一种改进的小波阈值去噪方法

来稿日期：２０１１－１１－
２０ 作者简介：刘艳霞（１９７９－）
，女，河北赤城人，讲师，硕士．一种改进的小波阈值去噪方法
刘艳霞，刘建军，曹燕燕
（河北北方学院信息科学与工程学院，河北张家口０７５０００
） 摘要：为了改进滤波效果，提高去噪质量，在分析目前被广泛应用的软、硬阈值去噪方法的基础上，提出
了一种改进的阈值去噪方法．该方法既兼顾了软、硬阈值函数的优点，同时又在一定程度上弥补了它们在图像
去噪中的缺陷．有效克服了硬阈值法去噪信号失真的和软阈值法细节模糊现象．仿真结果表明：该方法可以有
效地去除白噪声干扰，无论在视觉效果上还是在信噪比定量指标上均明显优于传统的软、硬阈值算法，达到良
好的去噪效果．
关键词：小波变换；硬阈值；软阈值；阈值函数；去噪
中图分类号：ＴＮ　９１１．７ 文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－１４９２（２０１２）０１－００３０－
０４Ａｎ　Ｉｍｐ
ｒｏｖｅｄ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｗａｖｅｌｅｔ　Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　Ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇＬＩＵ　Ｙａｎ－ｘｉａ，ＬＩＵ　Ｊａｎ－ｊ
ｕｎ，ＣＡＯ　Ｙａｎ－ｙａｎ（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｊ
ｉａｋｏｕ　０７５０００，Ｈｅｂｅｉ　Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ　
ｐｕｔ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｏ　ｐｒｏｍｏｔｅ　ｔｈｅ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇｅｆｆｅｃｔ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｑｕａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ　
ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｆｔ　ａｎｄ　ｈａｒｄ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ．Ｉｔ　ｍａｉｎ－ｔａｉｎｓ　ｔｈｅ　ａｄｖａｎｔａｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｆｔ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ａｎｄ　ｈａｒｄ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ　
ｍｅｔｈｏｄ．Ａｔ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｔｉｍｅ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄ　ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｌａｃｋ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ａｌｇ
ｏｒｉｔｈｍｓ　ｉｎ　ａ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｅｘｔｅｎｔ．Ｉｔ　ｉｓ　ａｎ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏｏｖｅｒｃｏｍｅ　ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ　
ｔｈｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｏｆ　ｈａｒｄ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｏｒ　ｖａｇｕｅ　ｄｅｔａｉｌｓ　ｏｆ　ｓｏｆｔ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｓｈｏｗ：ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｒｅｍｏｖｅ　ｔｈｅ　ｗｈｉｔｅ　ｎｏｉｓｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｇ
ｏｏｄ　ｒｅ－ｓｕｌｔｓ．Ｉｔ　ｉｓ　ｂｅｔｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｓｏｆｔ　ａｎｄ　ｈａｒｄ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｖｉｓｕａｌ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ａｎｄ　ｓｉｇ
ｎａｌ　ｔｏ　ｎｏｉｓｅ　ｒａｔｉｏｑ
ｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｉｎｄｅｘ．Ｋｅｙ　
ｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｈａｒｄ－ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ；ｂｏｆｔ－ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ数字图像在采集与传输等过程中，不可避免地会受到大量噪声的干扰．当噪声较严重时，会直接影响
图像的分割、识别和理解．因此，从含噪信号中提取有用信息是非常必要的［１］．
近年来，随着小波理论的不断完善和小波研究的不断深入，小波分析的应用也日趋广泛．其中，小波分析的一个重要应用之一是对信号进行去噪处理，小波分析比传统的傅里叶分析更加具有优越之势．小波去噪方法大致可分为三类，第一类是基于小波变换模极大值原理去噪；第二类是对含噪信号作小波变换，然后计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性区别小波系数的类型去噪；第三类是阈值去噪，即对小波系数设置阈值，在众多小波系数中，把绝对值较小的小波系数置为零，而让绝对值较大的系数保留或
收缩，然后对阈值处理后的小波系数进行小波逆变换，直接进行信号重构，即可达到去噪的目的［２－５］．
１　小波阈值去噪原理［６－８］
小波阈值收缩法是Ｄｏｎｏｈｏ和Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ于１９９２年提出的，主要理论依据为：信号在小波域内的能量主要集中在有限的几个小波系数中，而噪声的能量却分布在整个小波域内．因此经小波变换后，信号的小波变换系数大于噪声的小波变换系数．这样就可以找到一个合适的数作为阈值，当小波的变换系数小于该阈值时，认为这时的小波系数主要是由噪声引起的进行去除；当小波系数大于该阈值时，则认为其主要是
第２８卷第１期２０１２年２月 （自然科学版）Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（
Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１２
由信号引起的进行保留．只要阈值选择合适，对小波系数进行阈值处理，就可以达到去除噪声而保留有用信号的目的．这就是传统的小波阈值去噪算法．
假设有以下观测信号：
ｆ（
ｋ）＝ｓ（ｋ）＋ｎ（ｋ） ｋ＝０，１，２，……，Ｎ－１（１）其中，ｓ（ｋ）为原始有用信号，ｎ（ｋ）为方差为σ２的高斯白噪声，服从Ｎ（０，σ２）．
因为小波变换具有线性性质，对观测信号ｆ（ｋ）＝ｓ（ｋ）＋ｎ（
ｋ）作离散小波变换之后，得到的小波系数ｗｊ，ｋ，仍由两部分组成，一部分是有用信号ｓ（ｋ）对应的小波系数Ｗｓ（ｊ，ｋ），记为ｕｊ，
ｋ，另一部分是噪声ｎ（ｋ）对应的小波系数Ｗｎ（ｊ，ｋ），记为ｖｊ，
ｋ．一般来讲，小波阈值去噪方法可分为以下三个步骤：
１）对含噪信号ｆ（ｋ）作离散小波变换，得到一组小波系数ｗｊ，ｋ；
２）通过对ｗｊ，ｋ进行阈值处理，得出估计小波系数＾ｗｊ，ｋ，使得‖＾ｗｊ，ｋ－ｕｊ，ｋ‖尽可能小（ｕｊ，
ｋ为实际有用信号对应的小波系数）
；３）利用估计小波系数＾ｗｊ，ｋ进行小波重构，得到估计信号＾ｆ（
ｋ），即为去噪之后的信号．需要说明，在小波阈值降噪方法中，最关键的是阈值函数和阈值的选取．
阈值函数的常用方法有两种：
硬阈值：＾ｗｊ，ｋ＝
ｗｊ，ｋ…｜ｗｊ，ｋ｜≥λ０…｜ｗｊ，ｋ｜＜｛λ（２）软阈值：＾ｗｊ，ｋ＝
ｓｉｇｎ（ｗｊ，ｋ）（｜ｗｊ，ｋ｜－λ）…｜ｗｊ，ｋ｜≥λ０…｜ｗｊ，ｋ｜＜｛λ
（３）式中，ｗｊ，ｋ为多分辨率下的小波系数，＾ｗｊ，ｋ为处理后的系数，
λ＝σ２ｌｏｇ（Ｎ槡）为阈值，Ｎ为信号的长度，σ代表高斯噪声级数，即标准差，它可以用下式估计到，即＾σ＝ｍｅｄｉａｎ｜Ｄｅｔｌ｜０．６７４５
（４
）其中Ｄ
ｅｔｌ代表最精细层的小波系数．
图１显示了软阈值和硬阈值的区别．
（ａ） （ｂ
）（ａ）软阈值函数 （ｂ
）硬阈值函数图１　各种阈值函数比较
２　新阈值函数的构造研究
软阈值与硬阈值函数在实际中经常使用，也取得较好的去噪效果，但从图１中可以看出，用软阈值法估计得到的小波系数＾ｗｊ，ｋ整体连续性好，从而使估计信号不会产生附加震荡，但当｜ｗｊ，ｋ｜≥λ时，小波系数＾ｗｊ，ｋ与原始ｗｊ，ｋ总存在着恒定的偏差，直接影响着去噪后重构信号与真实信号的逼近程度，造成了有些高频信息损失，图像的边缘模糊；硬阈值法在均方误差意义上优于软阈值法，但由于硬阈值处理函数在λ
２０１２年２月刘艳霞等：一种改进的小波阈值去噪方法第１期
处不连续，在含有丰富边缘图像中会产生许多“人为的”噪声点，从而导致所得到的估计信号会产生附加震荡，产生伪ＧｉｂｂＳ效应等视觉失真现象，不具有同原始信号一样的光滑性．为了克服软阈值与硬阈值方法的缺点，结合软阈值与硬阈值方法各自的特点，构造了一种新的阈值函数．
＾ｗｊ，ｋ＝
０…｜ｗｊ，ｋ｜＜λ１
（ｓｉｇｎ（ｗ
ｊ，ｋ
·λ
２
／ｌｎ　２）·（１＋（｜ｗ
ｊ，ｋ｜－λ１
）／（λ
２－λ１
）…λ
１≤｜ｗｊ，ｋ｜≤λ２
ｗｊ，ｋ…λ２＜｜ｗｊ，ｋ
烅
烄
烆｜
（５）
新的阈值函数当｜ｗ
ｊ，ｋ｜＝λ１｜时＾ｗ
ｊ，ｋ＝０
，当｜ｗ
ｊ，ｋ｜＝λ２
时＾Ｗ
ｊ，ｋ＝ｗｊ，ｋ
，当λ
１≤｜ｗｊ，ｋ｜≤λ２
时．＾ｗ
ｊ，ｋ
介于０与ｗ
ｊ，ｋ
之间．克服了硬阈值函数的不连续与软阈值函数恒定的偏差．因此，新的阈值函数可以得到比软阈值函数和硬阈值函数更好的去噪效果．
３　实验仿真结果
为了表明新的阈值函数比传统的小波阈值去噪算法具有有效性和优越性，本文在ＭＡＴＬＡＢ７．０环境下进行仿真实验，分别使用软、硬阈和新值函数去噪．图２是对２５６＊２５６的标准灰度图像Ｌｅｎａ，加入噪声方差为２０去噪后的效果．阈值采用的是Ｄｏｎｏｈｏ的统一阈值即：λ２＝σ２ｌｎ
槡Ｎ，λ１＝０．５λ２．表１是新阈值函数与原有软、硬阈值函数在不同噪声方差下去噪结果的Ｐ
ＮＳＲ比较．
（ａ
）加噪图像（ｂ）软阈值函数去噪
（ｃ）硬阈值函数去噪（ｄ）新阈值函数去噪
图２　新阈值函数去噪效果
２０１２年２月 河北北方学院学报（自然科学版） 第１期
２０１２年２月刘艳霞等：一种改进的小波阈值去噪方法第１期
表１　新阈值与软、硬阈值函数ＰＮＳＲ比较（单位：ｄｂ）
噪声方差含噪图像软阈值函数硬阈值函数改进阈值函数１６　２４．０５２　６　２４．３５９　７　２５．７１２　６　２７．７５２　８
１８　２３．０１８　２　２４．１１６　３　２５．２８３　４　２７．２４１　４
２０　２２．１１２　９　２３．８９９　７　２５．０７５　３　２６．８２１　５
２２　２１．２４１　４　２３．７０２　８　２４．７４６　９　２６．３４９　２
２５　２０．２０７　２　２３．４７３　９　２４．３９７　８　２５．８４１　８
通过表１中的数据可以看出，新阈值函数的去噪效果比原有的软阈值函数和硬阈值函数具有明显的优势．噪声的方差愈低，改进算法的去噪效果越明显．另外，从图２中可以看出，可以看到新阈值函数与传统的小波阈值去噪效果相比，本文方法明显具有良好的去噪性能，对于带有高斯白噪声的图像可以较为清晰地恢复出原始图像，比较完好地恢复图像边缘信息，对硬阈值函数去噪后的Ｇｉｂｂｓ现象和软阈值函数去噪后的细节模糊现象都有不同程度的改善．可见，本文新阈值函数可以得到稳定的较令人满意的降噪效果，是一种有效的小波系数估计方法，符合现实去噪要求．
４　结束语
由于小波变换的时频特性以及噪声和有用信号的频率分布特点，使得小波去噪具有较好的优势．本文根据小波阈值去噪的基本原理，在传统软阈值函数和硬阈值函数基础上构造了新的阈值函数，新阈值函数在兼顾了软、硬阈值函数的优点的同时又在一定程度上弥补了这两种方法的缺陷．从仿真实验得出的结果可以看出，本文方法的去噪效果无论在视觉上还是在信噪比方面都优于传统的软、硬阈值方法，因此新阈值函数是可行而且非常有效的，具有良好的应用前景．
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［责任编辑：刘守义　英文编辑：刘彦哲］。