用数学思维解决物理题目

数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．

所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程．本讲中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法．处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列

[2008年高考上海卷·4·向量与矢量三角形] 如图7-1所示，在竖直平面内的直角坐标ON 斜向下运动，直线ON 与y 轴负方向成θ角（θ＜π/4）。则F 大小至少为____________；若F ＝mg tan θ，则质点机械能大小的变化情 况是______________________________。

某同学这样解第2问，若F ＝mg tan θ时，正好F 力的方向沿着x 轴正方向，因此外力F 与运动位移方向成锐角，质点的机械能增加。

实际上该同学忽视了题干只给出外力F 的大小，而未给出该力的方向。F ＝mg tan θ时，外力F 的方向不仅仅为沿着x 轴正方向，还可能有其它方向。为了能够严密的找出F ＝mg tan θ时的所有可能性，需要运用力的矢量三角形定则。

如图7-2所示，质点受到的力有重力mg 和外力F ，合力的方向沿着ON 方向，将重

力、外力、合力归结到一个三角形中，该质点受到重力和外力F 从静止开始做直线运动，

说明质点做匀加速直线运动，如图中显示当F 力的方向为a 方向（垂直于ON ）时，F 力最小为mg sin θ；若F ＝mg tan θ，即F 力可能为b 方向或c 方向，故F 力的方向可能与运

动方向相同，也可能与运动方向相反，除重力外的F 力对质点做正功，也可能做负功，故

质点机械能增加、减少都有可能。两空分别填：mg sin θ，增大、减小都有可能。

力的矢量三角形定则是从平行四边形定则中演绎出来的新的数学方法，解决共点力

问题有很好的作用，特别是动态平衡问题、力的合成与分解中的多解分析，这样的方法非常严密。矢量三角形的处理原则：

1、抓住“定”量，比如重力的大小和方向对应矢量三角形的边长和方向，这点很重要，它直接确定了三角形的两个顶点和一个边；再比如墙壁上的弹力方向始终不变，这确定了动态三角形中的某个边的方向；

2、找到“变”量，往往以某个力的角度发生变化引起三角形另外两个边的变化，有时候是边长变化、有时候是方向发生变化。

物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，

物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？

该题的已知量只有µ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含

有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F 与夹角有关的关系式再作分析。

方法一：如图7-3，对物体受力分析，设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根

即F cos θ－f =0 ① N +F sin θ=G ② f =µN ③ 联立①②③解得：

)

sin cos cos (sin 1cos sin 2φθφθμμθθμμ++=+=G

G F

析解 画龙点睛 一题多变 方法归类 正确析解 指点迷津 跳出陷阱 探究——思维拓展

典题分析

图7-1

mg

a

b c

O

θ 图7-2

N

F f

mg

θ 图7-3

F / N

F

f

Φ

)

sin(12

φθμμ++=

G ,

其中tan ф= 1

µ，故G F 2

min 1μ

μ

+=

方法二：向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连

矢量知识求极值。

将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F'，如图7-4，F'与竖直方向的夹

角为tan ф= f

N =µ（为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G ，桌面对木块的作用力F'和拉力F 的作用。尽管F 大小方向均未确定，F'方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图7-5所示。只有当F 与F'’垂直时，即拉力与水平方向成ф角时，拉力F 最小为F =G sin ф

而2

2

1tan 1tan sin μ

μ

φ

φφ+=

+=

，故2

1sin μ

μφ+=

=G

G F

[2008年高考四川延考卷·21·正弦定理与矢量三角形]两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图7-6所示。己知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是 ( )

A ．45°

B ．30°

C ．22.5°

D ．15°

通过对a 和b 两小球的受力分析，抓住受力的共同特点：轻杆对小球的作

用力等大、反向，以及重力均竖直向下，大小关系在题干已经给出，还有重要的几何关系即细杆的长度是

球面半径的2倍。分别将两小球受到的共点力归结到矢量三角形中，最后利用数学的正弦定理列方程求解。

如图7-7，对a 、b 分别受力分析，将三个力归结到三角形Oac 与Obc 中，

由牛顿第三定律可设两球受到杆的作用力大小N ac =N bc ，依题意可知，ab =2

Oa =2Ob ，故三角形Oab 为等腰直角三角形。

可设∠aOc =90°－∠bOc =α，根据矢量三角形定则及正弦定理可得：3mg

sin45° = N ac sin α，mg sin45° = N bc

sin(90°－α)，解得α=30°，由几何关系可得θ=15° 。本题还有其他解法，比如杠杆平衡条件解题、利用质心找到平衡点等方法，不妨试一试。

1、试讨论一下a 球和b 球质量比为n 发生变化时，细杆与水平面的夹角θ如何变化？

2、若撤去光滑的半球面，Oa 、Ob 为细绳，a 、b 为同性电荷，其它条件不变，思考一下结果还是不是一样？

[2008年高考全国Ⅰ卷·21·不等式与极值] 一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为1.5。设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t 1和t 2，则光线从0º逐渐增大至90º的过程中 ( )

A ．t 1始终大干t 2

B ．t 1始终小于t 2

C ．t 1先大干后小于t 2

D ．t 1先小于后大于t 2

高考中某些考生解法如下：设折射角为α，玻璃砖的厚度为h ，由折射定律n =sinθsinα ，且n =c

v ，在玻璃

追问 正确解析 画龙点睛 一题多变 跳出陷阱 F

F' Φ

Φ

G

F

F

F''

F'''

图7-5

图7-6

a b

O

c 图7-7