建筑力学电子扭转

x
A1
建筑力学电子教案
TA
1 TB 2 TC 3 TD
TA
A a1 B a2 C a3 D
A
TB 2 MT 2 x
Βιβλιοθήκη BaiduB2
2-2截面： 得
MT2= TB - TA = 3.5 - 2 = 1.5 kN.m
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同理得
MT3 = 0.5 kN.m
由此,可作扭矩图如下：
TA
TB
TC
TD
Aa Ba Ca D
变。而有切应变则圆筒横截
面上必有平行于横截面的应
l
力——切应力作用。
由于各纵线都倾斜了同一角度 g ，说明圆周上各
点横截面上的切应力相同。又由于筒壁 很小，所以 可以近似认为横截面上切应力沿 方向分布也是均匀
的，因此，横截面上任一点处切应力相等，而且其方向
与圆周相切。
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这个扭转模型与实验结果基本一致。
扭转问题一般不会单纯，现略去其它的变形来单独讨论
。
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外力偶矩计算
已知：传动轴转速n（单位：转/分钟 即r/min）
传动功率Nk（单位：千瓦，即kw）
则外力偶矩为： 外力偶矩转向
T 9.549 N k kN m n
主动轮上外力偶矩转向与轴的转向相同。
从动轮上外力偶矩转向与轴的转向相反。
MT1 TB TC TD
A 1 B 2 C 3D
a
a
a
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例9-1 一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外
力偶矩之大小分别是：TA=2 kN.m , TB=3.5kN.m , TC =1 kN.m
, TD = 0.5 kN.m , 转向如图。试作该传动轴之扭矩图。
TA
TB
TC
思考题9-2 参考答案：
0.1m
2 kN 0.1m
4 kN
1 kN 0.2m
1m
1m
MT /kN.m
x
0.2 O 0.4
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思考题9-3 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应
力？为什么？
答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不 可能是个作用在横截面上的力偶。
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§9-1 扭矩和扭矩图
杆件在两端受一对大小相等，方向相反、作用在垂直 于杆轴线的平面内的力偶作用，杆的各横截面绕轴线作相 对转动，而杆的纵向线变成螺旋线的变形形式称为扭转。
T
a Oo
A
m ml
bb b′ Oo′ B
T
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T a Oo
A
m ml
bb b′ Oo′ B
T
力偶矩——使杆发生扭转的外力偶产生的力矩，相
MT (kN.m) 1.5 0.5
+ x
2
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思考题9-1 该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？
TA
TB
TC
TD
Aa Ba Ca D
MT (kN.m) 1.5 0.5
+ x
2
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思考题9-2 作杆的扭矩图。
0.1 m 4 kN
0.2m 1m
2 kN 1 kN
1m
0.1 m
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当于拉压变形中的外力。
扭矩——杆扭转时，作用在杆横截面上的内力是一
个在截面平面内的力偶，其力偶矩即扭矩，相当于拉压变
形中的轴力（内力）。 扭转角——任意两横截面绕轴线转动而发生的相对角
位移.
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非圆截面杆扭转时横截面会发生翘曲，不再是平面，故 无法用材料力学方法求解。因此，本节只讨论圆截面等直杆 的扭转，它的工程背景是常用的传动轴。
各圆周线绕轴线作相对转动；各纵
l
向线仍然平行、但均倾斜了同一个
角度。从而所有矩形都变成了平行
四边形。
从（1）可知圆筒上无拉压变形。说明筒上无轴向外
力，横截面上无正应力。
从（2）可知圆筒相邻的两横截面发生了相对错动。 这种变形叫剪切变形。
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因错动而倾斜的角度，
T
g (rad)
φ T
即直角的改变量 g 称为切应
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
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T a Oo
A
T
m
ml m
MT x
bb b′ Oo′ B
T
m
由图示任意横截面m－ m左边一段杆的平衡条件可知， 受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力 偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号MT表示。
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T a Oo A
m ml
TD
A a
B a
C
D
a
解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即 可作出扭矩图。
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分别作截面1-1、 2-2、3-3，如右图 所示。
考虑1-1截面 1-1截面：
TA
1 TB 2 TC 3 TD
A a1 B a2 C a3 D
得 MT1= -TA = -2 kN.m
TA
1
MT 1
§9-2 薄壁圆筒扭转时的应力与应变
g (rad)
φ
T
T
平均半径为 r。厚度为δ
且δ«r。
l
取一薄壁圆筒，在其表面用等间距的圆周线和纵向 平行线画出矩形网格，然后在其两端施加一外力偶，其 矩为T，从其变形情况可见：
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g (rad)
T
（1）两相邻圆周线间距不变；
φ
T
（2）各圆周线的形状、大小未改变；
b b′
b o
O′ B
T
m
MT
m
由
∑Mx（F）= 0
T – MT = 0
即
MT = T
T x
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扭矩的正负号由右手螺旋法则规定：
使卷曲右手的四指其转向与扭矩MT的转向相同，若大 拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。 例：
MT
MT
(a)
(b)
扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。
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一般不必将轴假想地截开，可以直接从横截面左側
或右側轴上的外力耦矩来求得横截面上的扭矩：
横截面上的扭矩在数值上等于该截面左側或右側轴
上的外力耦矩的代数和。
规定外力耦矩的正负为: 以右手的四指表示外力耦
矩的转向，则大拇指的方向离开横截面为正；指向横截
面为负。
TA
1 TB 2 TC 3 TD
T
φ
MT（ MT =T）
上述内容主要说明： （1）薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同； （2）薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等； （3）薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。
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知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利用静力学关系
MT
t dA r
A
t 因为 与 r 无关，所以 r 可以用平均半径 r0 代替
则 从而有
MT
t r0
dA
A
t
r0
A
t MT /(r0 A)
MT /(r0 2π r0 )
MT /(2π r02 )
(8-1)
上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在 假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。
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