探索性问题解决策略

探索性问题的解决策略

扬州大学附属中学 何继刚

数学问题由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成，这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。

解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。高考题中一般对这类问题有如下思考方法：（1）直接法；（2）观察—猜测—证明；（3）赋值法；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）从特殊到一般；（7）从特殊到一般再到特殊；（8）等价转化。

（一）解决条件追溯型问题的主要策略

条件追溯型问题是针对一个结论，条件未知尚需探究，或条件增删尚需确定，或条件正误尚需判断。解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。

例1 当[]1,0∈x 时，不等式()()0sin 11cos 2

2>-+--θθx x x x 恒成立吗？若恒成

立，请给出证明。若不恒成立，请简述理由，并求出该不等式恒成立的条件。

解法1 反例：当2

π

θ=

时，该不等式不恒成立。若该不等式恒成立，令x=0, x=1， 由

已知条件可知0cos ,0sin >>θθ，

设()()θθsin 11cos )(2

2x x x x x f -+--=

θθθθsin )sin 21()sin cos 1(2

++-++=x x

()()θθθθθθθθθsin cos 14sin 21sin sin 2cos 22sin 21)sin cos 1(2

2

+++-

+⎪⎭⎫

⎝

⎛+++-++=x 由0cos ,0sin >>θθ 可知1sin 2cos 22sin 210,0sin cos 1<+++<>++θ

θθ

θθ

结合原不等式对任意[]1,0∈x 恒成立可知

()⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎨⎧

>+++-=>>0

)sin cos 1(4sin 21sin )(0cos 0sin 2min θθθθθθx f 可得212sin >θ 所以)(12

5212

2Z k k k ∈+

<<+

π

πθπ

π

解法2 反例同上。令x=0, x=1 由已知条件可知0cos ,0sin >>θθ，

当()1,0∈x ，原不等式变为0cos 1sin 12

>+⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθx x x x

令

t x

x

=-1 +∈R t 即0cos sin 2>+-θθt t 令θθθθθθsin 41cos sin 21sin cos sin )(2

2-

+⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=+-=t t t t f 所以0sin 41

cos )(min >-=θ

θt f

解得212sin >

θ 所以)(12

52122Z k k k ∈+<<+

π

πθππ 评注：本题先令x=0和x=1得到0cos ,0sin >>θθ，大大的缩小了θ的考察范围，为后面的解答提供的很大的方便。这种从特殊入手，探究一般规律的思维方法应在解题实践中认真学习。

例2 已知数列{}n a 的首项a a a (1=为常数），()

2242*21≥∈+-+=-n N n n n a a n n 。 （1）{}n a 是否可能是等差数列？若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由。 （2）设)2,(,*21≥∈+==n N n n a b b b n n ，n S 是数列{}n b 的前n 项的和，试求使{}n S 是等比数列的实数a ，b 满足的条件。

解：（1）由已知条件a a =1，(),......4,3,224221=+-+=-n n n a a n n 所以 2228422-=+-+=a a a 542129223-=+-+=a a a 882234-=+=a a a 22212-=--=-a a a a a 3223-=-a a a 3434-=-a a a

若{}n a 成等差数列，则2312a a a a -=-，得1=a ；由2334a a a a -=-，得0=a ，矛盾。

所以{}n a 是不可能是等差数列。 （2）因为 2n a b n n +=，

211)1(++=++n a b n n 22)1(2)1(4)1(2++++-++=n n n a n

()22222≥=+=n b n a n n

22422+=+=a a b

当1-≠a 时，0≠n b ，{}n b 从第2项起是以公比为2的的等比数列。 所以()()()()12221

21222111

-++=--++=--n n n a b a b S 。

2≥n

时，

()()()2

2212

22222122211

11--+⋅+---=--+⋅+--+⋅+=---a b a a b a b a a b a S S n n n n n 若{}n S 是等比数列，则

()21

≥-n S S n n

为常数。 如果1-≠a ，则022=--a b

如果1-=a ，则()32,012≥==-n b b b n n ，得()20≥=n b n

b b b b S n n =+++=∴ (21)

若{}n S 是等比数列，则0≠b

综上，{}n S 是等比数列，实数a ，b 满足的条件为

⎩⎨

⎧+=-≠221a b a 或⎩

⎨⎧≠-=01

b a 评注：本题是数列探究性问题，往往通过特殊的个体总结出一般的规律（1）要否定一个结论，只要通过前面几项即可，（2）的证明必须对每一项都要满足，所以要对第一项进行检验。另一方面，

)2(1

≥-n S S n n

为常数，也可以理解为 t a b a a b a n n =--+⨯+--+⨯+-2

22)1(2

22)1(1

（t 与n 无关）对n ≥2恒成立，即方程