充分统计量ppt课件

和任一组观测值x1, , xn ,有
p(x1,..., xn; ) g[T (x1, , xn ), ] h(x1, , xn )
其中g( t,θ)是通过统计量T 的取值而依赖于样本的， 而h(x1,…,xn)不依赖于θ.
例4 设x1 , x2……, xn是取自总体N(μ,1) 的样本，
例6 设总体X分布为N(μ,σ2), x1 , x2……, xn是取自总体 的样本，θ=( μ,σ2) 是未知的, 则
n
n
T (t1, t2 ) ( xi , xi2 )
i 1
i 1
是θ的充分统计量. 进一步, 它的一一对应变换 (x, s2 )仍
是充分统计量.
证：
p( x1 ,
x!
x1, x2为样本，证明T =2x1 x2不是的充分统计量.
二、因子分解定理
以下统称分布列和密度函数为概率函数.
定理2：设总体的概率函数为p(x; ),x1, , xn是样本，则
统计量T T (x1, , xn )为充分统计量的充要条件是:
存在两个函数g(t, )和h(x1,, xn ), 使得对任意的
样本x1, , xn的条件分布与无关.
注：条件分布可用条件分布列或条件密度函数来表示.
定理1：设T=T(x1,…xn)是参数θ的一个充分统计量， z=ψ(t)具有单值反函数，则Z=ψ(T)也是θ的一个充分统 计量.（即充分统计量经一一对应变换后仍是充分统计量）
例3. 设总体X ~ P()，即p(x;) x e , x 0,1,

i 1
(2
2

)
n
2
exp{
n 2 2 2
}exp{
1
2
2
(t2

2t1)}
h(x1, , xn ) 1 即可.
注：若θ是参数向量，T是随机向量，且满足因子分 解定理的条件，则T是θ的充分统计量. 但不能由T 关于θ是充分的, 推出T 的第i 个分量关于θ的第i 个 分量也是充分的.
例2 设总体X分布为b(1,θ), X1 , X2……, Xn是取自总体的
样本，令T=X1 一组 (x1, x2 ,
+….+Xn
,
n百度文库
..., xn ), (
则在给定T xi t,)有
的取值
t
后,
对任意
i 1
P( X1 x1, , X n xn | T t)
n1
P( X1 x1, , X n1 xn1, X n t xi )
i1
i1
Cnt t (1 )nt
t (1 )nt 1 Cnt t (1 )nt Cnt
该条件分布与θ 无关，因而T是充分统计量。
注1：用条件分布与未知参数无关来表示统计量不损失 样本中有价值的信息的方法是可行的.
2：充分统计量不唯一. 实际上, 样本本身就是参数的一 个充分统计量. 由此, 充分统计量总存在.
第五节 充分统计量
1、充分性的概念 2、因子分解定理
一、充分性的概念
不损失信息的统计量就是充分统计量.它概括 了样本中所含未知参数的全部信息.
例1 为研究某运动员的打靶命中率θ, 对其进行测试。 观测10次，发现除第三、六次未命中外，其余八次都 命中。此观测结果包括两种信息： （1）打靶10次命中8次； （2）两次未命中出现在第三、六次打靶上。
令 T x , 则T 为μ 的充分 统计量.
证：
p (x1,
,
xn )
n
(2 ) 2
exp{
1 2
n i 1
( xi

)2}
n
n
而 (xi )2 (xi x)2 n(x )2
i 1
i 1

n
(2 ) 2
exp{
1 2
n i 1
( xi
例7. 设x1 , x2……, xn是取自均匀分布U(θ,2θ)的样 本，其中参数θ>0，试给出充分统计量.
例8 设x1 , x2……, xn是取自总体X的样本，其中X的密
度为 p(x; ) x 1 , 0 x 1, 0
试给出一个充分统计量. (P283)
3：若样本容量为n, （在上例中）则T1=x1+x2不是充分统 计量. 显然,它浪费了n-2个样品的信息.
T和θ可以是向量,
定义:
维数不一定相同
设x1, x2, , xn是总体分布函数为F (x; )的样本，
统计量T T (x1, , xn )称为的充分统计量(也称为
该分布的充分统计量),如果在(任意)给定T 值后,
,
xn ;
)

(2
2
n
)
2
exp{
1
2
2
n
( xi )2}
i 1

(2
n
)2
n 2
exp{
n
n 2
2 2
}
exp{
1
2
2
(
n i 1
xi 2

2
n i 1
xi )}
取t1 xi , t2 xi2 , 并令
i 1
g(t1, t2;
)

x) 2 } exp{
1 2
n( x

)2}
取T x, 并令 g(t, ) exp{ 1 n(t )2}
h( x1 ,
, xn )

n
(2 ) 2
2
exp{
1 2
n i 1
( xi

x)2}
由因子分解定理可知, T x 是μ的充分统计量。
例5 设总体X分布为U(0,θ), x1 , x2……, xn是取自总体 的样本，则T=x(n) 是θ 的充分统计量.
证：
p(
x;
)

1 /

0
, ,
0
x else

p(x1; )
p(
xn
;
)

(1
/
0
)n
，0 ，

min{xi
} max{xi else
}


(1/
) I I n {x( n) } {x(1) 0}
取T x(n) , 并令g(t, ) (1/ )n I{t}, h(x1, , xn ) I{x(1) 0} 由因子分解定理可知,T=x (n)是θ的充分统计量。

i 1 n
P( Xi t)
i 1
n1
n1
P( Xi xi ) P(Xn t xi )
i1
i 1
Cnt t (1 )nt
n1
n1
n1 (1 ) (1 ) xi
1 xi
t xi
i1
1t xi