【精品】2016年重庆市渝北区龙塔实验学校八年级上学期期中数学试卷带解析答案

2015-2016学年重庆市渝北区龙塔实验学校八年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4.00分）下面有4个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（4.00分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（4.00分）计算a6（a2）3的结果等于（）
A．a11B．a12C．a14D．a36
4．（4.00分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
5．（4.00分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角的度数是（）
A．50°B．65°C．25°D．65°或25°
6．（4.00分）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）
A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
7．（4.00分）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ 的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
8．（4.00分）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）
A．40°B．50°C．60°D．75°
9．（4.00分）如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA 交AC 于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD的长（）
A．10cm B．5cm C．3cm D．7cm
10．（4.00分）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）
A．50 B．62 C．65 D．68
11．（4.00分）如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为（）根．
A．165 B．65 C．110 D．55
12．（4.00分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于E、F两点，∠BAC、∠BFD的平分线交于点
I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI．下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4.00分）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是．
14．（4.00分）若点P（﹣2a，a﹣1）在y轴上，则点P的坐标为，点P 关于x轴对称的点为．
15．（4.00分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=．
16．（4.00分）若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为．17．（4.00分）已知，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=3，AD=2，则AC的取值范围是．
18．（4.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB 的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE为度．
三、解答题（本大题共2小题，19题8分，20题6分，共14分）
19．（8.00分）计算：
（1）（﹣5a3b2）•（﹣3ab2c）•（﹣7a2b）；
（2）3a2（ab2﹣b）﹣（2a2b2﹣3ab）（﹣3a）．
20．（6.00分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C 与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
21．（10.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE 于D，AD=5cm，DE=3cm，你知道BE的长吗？
22．（10.00分）已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2014的值．
23．（10.00分）如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：AB=AD；
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
24．（10.00分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
五、解答题（25题12分，26题12分．共24分）
25．（12.00分）请阅读下列材料：
已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45度．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它
条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
26．（12.00分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
2015-2016学年重庆市渝北区龙塔实验学校八年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4.00分）下面有4个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：D．
2．（4.00分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点为（﹣2，﹣3），
（﹣2，﹣3）在第三象限．
故选：C．
3．（4.00分）计算a6（a2）3的结果等于（）
A．a11B．a12C．a14D．a36
【解答】解：a6（a2）3=a6•a6=a12．
故选：B．
4．（4.00分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选：B．
5．（4.00分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角的度数是（）
A．50°B．65°C．25°D．65°或25°
【解答】解：在三角形ABC中，设AB=AC BD⊥AC于D
①若是锐角三角形，∠A=90°﹣40°=50°
底角=（180°﹣50°）÷2=65°
②若三角形是钝角三角形，∠A=40°+90°=130°
此时底角=（180°﹣130°）÷2=25°
所以等腰三角形底角的度数是65°或者25°．
6．（4.00分）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）
A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
7﹣3＜x＜7+3，
解得：4＜x＜10，
故选：C．
7．（4.00分）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ 的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110°﹣70°=40°
故选：B．
8．（4.00分）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）
A．40°B．50°C．60°D．75°
【解答】解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．
故选：B．
9．（4.00分）如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA 交AC 于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD的长（）
A．10cm B．5cm C．3cm D．7cm
【解答】解：作MF⊥AC于F，
∵ME∥BA，
∴∠MEF=∠BAC=30°，
∴MF=ME=5cm，
∵AM是∠BAC的平分线，MD⊥BA，MF⊥AC，
∴MD=MF═5cm，
故选：B．
10．（4.00分）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）
A．50 B．62 C．65 D．68
【解答】解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG
∴AF=BG，AG=EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故选：A．
11．（4.00分）如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为（）根．
A．165 B．65 C．110 D．55
【解答】解：根据题意得出规律每排放n根时总计有火柴数是：3（1+2+…+n）
=，
当每边摆10根（即n=10）时，需要的火柴棒总数为=165．
故选：A．
12．（4.00分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于E、F两点，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI．下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4.00分）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是10：51．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故答案为：10：51．
14．（4.00分）若点P（﹣2a，a﹣1）在y轴上，则点P的坐标为（0，﹣1），点P关于x轴对称的点为（0，1）．
【解答】解：根据题意，点P（﹣2a，a﹣1）在y轴上，
得出﹣2a=0，
∴a=0，
∴a﹣1=0﹣1=﹣1，
∴P点的坐标为（0，﹣1），
∵平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P关于x轴对称的点为（0，1），
故答案为（0，﹣1），（0，1）．
15．（4.00分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=25°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵∠ABE=40°，
∴∠EBC=90°﹣40°=50°，
根据折叠可得∠EBD=∠CBD，
∴∠CBD=25°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=25°，
故答案为：25°．
16．（4.00分）若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为7.5cm 或11cm．
【解答】解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边=26﹣11﹣11=4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；
②当11cm为底边时，则腰长=（26﹣11）÷2=7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形．
故答案为：7.5cm或11cm．
17．（4.00分）已知，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=3，AD=2，则AC的取值范围是1＜AC＜7．
【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即3﹣AC＜4＜3+AC，
∴1＜AC＜7．
故答案为1＜AC＜7．
18．（4.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB 的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE为65度．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=×50°=25°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣50°）=65°，∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=65°﹣25°=40°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=25°，
根据翻折的性质可得OF=CF，
∴∠COF=∠OCF=25°，
∴∠OFC=130°，
∴∠CFE=65°．
故答案为：65．
三、解答题（本大题共2小题，19题8分，20题6分，共14分）
19．（8.00分）计算：
（1）（﹣5a3b2）•（﹣3ab2c）•（﹣7a2b）；
（2）3a2（ab2﹣b）﹣（2a2b2﹣3ab）（﹣3a）．
【解答】解：（1）（﹣5a3b2）•（﹣3ab2c）•（﹣7a2b）
=﹣105a3+1+2b2+2+1c
=﹣105a6b5c；
（2）3a2（ab2﹣b）﹣（2a2b2﹣3ab）（﹣3a）
=3a3b2﹣3a2b+6a3b2﹣9a2b
=9a3b2﹣12a2b．
20．（6.00分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C 与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
【解答】解（1）如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形．
（2）由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4．
=，
∴S
四边形BB1C1C
==12．
四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
21．（10.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE 于D，AD=5cm，DE=3cm，你知道BE的长吗？
【解答】解：∵∠BCE+∠ACD=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∵在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD，（AAS）
∴AD=CE，BE=CD
∴BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2cm．
22．（10.00分）已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2014的值．
【解答】解：（1）∵点A、B关于x轴对称，
∴2a﹣b=2b﹣1，5+a﹣a+b=0，
解得：a=﹣8，b=﹣5；
（2）∵A、B关于y轴对称，
∴2a﹣b+2b﹣1=0，5+a=﹣a+b，
解得：a=﹣1，b=3，
﹙4a+b﹚2014=1．
23．（10.00分）如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：AB=AD；
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵点E是BC的中点，AE⊥BC，
∴AB=AC，
∵点F是CD的中点，AF⊥CD，
∴AD=AC，
∴AB=AD．
（2）∴∠EAF=∠BAE+∠DAF．
证明∵由（1）知AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．
∵AE⊥BC，（已知），
∴∠BAE=∠EAC（等腰三角形的三线合一）．
同理，∠CAF=∠DAF．
∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=∠BAE+∠DAF．
24．（10.00分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
【解答】证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，
在△BAE与△CDE中，
，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE；
（2）延长CD和BE的延长线交于H，
∵BF⊥CD，∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°
∴∠EBF=∠ECH，
又∵∠BEC=∠CEH=90°，
BE=CE（已证），
∴△BEG≌△CEH，
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE（已证），
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
又∵EG=EH（已证），ED=ED，
∴△GED≌△HED，
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD．
五、解答题（25题12分，26题12分．共24分）
25．（12.00分）请阅读下列材料：
已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45度．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【解答】（1）猜想：DE2=BD2+EC2，
证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B2+BD2=E′D2，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
∴△AE′D≌△AED，
∴DE=DE′，
∴DE2=BD2+EC2．
（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，
∠AFD=∠ABD=180°﹣∠ABC=135°，
∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=135°﹣45°=90°，
∴在Rt△DFE中，
DF2+FE2=DE2，
即DE2=BD2+EC2．
26．（12.00分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】
几何最值模型：
图形特征：
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
E
M F
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

A
3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。

（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

B
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3
OA=，4
OB=，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且2
EF=，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.。