的数} if i<=j then {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们} begin tmp:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=tmp; inc(i); {继续找} dec(j); end; until i>j; {注意这里不能有等号} if l if i end; 快速排序的时间复杂度是O（nlog2n），速度快，但它是不稳定的排序方法。因此，就平均时间而言，快速排序是目前被认为是最好的一种内部排序方法。若初始记录序列按关键字有序或基本有序时，快速排序将退化为冒泡排序，其时间复杂度为O（n^2）。 如果我们选择标准关键字时采取一定的策略，就可以避免快速排序的退化，比如我们随机产生一个值x，以序列中的第x个位置的记录的关键字作为标准关键字，这样的随机化快速排序能很好地防止退化。一般都以序列中间位置的记录的关键字作为标准关键字，这样既可能简化代码，又能防止退化，是一种折中的常用方法。 从时间上看，快速排序的平均性能优于前面讨论过的冒泡排序，选择排序、插入排序列方法，但快速排序需要一个栈空间来实现递归。 上机练习：(本次练习要求用文件操作，提交源程序评测) 1、众数（masses.pas） 【问题描述】 由文件给出N个1到30000间无序数正整数，其中1≤N≤10000，同一个正整数可能会出现多次，出现次数最多的整数称为众数。求出它的众数及它出现的次数。 【输入格式】 输入文件第一行是正整数的个数N，第二行开始为N个正整数。 【输出格式】 输出文件有若干行，每行两个数，第1个是众数，第2个是众数出现的次数。 【输入样例】masses.in 12 2 4 2 3 2 5 3 7 2 3 4 3 【输出样例】masses.out 2 4 3 4 2、军事机密(secret.pas) 【问题描述】 军方截获的信息由n（n<=30000）个数字组成，因为是敌国的高端秘密，所以一时不能破获。最原始的想法就是对这n个数进行小到大排序，每个数都对应一个序号，然后对第i 个是什么数感兴趣，现在要求编程完成。 【输入格式】 第一行n，接着是n个截获的数字，接着一行是数字k，接着是k行要输出数的序号。【输出格式】 k行序号对应的数字。 【输入样例】secret.in 5 121 1 126 123 7 3 2 4 3 【输出样例】secret.out 7 123 121 3、NOIP2007TG_1_统计数字（count.pas） 【问题描述】 某次科研调查时得到了n个自然数，每个数均不超过1500000000（1.5*10^9）。已知不相同的数不超过10000个，现在需要统计这些自然数各自出现的次数，并按照自然数从小到大的顺序输出统计结果。 【输入】 输入文件count.in包含n+1行； 第一行是整数n，表示自然数的个数； 第2~n+1每行一个自然数。 【输出】 输出文件count.out包含m行（m为n个自然数中不相同数的个数），按照自然数从小到大的顺序输出。每行输出两个整数，分别是自然数和该数出现的次数，其间用一个空格隔开。【输入输出样例】 count.in 8 2 4 2 4 5 100 2 100 count.out] 2 3 4 2 5 1 100 2 【限制】 40%的数据满足：1<=n<=1000 80%的数据满足：1<=n<=50000 100%的数据满足：1<=n<=200000，每个数均不超过1500 000 000（1.5*10^9） 4、谁拿了奖学金？(money.pas) [描述] 期中考考完了，总要排排名次。该校有个特殊的规定：前m（m<=60）名学生有奖学金可以拿。面对那批堆积如山的试卷，王主任茫然无措，于是他来向懂NOIP的你来求救，希望你能帮助他。 注：(1)该校的名次的排列方式为：先排平均分，若平均分相同，则计算方差，方差小的学生排在前面，若方差也相同，则按考号的先后排列（考号小的排前面）。(2)平均分、方差的小数部分忽略（即整数部分相同就相等），不是四舍五入。(3)方差公式为：方差s=(x[1]*x[1]+x[2]*x[2]+…+x[n]*x[n]-n*b*b)/n （其中s为方差，x[1..n]为一组数，b 为这组数的平均数） [输入格式] 第一行三个数n(n<=1000)，m(m<=60)，k(k<=10)，其中n代表学生数，m表示能获得奖学金的学生人数，k代表期中考的课数。 接下来n行，每行k个数，第i行，第j行表示考号为i的学生第j门课的成绩x(x<=100) [输出格式] 仅有m个数：能获得奖学金的学生的考号（按名次由高到低排列），每两个数之间用一个空格格开 [输入样例] money.in 5 3 1 92 98 93 97 95 [输出样例]money.out 2 4 5 《算法设计与分析》实验报告 分治策略 姓名：XXX 专业班级：XXX 学号：XXX 指导教师：XXX 完成日期：XXX 一、试验名称：分治策略 （1）写出源程序，并编译运行 （2）详细记录程序调试及运行结果 二、实验目的 (1)了解分治策略算法思想 (2)掌握快速排序、归并排序算法 (3)了解其他分治问题典型算法 三、实验内容 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 (2)编写一段程序，实现快速排序。 (3)编写程序实现循环赛日程表。设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。现 要设计一个满足以下要求的比赛日程表：（1）每个选手必须与其它n-1个选手各赛一次（2）每个选手一天只能赛一场（3）循环赛进行n-1天 四、算法思想分析 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行 排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。 (2)编写一段程序，实现快速排序。 通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有 数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数 据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。 (3)编写程序实现循环日赛表。 按分治策略，将所有的选手分为两组，n个选手的比赛日程表就可以通 过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割， 直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让 这2个选手进行比赛就可以了。 五、算法源代码及用户程序 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 #include 算法分析与设计实验报告第四次附加实验 while (a[--j]>x); if (i>=j) { break; } Swap(a[i],a[j]); } a[p] = a[j]; //将基准元素放在合适的位置 a[j] = x; return j; } //通过RandomizedPartition函数来产生随机的划分 template vclass Type> int RandomizedPartition(Type a[], int p, int r) { int i = Random(p,r); Swap(a[i],a[p]); return Partition(a,p,r); } 较小个数排序序列的结果: 测试结果 较大个数排序序列的结果: 实验心得 快速排序在之前的数据结构中也是学过的，在几大排序算法中，快速排序和归并排序尤其是 重中之重，之前的快速排序都是给定确定的轴值，所以存在一些极端的情况使得时间复杂度 很高，排序的效果并不是很好，现在学习的一种利用随机化的快速排序算法，通过随机的确 定轴值，从而可以期望划分是较对称 的，减少了出现极端情况的次数，使得排序的效率挺高了很多， 化算法想呼应，而且关键的是对于随机生成函数，通过这一次的 学习终于弄明白是怎么回事了，不错。 与后面的随机实 验和自己的 实验得分助教签名 附录： 完整代码(分治法) //随机后标记元素后的快速排序 #i nclude 分治策略 姓名：XXX 专业班级：XXX 学号：XXX 指导教师：XXX 完成日期：XXX 一、试验名称：分治策略 （1）写出源程序，并编译运行 （2）详细记录程序调试及运行结果 二、实验目的 (1)了解分治策略算法思想 (2)掌握快速排序、归并排序算法 (3)了解其他分治问题典型算法 三、实验内容 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 (2)编写一段程序，实现快速排序。 (3)编写程序实现循环赛日程表。设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。现 要设计一个满足以下要求的比赛日程表：（1）每个选手必须与其它n-1个选手各赛一次（2）每个选手一天只能赛一场（3）循环赛进行n-1天 四、算法思想分析 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行 排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。 (2)编写一段程序，实现快速排序。 通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有 数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数 据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据 变成有序序列。 (3)编写程序实现循环日赛表。 按分治策略，将所有的选手分为两组，n个选手的比赛日程表就可以通 过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割， 直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让 这2个选手进行比赛就可以了。 五、算法源代码及用户程序 (1)编写一个简单的程序，实现归并排序。 #include 问题场景：在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待，则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。 问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。 1、一维最接近点对问题 算法思路： 这个问题很容易理解，似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两个点即可。然而，这样做效率太低，需要O(n^2)的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到，该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。采用分治法思想，考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点，然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对，因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则 问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则对于S1中任一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n^2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此，依此思路，合并步骤耗时为O(n^2)。整个算法所需计算时间T(n)应满足: T(n)=2T(n/2)+O(n^2)。它的解为T(n)=O(n^2)，即与合并步骤的耗时同阶，这不比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法，我们看到问题出在合并步骤耗时太多。这启发我们把注意力放在合并步骤 上。 设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,..,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x1,x2,..,x n排好序，然后，用一次线性扫描就可以找出最接近点对。这种方法主要计算时间花在排序上，在排序算法已经证明，时间复杂度为O(nlogn)。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此，对这种一维的简单情形，我们还是尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2，使得S1={x∈S|x≤m}；S2={x∈S|x>m}。这样一来，对于所有p∈S1和q∈S2有p