高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系课件理

(4)异面直线所成的角
①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成 的 锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角．
②范围： 0，π2 .
3 空间直线、平面的位置关系
注意点 对异面直线定义的理解 (1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不 相交． (2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线． (3)异面直线不具有传递性，即若直线 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 不一定是异面直线.
解析 ∵AB∥A1B1， ∴∠B1A1C1 是 AB 与 A1C1 所成的角， ∴AB 与 A1C1 所成的角为 30°. ∵AA1∥BB1， ∴∠BB1C 是 AA1 与 B1C 所成的角， 由已知条件可以得出
BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝ 3a， ∴B1C1＝BC＝a. ∴四边形 BB1C1C 是正方形， ∴∠BB1C＝45°.
(2) 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝2 2，PA＝2.求：
①三角形 PCD 的面积； ②异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小． 答案 (2)见解析
[解析] (1)如图
作 AM⊥BD，垂足为 M；作 CN⊥BD 垂足为 N，若存在某个位置，使得 AC⊥BD，则 BD⊥平面 AMC， BD⊥平面 ANC，矛盾，故 A 错误；当翻折到点 A 在平面 BCD 上的射影 H 落在 BC 上时，由 CD⊥CB，CD ⊥AH，所以 CD⊥ABH，所以 CD⊥AB，故 B 项正确，D 项错误；若存在某个位置使得 AD⊥BC，则再由 CD⊥CB 得 CB⊥平面 ACD，所以∠ACB＝90°，这样|AB|>|BC|，而 AB＝1，BC＝ 2，矛盾，故 C 项错误．
在△AEF 中，由 EF＝ 2，AF＝ 2，AE＝2 知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF＝4π.因此，异面 直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
【解题法】 异面直线的判定及其所成角的求法 (1)判定空间两条直线是异面直线的方法 ①判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面． (2)求解异面直线所成角的常用方法有两种 ①平移法 a．平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行 线平移；补形平移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解(常结合余弦定理求解)． b．因为异面直线所成角 θ 的取值范围是 0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面 直线所成的角．
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 点、线、面的位置关系是立体几何的核心内容，高考既有单独考查直线和平面位置关 系的题目，也有以多面体为载体考查线面位置关系的题目．高考试题对点、线、面的位置关系的考查以理 解和掌握为主，试题一般为中等难度．
命题法 点、线、面位置关系的判断及异面直线所成的角 典例 (1)已知矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折， 在翻折过程中( ) A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对任意位置，三对直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直
1．思维辨析 (1)如果两个不重合的平面 α，β 有一条公共直线 a，就说平面 α，β 相交，并记作 α∩β＝a.( √ ) (2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( × ) (3)两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于 A 点，并记作 α∩β＝A.( × ) (4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( × ) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ ) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
第八章 立体几何
第2讲 空间点、线、面的位置关系
考点 空间点、线、面的位置关系
撬点·基础点 重难点
1 平面的基本性质
2 空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
(2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行．
(3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
相等或互补．
(2)①因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD.
又因为 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD.
从而 CD⊥PD.
因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2，
所以三角形 PCD 的面积为12×2×2 3＝2 3.
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②解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则点 B(2,0,0)，C(2，2 2，0)，E(1， 2，1)．
2．若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b⊥c，则直线 a 与 c( ) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．平行、相交、是异面直线都有可能
解析 当 a，b，c 共面时，a∥c；当 a，b，c 不共面时，a 与 c 可能异面也可能相交．
3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1 是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则 AB 与 A1C1 所成的角 为___3_0_°___，AA1 与 B1C 所成的角为___4_5_°___．
则A→E＝(1， 2，1)，B→C＝(0,2 2，0)．
设A→E与B→C的夹角为
θ，则
→→ cosθ＝||AA→EE|·|BB→CC||＝2×42
＝ 2
22，所以
θ＝4π.
由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
解法二：取 PB 的中点 F，连接 EF，AF, 则 EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所 成的角．