2016高考数学大一轮复习 12.3几何概型课件 理 苏教版
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(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内
随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )
(3) 在 几 何 概 型 定 义 中 的 区 域 可 以 是 线 段 、 平 面 图 形 、 立 体 图
形.( √ ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝1.( × )
y＝cos πx的图象知，
2
当－1<x<－23或23<x<1 时，
π1 0<cos 2x<2. 由概率的几何概型知：
2
cos
π 2x
的值介于
0
到12之间的概率为32＝13.
解析
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
直 径 的 弦 ， 则 弦 长 超 过 圆 内 接 等 边 三 角 形 边 长 的2 概 率 是 _解__析____记_.事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边 长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直 径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时， 就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于 CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得： P(A)＝12×2 2＝12.
2.在几何概型中，事件A的概率计算公式 d的测度
P(A)＝ D的测度 .
3.几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 无限多个 ； (2)等可能性：每个结果的发生具有 等可能性 .
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )
∠BAD＝30°.
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
解析
思维升华
记 事 件 N 为 “ 在 ∠BAC 内 作 射 线 AM 交 BC 于 点 M ， 使 BM<1” ， 则 可 得 ∠BAM<∠BAD时事件N发生.
9
题号
1 2 3 4
答案
1 3 π 4
0.18
1 3
解析
由题意知，这是个几何概型问题，
SS阴 正＝1108000＝0.18， ∵S正＝1， ∴S阴＝0.18.
题型一 与长度、角度有关的几何概型
例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cos π x的值介
2
于0到
1 2
源自文库
之间的概率.
解 如图，由函数
思维点拨
解析
求随机点所在区域与所 有区域的面积或体积比.
距离大于2的概率是________.
题型二 与面积、体积有关的几 何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于2的概率是________.
思维点拨
解析
如图所示，正方
思维点拨
解析
易知该阴影部分的面积为4
－π.因此满足条件的概率 是 4－π .
4
思维点拨
解析
例2 (2)有一个底面圆的半径为
1、高为2的圆柱，点O为这个圆
柱底面圆的圆心，在这个圆柱内
随机取一点P，则点P到点O的距
离大于1的概率为________.
思维升华
例2 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为2的圆柱，点O为这个圆 柱底面圆的圆心，在这个圆柱内 随机取一点P，则点P到点O的距
形OABC及其内
部为不等式组
表示的区域D，
且区域D的面积为4，而阴影
部分表示的是区域D内到坐
标原点的距离大于2的区域.
题型二 与面积、体积有关的几 何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
4－π 距离大于2的概率是____4____.
由几何概型的概率公式，
得 P(N)＝3705°°＝25.
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
解析
思维升华
几何概型有两个特点：一是
无限性；二是等可能性.基 本事件可以抽象为点，尽管
这些点是无限的，但它们所
思维点拨
解析
思维升华
求随机点所在区域与所 有区域的面积或体积比.
离大于1的概率为________.
例2 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为2的圆柱，点O为这个圆 柱底面圆的圆心，在这个圆柱内 随机取一点P，则点P到点O的距
题型二 与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于2的概率是________.
题型二 与面积、体积有关的几 何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
占据的区域都是有限的，因
此可用“比例解法”求解几 何概型的概率.
跟踪训练1 (1)(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一 3
个数X，则X≤1的概率为____5____.
解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1， 即－2≤X≤1的概率为P＝3 .
5
(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于 1
数学 苏（理）
第十二章 概率、随机变量及其概率分布
§12.3 几何概型
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.几何概型 设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图 形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点， 区域D内的每一点被取到的机会都 一；样随机事件A的 发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点. 这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积 等)成 正比 ，与d的 形状 和位置 无关.把满足这样条件 的概率模型称为几何概型.
思维升华
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
解析
思维升华
解 因为∠B＝60°，∠C＝ 45°，所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝ 3 ，
∠B＝60°，
所以BD＝ tanAD60°＝1，
随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )
(3) 在 几 何 概 型 定 义 中 的 区 域 可 以 是 线 段 、 平 面 图 形 、 立 体 图
形.( √ ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝1.( × )
y＝cos πx的图象知，
2
当－1<x<－23或23<x<1 时，
π1 0<cos 2x<2. 由概率的几何概型知：
2
cos
π 2x
的值介于
0
到12之间的概率为32＝13.
解析
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
直 径 的 弦 ， 则 弦 长 超 过 圆 内 接 等 边 三 角 形 边 长 的2 概 率 是 _解__析____记_.事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边 长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直 径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时， 就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于 CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得： P(A)＝12×2 2＝12.
2.在几何概型中，事件A的概率计算公式 d的测度
P(A)＝ D的测度 .
3.几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 无限多个 ； (2)等可能性：每个结果的发生具有 等可能性 .
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )
∠BAD＝30°.
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
解析
思维升华
记 事 件 N 为 “ 在 ∠BAC 内 作 射 线 AM 交 BC 于 点 M ， 使 BM<1” ， 则 可 得 ∠BAM<∠BAD时事件N发生.
9
题号
1 2 3 4
答案
1 3 π 4
0.18
1 3
解析
由题意知，这是个几何概型问题，
SS阴 正＝1108000＝0.18， ∵S正＝1， ∴S阴＝0.18.
题型一 与长度、角度有关的几何概型
例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cos π x的值介
2
于0到
1 2
源自文库
之间的概率.
解 如图，由函数
思维点拨
解析
求随机点所在区域与所 有区域的面积或体积比.
距离大于2的概率是________.
题型二 与面积、体积有关的几 何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于2的概率是________.
思维点拨
解析
如图所示，正方
思维点拨
解析
易知该阴影部分的面积为4
－π.因此满足条件的概率 是 4－π .
4
思维点拨
解析
例2 (2)有一个底面圆的半径为
1、高为2的圆柱，点O为这个圆
柱底面圆的圆心，在这个圆柱内
随机取一点P，则点P到点O的距
离大于1的概率为________.
思维升华
例2 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为2的圆柱，点O为这个圆 柱底面圆的圆心，在这个圆柱内 随机取一点P，则点P到点O的距
形OABC及其内
部为不等式组
表示的区域D，
且区域D的面积为4，而阴影
部分表示的是区域D内到坐
标原点的距离大于2的区域.
题型二 与面积、体积有关的几 何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
4－π 距离大于2的概率是____4____.
由几何概型的概率公式，
得 P(N)＝3705°°＝25.
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
解析
思维升华
几何概型有两个特点：一是
无限性；二是等可能性.基 本事件可以抽象为点，尽管
这些点是无限的，但它们所
思维点拨
解析
思维升华
求随机点所在区域与所 有区域的面积或体积比.
离大于1的概率为________.
例2 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为2的圆柱，点O为这个圆 柱底面圆的圆心，在这个圆柱内 随机取一点P，则点P到点O的距
题型二 与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于2的概率是________.
题型二 与面积、体积有关的几 何概型
例2 (1)设不等式组 00≤ ≤xy≤ ≤22，表
示的平面区域为D，在区域D内随 机取一个点，则此点到坐标原点的
占据的区域都是有限的，因
此可用“比例解法”求解几 何概型的概率.
跟踪训练1 (1)(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一 3
个数X，则X≤1的概率为____5____.
解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1， 即－2≤X≤1的概率为P＝3 .
5
(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于 1
数学 苏（理）
第十二章 概率、随机变量及其概率分布
§12.3 几何概型
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.几何概型 设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图 形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点， 区域D内的每一点被取到的机会都 一；样随机事件A的 发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点. 这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积 等)成 正比 ，与d的 形状 和位置 无关.把满足这样条件 的概率模型称为几何概型.
思维升华
例1 (2)如图所 示，在△ABC中， ∠B＝60°，∠C ＝45°，高AD＝ 3，在∠BAC内 作射线AM交BC于点M，求BM<1 的概率.
解析
思维升华
解 因为∠B＝60°，∠C＝ 45°，所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝ 3 ，
∠B＝60°，
所以BD＝ tanAD60°＝1，