第三章 第五节 演化博弈模型

A：“进入”的群体比例为x “不进”的群体比例为1-x B：“打击”的群体比例为y “不打击”的群体比例为1-y
在位者群体的复制动态方程： FB y
dy y U Bs U B y 1 y 2 x dt
在位者的群体复制动态相位图为：
dy/dt
dy/dt
0
（四）蛙鸣博弈的复制动态和ESS
蛙B 鸣 蛙 鸣 A 不鸣
P-z ， P-z 1-m， m-z
不鸣
m-z ， 1-m 0， 0
m、P为求偶成功的概率 z为机会成本(体力消耗、危险性等)
满足：m ∈ (0.5,1]，m<P≤1 令x为采用“鸣”策略的群体比例，1-x为采用“不鸣”策略的群体 比例 则复制动态方程F(x)：
x*=0和x*=1为ESS
0 11/61 1
x
这意味着： 当初始x<11/61时，ESS为x*=0;
图2 协调博弈的复制动态相位图
当初始x>11/61时，ESS 为x*=1.
（四）鹰鸽博弈的复制动态和ESS
鹰 甲
乙 鸽 v ，0 v/2 ，v/2
(v-c)/2 鹰 (v-c)/2，
鸽
0 ，v
令x为采用“鹰”策略的群体比例，1-x为采用“鸽”策略的群体比 例 则复制动态方程F(x)：
x
（二）一般两人对称博弈
甲 S1 S2
乙 S1 a，a c， b S2 b ，c d，d
群体中采用S1的比例为x，S2的比例为1-x，对于甲
U1 x a 1 x b
U2 x c 1 x d
U x U1 1 x U2
则复制动态方程F(x)：
当时间趋于无穷大时，博弈参与方策略选择行为是怎样的？ 这就是演化博弈稳定性问题,一个稳定状态必须对微小扰 动具有稳健性才能称为演化稳定策略。也就是说，如果我 们假定为演化稳定策略的稳定点，则该点除了本身必须是 均衡状态以外，还必须具有这样的性质：如果某些博弈方 由于偶然的错误偏离了它们，复制动态仍然会使x回复到 x*。在数学上，这相当于要求：当干扰使x低于时x* ， dx/dt必须大于0；当干扰使得x出现高于时x*， dx/dt必 须小于0，这就要求这些稳定状态处于的导数必须小于0。 演化稳定策略的影响因素分析
竞争者群体的复制动态方程： FA x
dx x U Ae U A x 1 x 1 2 y dt
竞争者的群体复制动态相位图为：
dx/dt
dx/dt
dx/dt
0 1
x
0 1
0
1
x
x
(a) y=1/2 x*∈[0,1]
(b) y>1/2 ESS： x*=0
(c) y<1/2 ESS： x*=1
(一） 市场阻入博弈
竞争者
有两个群体：竞争者和在位者
不进入
打击 竞 进入 争 者 不进 0 ，0 1 ，5 在位者 不打击 2 ， 2 1， 5
进入 在位者 打击 (0,0) 不打击 (2,2)
(1,5)
采用A表示竞争者，B表示在位者
打击 A 进入 不进 0 ，0 1 ，5 B 不打击 2 ， 2 1， 5
dx F x x 1 x m z 1 P x dt
稳定状态：x*=0，x*=1，x*=(m-z)/(1-P)
蛙B 鸣 蛙 鸣 A 不鸣
P-z ， P-z 1-m， m-z
不鸣
m-z ， 1-m 0， 0
F x
dx x 1 x m z 1 P x dt
假设： A：“进入”的群体比例为x “不进”的群体比例为1-x B：“打击”的群体比例为y “不打击”的群体比例为1-y
对A而言：
U Ae y 0 1 y 2 2 2 y
U An y 1 1 y 1 1
U A x U Ae 1 x U An 2x 1 y 1 x
蛙B 鸣 蛙 鸣 A 不鸣
P-z ， P-z 1-m， m-z
不鸣
m-z ， 1-m 0， 0
F x
dx x 1 x m z 1 P x dt
② 若(m-z)/(1-P) <0，即z>m
③ 若(m-z)/(1-P) >1，即m-z>1-P
0 1
1
y
y
(a) x=0
(b) x≠0 ESS： y*=0
y*∈[0,1]
打击 A 进入 不进 0 ，0 1 ，5
B
不打击 2 ， 2 1， 5
A：“进入”的群体比例为x “不进”的群体比例为1-x B：“打击”的群体比例为y “不打击”的群体比例为1-y
误会逐渐改正，并不断模仿和改进过去自己和别人的最有利策 略。经过一段时间的模仿和改错，所有的博弈方都会趋于某个
稳定的策略。
复制动态实际上是描述某一特定策略在一个种群中被采用 的频数或频度的动态微分方程，可以用下式表示：
d xi dt xi [(usi , x) u ( x, x)]
演化博弈关注的问题
二、复制动态中的对称博弈
乙 Y N 0 ，0 0，0
Y：同意 N：不同意
（一）签协议博弈
甲
Y N
1，1 0， 0
假设：群体中“Y”的比例为x，“N”的比例为1-x,对于 甲
UY x 1 1 x 0 x
U N x 0 1 x 0 0
U x UY 1 x U N x2
在方法论上，它不同于博弈论将重点放在静态均衡
和比较静态均衡上，强调的是一种动态的均衡。演 化博弈理论源于生物进化论。
为什么将演化思想引入到博弈论中？
（1）博弈论对生物学的影响。博弈论的策略对应生
物学中的基因 ，博弈论的收益对应生物学中的 适应度。在生物学中应用的博弈论与经济学中的 传统博弈论最大区别就是非完全理性的选择。 （2）演化化思想对社会科学的影响。例如，在市场 竞争中，我们不必要去理性的想那个策略才是最 优的，最后能够在市场存活下来的企业，一定是
打击 A 进入 不进 0 ，0 1 ，5
B
不打击 2 ， 2 1， 5
A：“进入”的群体比例为x “不进”的群体比例为1-x B：“打击”的群体比例为y “不打击”的群体比例为1-y
对B而言：
UBs x 0 1 x 5 5 5x
UBn x 2 1 x 5 5 3x
则竞争者群体的复制动态方程FA(x)：
FA x
dx x U Ae U A x 1 x 1 2 y dt
打击 A 进入 不进 0 ，0 1 ，5
B
不打击 2 ， 2 1， 5
A：“进入”的群体比例为x “不进”的群体比例为1-x B：“打击”的群体比例为y “不打击”的群体比例为1-y
UB y UBs 1 y UBn 5 2xy 3x
则在位者群体的复制动态方程FB(x)：
dy FB y y U Bs U B y 1 y 2 x dt
打击 A 进入 不进 0 ，0 1 ，5
B
不打击 2 ， 2 1， 5
(v-c)/2 鹰 (v-c)/2，
鸽 v ，0 v/2 ，v/2
鸽
0 ，v
F x
dx v vc x 1 x x 1 x dt 2 2
① 假设v=2，c=12（表示种群间发生冲突导致的损失很大，大于和平共处所得到的收益）
dx/dt
1/6 0 1
F x
dx x 1 x x a c 1 x b d dt v vc x 1 x x 1 x 2 2
当F(x) =0时，x*=0，x*=1，x*=v/c为稳定状态
乙 鹰 甲
若x<x*，为使x→x*，应满足F(x)>0;
若x>x*，为使x→x*，应满足F(x)<0.
F(x)=dx/dt，t↑，则x↓
F(x)
这意味着：
x* 0 x
当F'(x*)<0，x*为ESS
（三）协调博弈的复制动态和ESS
复制动态方程F(x)：
甲 A B
乙 A 50，50 0，49 B 49，0 60，60
第五节 演化博弈模型
一、演化博弈思想
传统博弈理论的两个苛刻假设： （1）完全理性（2）完全信息 与传统博弈理论不同，演化博弈理论并不要求参与 人是完全理性的，也不要求完全信息的条件。 演化博弈论（Evolutionary Game Theory）把博弈 理论分析和动态演化过程分析结合起来的一种理论。
设：群体比例的动态变化速度为
dx x U Y U dt
dx 则： x 2 x3 dt
当x=0时，稳定；
复制动态方程
当x>0时，最终稳定于x*=1
dx/dt
dx x 2 x3 dt
乙 Y 甲 Y N 1，1 0， 0 N 0 ，0 0，0
0
1
图1 签协议博弈的复制动态相位图 x*=0，x*=1为稳定状态，此时，dx/dt=0 但x*=1为ESS，即最终所有人都将选择“Y”
乙 鹰 甲
(v-c)/2 鹰 (v-c)/2，
鸽 v ，0 v/2 ，v/2
鸽
0 ，v
F x
dx v vc x 1 x x 1 x dt 2 2
② 假设v=8，c=8（表示种群间和平共
处所得到的收益等于两者冲突导致的损失）
dx/dt
dx/dt
dx/dt
0 1
x
0 1
x
ESS： x*=0
ESS： x*=1
显然，当机会成本小于收益时，所有的雄蛙将选择“不鸣叫”。 当“鸣叫”的收益大于群体鸣叫而个别雄蛙“搭便车”的收益时，所有雄蛙都将鸣
叫。
三、复制动态中的非对称博弈
对称博弈：相似/相同群体中的演化博弈行为
非对称博弈：不同群体间的演化博弈行为
F x
dx x 1 x x a c 1 x b d dt x 1 x 61x 11
当F(x) =0时，x*=0，x*=1， x*=11/61为稳定状态
dx/dt
可知，当F '(0) <0ห้องสมุดไป่ตู้ F'(1)<0， 而F'(11/61)>0，则
③ 假设v=8，c=4（表示种群间和平共
处所得到的收益大于两者冲突导致的损失）
dx/dt
0
1
x
0
1
x
ESS： x*=1
在于当一方忍让时，另一方可获得更多收益。
ESS： x*=1
当c≤v时，种群间宁可发生冲突，也不愿意和平共处以获得更多的收益。主要原因
这是一种悲剧。目前，人类的现状和理性尚不能解决这种悲剧。
F „(0) >0, F‟(1)>0，而 F„(1/6)<0，
x
则ESS为： x*=1/6
当冲突损失严重时，例如c/v=6时，两个种群发生战争的可能性为1/36；和平共处的
可能性为25/36；一方霸道、一方忍让的可能性为10/36。
发生战争的可能性随着c/v比值的增加而降低，即：和平共处的可能性也随着增加。
适应能力最强的公司。
在演化博弈理论中，演化稳定策略 (Evolutionary Stable
Strategy, ESS)和复制动态(Replication Dynamics)是两个核
心概念。演化稳定策略是指在博弈的过程中，博弈双方由于有 限理性，博弈方不可能一开始就找到最优策略以及最优均衡点。
于是，博弈方在博弈的过程中需要不断进行学习，有过策略失
① 若(m-z)/(1-P) ∈ (0,1)，即1-P>m-z>0
dx/dt
mz 1 P
ESS： x*= (m-z)/(1-P)
1
0
x
在这种情况下，无论初始状况如何，最后总有(m-z)/(1-P)比例的雄蛙鸣叫。 当个别雄蛙“搭便车”的收益大于群体雄蛙“鸣叫”所获得的收益时，则总会存
在搭便车“不鸣叫”的雄蛙。
F x
dx x a c 1 x b d x U1 U x 1 x dt
当F(x) =0时，
复制动态稳定状态为：x*=0，x*=1，x*=(d-b)/(a-b-c+d)
稳定性定理
F(x)=dx/dt，t↑，则x↑