过程系统工程过程数学模型的建立与模拟优秀课件

自由度 d = m – n = 2（c + 2）= 2c + 4
自由度分析结果
c+2
n=c+2
c+2
c+2
混合器自由度分析
一般在标准型计算中，给定输入两股物流的独立变量数 2（c+2），根据 独 立方程 n = c + 2，求出输出流股的（c+2） 个独立变量。
也可根据模拟任务要求作其它 2（c+2）个独立变量的指定。
对于一个由 c 个组分构成的流股：
流股的独立变量数 = c + 2
（c + 2）个独立变量数通常是指流股的温度 T、压力 P、各组分流量Fi （i=1，2，……，c）。
在两相共存的情况下，可用焓 H 代替温度 T 。温度不能直接反映两相量的 多少，而根据焓就能够了解这一情况。
各组分流量 Fi 也可以用总流量 F 和（c-1）个组分的含量来代替。
过程系统工程过程数学模型的 建立与模拟
2.4 化工过程数学模型的建立与模拟
2.4.1 化工单元过程的自由度分析
过程模拟从本质上讲就是用不同的方法求解不同类型、不同规模的方程组。 设所需求解的问题有 m 个未知变量，可列出的独立方程数有 n 个，则方程组求解问题 的自由度 d = m - n，当且仅当 d = 0 时方程组才有唯一解。
由 由度 d=m-n
·独立方程的类型 物料平衡、焓平衡方程、相平衡方程、温度与压力平衡
及 其它有关的独立方程。
在进行具体化工单元自由度分析之前，应先弄清两点： ① 一个涉及到 c 个组分的系统只有 c 个独立的物料衡算 方程，这是显而易见的。一般可列出(c+1)个物料衡算方程， 即总物料衡算方程和 c 个组分物料衡算方程 。但其中只有c 个是独立的 ，第(c+1)个方程总可以由其它 c 个方程推导出 来，不是独立的。
其中，对(s-1)个αj指定，也就是考虑了分流比约束方程，不能自由设 定全部 s 个 αj 。
m 与 n 的关系有以下三种情况： m = n ，即独立方程数与未知变量数正好相等，方程组有唯一解。
m﹤ n ，即独立方程数多于未知变量数 ，方程组有多余的方程，不同方程之间出 现矛盾，称为矛盾方程组，方程组无解。
m﹥ n ，未知变量数多于独立方程数，方程组有无穷多组解，称为不定方程组。
只有将多余的 d = m – n 个未知变量值事先给定，使得真正的未知数减少 d 个 ， 未知变量数等于独立方程数，方程组才有唯一解。
② 在实际模拟计算中，尽管列出的方程不都是独立的，但同 时涉及到的变量数也同步增加，最终对自由度 d 并不产生影 响。如物性参数及热力学参数的计算式，增加一个焓计算方程 H = f（T，P，X），就增加了一个变量 H。
（1）混合器（Mixer）
图示一个简单的混合器，假设没有热量产生或输入。
F1，T1，P1Biblioteka Baiduz1
MIXER
F2，T2，P2，z2
F3，T3，P3，z3
混合器模型
独立变量数：m = 3（c+2）
独立方程数：
方程名称
方程数
·组份物料平衡
F1zi1 + F2zi2 = F3zi3
c
i=1，2，…，c
·焓平衡
H1F1 + H2F2 = H3F3
1
·压力平衡
P3 = min（P1，P2）
1 n=c+2
独立方程数:
独立方程名称
方程数
·物料平衡方程
分流 Fj=αjF j = 1,2,…,s-1 ·总物料平衡
s-1 1
·各组分组成相同:
zk,j = zk,F k = 1,2,…,c-1 ；j = 1,2,…,s
s(c - 1)
·温度相同:
Tj = TF
j = 1,2,…,s
s
·压力相同:
Pj = PF
（2）流股分割器(Stream splitter)
输入一股物流，分成 s 股物流输出，过程无热交换，无反应。
F，TF，PF，zF
Stream
1 2
3
…
splitter
s
分割器模型
独立变量数: 输入流股 输出流股 设备参数（分流比αj）
c+2 s(c + 2)
s-1
m = (s + 1)(c + 2) + s - 1
所以，对于一个化工过程，自由度不能直接由相律求出。而是应针对具体对 象，分别列出独立变量数 m 和独立方程数 n ，最后求出自由度 d 。
化工单元或流程的独立变量数 m 无非由两种变量构成： 一种是流股的独立变量； 一种是单元的设备参数——如分流器的分流比、换热器的热负荷、泵与压缩
机的压力降ΔP、反应器的反应程度等。
流股的独立变量数，就是流股所需指定的最少变量数。
从直观上看，不用计算流股的方程数及变量数，便可知道： 若指定了 T、P 及各组分流量，则在相平衡、化学平衡条件下 这一流股便被完全确定了。
从 理 论 上 讲 ， 可 根 据 著 名 的 杜 亥 姆 定 律 （ Duham’s Theorem）来证明这一直观认识。其定律内容为：“对于一个 已知每个组分的初始质量的封闭系统，其平衡态完全取决于两 个变量而不论有多少相，多少组分或多少化学反应。”这两个 独立变量就是温度与压力。
自由度 d = m - n
化工过程的自由度该如何确定？能否直接用经典的自由度法则——“相律”来确定？ 相律：对于一个多组分、多相的平衡系统，自由度
d=c–p+2 即 d 个独立变量确定后，系统就被完全确定。 但是，相律只适用于强度变量——即独立于系统大小的那些变量，如 T、P、化学位、 浓度等，对于流程模拟中要涉及到的流率、体积等扩展变量——即与系统大小密切相 关的变量并不适用。
在此需注意一点：由于在利用杜亥姆定律求流股自由度的过程中，方程用到
了流股的摩尔分数加和方程
c
xi
1，所以在此后的化工单元及流程的自由度分析
i1
中，该方程不再作为独立方程列出，已隐含在流股（c+2）个独立变量数的信息
之中。
·基本步骤 求出该单元的所有输入和输出流股的独立变量数与设备
参 数的总数 m，以及该单元的独立方程数 n，最后求出自
j = 1,2,…,s
s n = s(c + 2)
自由度 d = m - n = c + s + 1
c+2
…
c+2
n=s（c+2）
s个
c+2
s-1
分割器自由度分析
由自由度分析图可知：标准型模拟需事先给定输入流股变量(c+2)个，设备 参数（分流比αj ）(s-1)个，据 s(c+2)个方程，可求出 s 个流股的独立 变量 s(c+2)个。