北师大版八年级上册数学 轴对称解答题专题练习(解析版)

北师大版八年级上册数学轴对称解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．

（1）求证：△DCE为等腰三角形；

（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；

（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（22

；（3）CE＝2GH，理由见解析.

【解析】【分析】

（1）根据题意可得∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝

1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝

1

2

∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角

形；

（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；

（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣

（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，即CE=2GH

【详解】

证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，

∵BD＝DE，

∴∠DBC＝∠E＝1

2

∠ACB，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝1

2

∠ACB＝∠E，

∴CD＝CE，

∴△DCE是等腰三角形

（2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，

∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，

∴∠HDC＝∠DCH＝45°

∴DH＝CH，

∵DH2+CH2＝DC2＝2，

∴DH＝CH＝1，

∵∠ABC＝∠DCH＝45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

又∵点G是BC中点

∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，

∵BD＝DE，DH⊥BC

∴BH＝HE2+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1

∴GH＝

2 2

（3）CE＝2GH

理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，

∵BD＝DE，DH⊥BC，

∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，

∴CE＝2GH

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

2．如图，在ABC

△中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC

=，延长BE交AC于点F，求证：AF EF

=．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG

，结合D是BC的中点，易证△ADC和

△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.

【详解】

如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG．

∵AD是BC边上的中线，

∴DC DB

=．

在ADC和GDB

△中，

AD DG

ADC GDB

DC DB

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

（对顶角相等），

∴ADC≌GDB

△（SAS）．

∴CAD G

∠=∠，BG AC

=．

又BE AC

=，

∴BE BG

=．

∴BED G

∠=∠．

∵BED AEF

∠=∠

∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠ ∴AF EF =． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.

3．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以

B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不

变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1

2

(EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】

（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；

（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1

2

(EM-ON).

【详解】

（1）如图（1）作CQ⊥OA于Q,

∴∠AQC=90°,

△为等腰直角三角形，

∵ABC

∴AC=AB,∠CAB=90°,

∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

?(AAS),

∴AQC BOA

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,

∴∠BPD=90°,

△是等腰直角三角形，

∵ABD

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

?

∴AOB BPD

∴AO=BP,

∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()

23,0-, ∴OA=23, ∴m+n=23,

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23, ∴整式2253m n +-的值不变为3-. （3）()1

2

EN EM ON =

- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.

∵OBM 为等边三角形，

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°, ∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°, ∵OE=OB, ∴OE=OM=BM, ∴∠3=∠EMO=15°, ∴∠BEM=30°,∠BME=45°, ∵OF⊥EB, ∴∠EOF=∠BME, ∴ENO BGM ?, ∴BG=EN, ∵ON=MG, ∴∠2=∠3, ∴∠2=15°, ∴∠EBG=90°,

∴BG=12EG, ∴EN=12

EG,

∵EG=EM-GM, ∴EN=

1

2

(EM-GM),

∴EN=

1

2(EM-ON). 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.

4．如图，在等边ABC ?中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以

CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ?，连结BE ． （1）求CAM ∠的度数；

（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ???；

（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=?. 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，

60ACB DCE ∠=∠=?，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ???；

（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ???，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ???而有

30CBE CAD ∠=∠=?而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ???同样可以得出结论． 【详解】

（1）ABC ?是等边三角形， 60BAC ∴∠=?．

线段AM 为BC 边上的中线，

1

2

CAM BAC ∴∠=∠，

30CAM ∴∠=?．

（2）ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?， ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠， ACD BCE ∠∠∴=． 在ADC ?和BEC ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

， ()ACD BCE SAS ∴???；

（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=?， 理由如下：

①当点D 在线段AM 上时，如图1，

由（2）可知ACD BCE ???，则30CBE CAD ∠=∠=?， 又60ABC ∠=?，

603090CBE ABC ∴∠+∠=?+?=?，

ABC ?是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线

AM ∴平分BAC ∠，即11

603022BAM BAC ∠=∠=??=?

903060BOA ∴∠=?-?=?．

②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，

ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?，

ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠， ACD BCE ∠∠∴=， 在ACD ?和BCE ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

， ()ACD BCE SAS ∴???，

30CBE CAD ∴∠=∠=?，

同理可得：30BAM ∠=?， 903060BOA ∴∠=?-?=?．

③当点D 在线段MA 的延长线上时，

ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?， 60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=?， ACD BCE ∠∠∴=， 在ACD ?和BCE ?中

AC BC

ACD BCE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

()

ACD BCE SAS

∴???，

CBE CAD

∴∠=∠，

同理可得：30

CAM

∠=?

150

CBE CAD

∴∠=∠=?

30

CBO

∴∠=?，

∵30

BAM

∠=?，

903060

BOA

∴∠=?-?=?．

综上，当动点D在直线AM上时，AOB

∠是定值，60

AOB

∠=?．

【点睛】

此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.

5．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．

⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；

⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；

⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．

【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论； （3）设

∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论． 【详解】

解： (1)∵∠B=∠C=35°， ∴∠BAC=110° ， ∵∠BAD=80°, ∴∠DAE=30°， ∵AD=AE ，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°； (2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ， ∴∠E=75°?18°=57°， ∴∠ADE=∠AED=57°， ∴∠ADC=39°,

∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ， ∴∠BAD=36°.

（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β ①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α

∴y x y x ααβ=+??=-+?

①②

-②得，2α﹣β=0， ∴2α=β；

②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α ∴+y x y x ααβ=+??

=+?

①

②

-①得，α=β﹣α， ∴2α=β；

③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α ∴180180y x y x αβα-++=??

++=?①

②

-①得，2α﹣β=0，

∴2α=β．

综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

6．如图，ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD AE =，连接DE ．

（1）如图①，若35B C ∠=∠=?，80BAD ∠=?，求CDE ∠的度数； （2）如图②，若75ABC ACB ∠=∠=?，18CDE ∠=?，求BAD ∠的度数；

（3）当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)40°；（2）36°；（3）∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ． 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；

（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D 在线段BC 上时，

∠ADC=y°+α，③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论． 【详解】

(1)∵∠B=∠C=35°， ∴∠BAC=110°，

∵∠BAD=80°, ∴∠DAE=30°， ∵AD=AE ，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°； (2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°， ∴∠E=75°?18°=57°， ∴∠ADE=∠AED=57°， ∴∠ADC=39°,

∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°， ∴∠BAD=36°.

（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β ①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α ∴y x a y x a β?=+?

=-+?①

②

，①-②得，2α﹣β=0，

∴2α=β；

②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α

∴y x a y a x β?=+?+=+?

①②，②-①得，α=β﹣α，

∴2α=β；

③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α

∴180180y a x x y a β??

?-++=?++=?

①②，②-①得，2α﹣β=0， ∴2α=β．

综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．

【点睛】

考核知识点：等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类讨论分析问题是关键．

7．如图，在ABC ?中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D

（1）若9628BAC B ??∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度 （2）若2ACB B ∠=∠， ①求证：2AB CF =

②若

,CF a EF b ==，直接写出BD

CD

= （用含

,a b 的式子表示）

【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b

a b

- 【解析】 【分析】

（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；

（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则

,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，

由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；

②证明AHF DCF ?，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由

//AH BC 得出

AH AE a b

BC BE a b

-==+，进而得出结论． 【详解】

解：（1）∵9628BAC B ??∠=∠=，， ∴180962856ACB ∠=?-?-?=?， ∵CE 为三角形的角平分线， ∴1

282

ACE ACB ∠=

∠=?， ∵AD CE ⊥，

∴902862CAF ∠=?-?=?， ∴966234BAD ∠=?-?=?． 故答案为：34；

（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠ ∴B BCE ∠=∠ ∴BE CE =

过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：

则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠ ∴AH=AC ，H EAH ∠=∠ ∴AE=HE ∵AD CE ⊥ ∴HF=CF ∴AB=HC=2CF ；

②在AHF △和DCF 中，

H DCF HF CF

AFH DFC ∠=∠??

=??∠=∠?

∴AHF DCF ? ∴AH=DC

∵

,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+ ∵ //AH BC ∴AH AE a b

BC BE a b -==+ ∴CD a b

BC a b -=+ ∴

2BD b

CD a b

=-． 故答案为：2b

a b

-． 【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．

8．如图，已知ABC ?()AB AC BC <<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

?沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点（1）在边BC上找一点M，使得：将ABC

C能重合，请在图①中作出点M；

?沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在（2）在边BC上找一点N，使得：将ABC

⊥，请在图②中作出点N.

边AC上的点D处，且ND AC

【答案】（1）见详解；（2）见详解．

【解析】

【分析】

（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；

（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．

【详解】

（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：

（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：

【点睛】

本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．

9．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；

（3）连结CE ，写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE ＋AE ＝BE ． 【解析】 【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据轴对称的性质可得AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，即可得AB ＝AD ，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数； （3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ． 【详解】 (1)如图：

（2）在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°

由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ， ∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠D ∵∠PAC ＝20° ∴∠PAD ＝20°

∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°

()

1

180402

D BAD ??∴∠=

-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60° （3）CE ＋AE ＝BE ．

在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，

在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°

由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ， 设∠EAC ＝∠DAE ＝x ． ∵AD ＝AC ＝AB ，

∴()

1

1802602

D BAC x x ??∠=

-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°．

∴△AME 为等边三角形． ∴AM=AE ，∠MAE=60°， ∴∠BAC=∠MAE=60°， 即可得∠BAM=∠CAE. 在△AMB 和△AEC 中，

AB AC BAM CAE AM AE =??

∠=∠??=?

， ∴△AMB ≌△AEC . ∴CE ＝BM . ∴CE ＋AE ＝BE ． 【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE 转化到BE 上，再证明CE ＝BM 即可得结论．

10．探究题：如图，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，且BC ＝5cm ，AB ＝1cm ，点P 是线段BC （不与点B 、C 重合）上的动点，过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连结AD ．

（1）如图1，若BP ＝4cm ，则CD ＝ ；

（2）如图2，若DP 平分∠ADC ，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由； （3）若△PDC 是等腰三角形，则CD ＝ cm ．（请直接写出答案） 【答案】（1）4cm ；（2）PB ＝PC ，理由见解析；（3）4 【解析】 【分析】

（1）根据AAS 定理证明△ABP ≌△PCD ，可得BP ＝CD ；

（2）延长线段AP 、DC 交于点E ，分别证明△DPA ≌△DPE 、△APB ≌△EPC ，根据全等三角形的性质解答；

（3）根据等腰直角三角形的性质计算． 【详解】

解：（1）∵BC ＝5cm ，BP ＝4cm ， ∴PC ＝1cm ， ∴AB ＝PC ， ∵DP ⊥AP ， ∴∠APD ＝90°， ∴∠APB +∠CPD ＝90°，

∵∠APB +∠CPD ＝90°，∠APB +∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠CPD ， 在△ABP 和△PCD 中，

B C BAP CPD AB PC ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ABP ≌△PCD ， ∴BP ＝CD ＝4cm ； （2）PB ＝PC ，

理由：如图2，延长线段AP 、DC 交于点E ，

∵DP 平分∠ADC ， ∴∠ADP ＝∠EDP ． ∵DP ⊥AP ，

∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°， 在△DPA 和△DPE 中，

ADP EDP DP DP

DPA DPE ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ）， ∴PA ＝PE ． ∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ， ∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠． 在△APB 和△EPC 中，

ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠??

∠=??=?

， ∴△APB ≌△EPC （AAS ）， ∴PB ＝PC ；

（3）∵△PDC 是等腰三角形，

∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°， 又∵DP ⊥AP ， ∴∠APB ＝45°， ∴BP ＝AB ＝1cm ， ∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ， ∴CD ＝CP ＝4cm ， 故答案为：4． 【点睛】

本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.