排列组合经典例题总结

练习3
马路上有编号为1、2、3…9的九盏路灯， 为节约用电，现要求把其中3盏灯关掉， 但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关 掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法 有多少种。
不同的关灯方法有：
C = 10（种）
3 5
四.定序问题缩倍(空位.插入)策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 多少种不同的排法. 解:(缩倍法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是： 3 A3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 4 A 的四人就坐共有 7 种方法，其余的三个 4 位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有 A7 种 方法 思考:能否让甲乙丙先坐?
2 5 3 1 4
解：分两类完成 1 ）用3种颜色涂色有： C A
1 2 3 4 3 3 1 2 4 4 3 4 3 3 4 4
2）用4种颜色涂色有： C A
定 义
相同点 不同点
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成 间接（分步骤）完成
排列和组合的区别和联系：
名称 定义 排 列 组 合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
种数
符号 计算 公式 关系 性质
所有排列的的个数
所有组合的个数
m Cn
m + 1)
0 Cn =1
A
Cnm = Cnn- m ， Cnm+ 1 = Cnm + Cnm- 1
一.特殊元素和特殊位置优先策略
Leabharlann Baidu
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 排这两个位置. 1 题最常用也是最基本的方法 ,若以元素分析 C3 先排末位共有___ 1 C4 ,再处理其它元素. 为主 ,需先安排特殊元素 然后排首位共有 ___ 3 1 若以位置分析为主 ,需先满足特殊位置的要 最后排其它位置共有 ___ A4 A3 C C1
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用缩倍法，还可转化为插 空模型处理
练习题4
10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少种排法？
C C
10
5
5 5
五.多排问题直排策略 例5.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.2 先在前4个位置排甲乙两 A4 种,再排后4个位置上的 个特殊元素有____ 1 特殊元素有_____ 5个位置 A4 种,其余的5人在 2 1 5 5 A A 上任意排列有____ 4A A5 种,则共有_________ 4 5 种.
邻的元素合并为一个元素,再与其它元
甲乙 丙丁
素一起作排列,同时要注意合并元素内 5 2 2 A A 由分步计数原理可得共有 A 2 2 =480 5 部也必须排列.
种不同的排法
练习2 七个家庭一起外出旅游，若其中四 家是男孩，三家是女孩，现将这七个小 孩站成一排照相留念。若三个女孩要站 在一起，四个男孩也要站在一起，共有 多少种不同的排法？
成4份但盒子又不能空
解： 7个小球有 6个空隙有不同方法数 C
3 6
2.组图形问题
练习3：四面体的一个顶点是A，从其它顶点 和各棱中点中取3个点，使他们和点A在同一 个平面上，则共有多少种不同的取法？
解： 3C 3
3 5
2.组图形问题 练习4：用正方体的8个顶点共可 以组成多少个不同的四面体？
解： (C C ).C (C C ).C C .C
2 1 2 3 3 5 1 2 2 3 3 4 3 3
3 3
4.涂色问题 例 10：给下面的 5个行政区域涂色，要 练习 7：用4种颜色给下面的 5个行政区 求相邻区域不同色，现有 4种颜色可供 域涂色，要求相邻区域不同色，问共 选择，问共有多少种不同的涂色方案？ 有多少种不同的涂色方案？
知识结构网络图：
排列
基 本 原 理
排列数公式
组合数公式 组合
应 用 问 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类 办法，第i类办法中有mi种不同 的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的 方法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有 N=m1· m2 · m3·…·mn 种不同的 方法.
不同的排法有： （种） A 鬃 A A = 288
2 2 3 3 4 4
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 5 第二步将4舞蹈插入第一步排 有 A5 种，
好的5个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法 由分步计数原理,节目的 5 4 不同顺序共有A5 A6 种 元素相离问题 ,可先把没有位置要求的元素进 相 独 独 独 相 行排队,再把不相邻元素插入中间和两端.
C C 3 解：C ( ). A 3 2 A2
2 8
3 6
3 3
分配问题
练习1
（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社 会公益活动，若每天安排3人，者有多少种不同的安 排方法？
解 1 ：C C
3 7 3 4
3 7
3 4
C C 2 解2： ( ). A 2 2 A2
分配问题
练习1： （8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每 个班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有多少？
m Cn =
A
m An
m n
Anm n(n 1) (n m 1)
A = C m m- 1 An = nAn- 1
n! n A (n m)! n = n! m n
m C 0! = 1 n = m !(n - m)! m m n m
n(n - 1) 鬃 ?(n n! m!
解2：C .C .C .C A 3360
1 20 1 18 1 16 1 14 4 4
解：C .C C C 1140
1 10 2 9 1 2 1 2
3.选人问题
练习6：8名外交工作者，其中3人只会英语， 2人只会日语，3人既会英语又会日语，现从 则8人中选3个会英语，3个会日语的人去完成 一项任务，有多少种不同的选法？
1个空隙中，所有分法数为 Cn- 1
一 班 二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
练习题7 有编号为1、2、3的3个盒子和10个相 同的小球，现把这10个小球全部装入3 个盒子中，使得每个盒子所装球数不 小于盒子的编号数，这种装法共有多 少种?
C = 15
2 6
八.正难则反间接法 例8. 四面体的顶点和各棱中点共10个点， 从中取4个不共面的点，不同的取法有 多少种？
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑 , 再分段研究 . 前排 后排
练习题5
10名学生分坐两行，要求面对面坐下， 但其中甲乙两位同学不可相邻也不可面 对面，有多少种坐法？
(1)甲在两端： C C A
1 6 1 6 1 4 1 7 8 8 8 8
(2)甲不在两端： C C A
1 4 1 7 8 8 1 6
3 4 共有A5 A4 种不同的排法 2 种排法 解二：第一步由葵花去占位： 有A4 5 第二步由其余元素占位： 有A5 种排法 2 5 共有A4 A5 种不同的排法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 要求某几个元素必须排在一起的问题, 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
C - 12 = 58
4 8
解排列组合题的常用方法
1.特殊元素优先考虑 2.不相邻问题插空法 3. 相邻问题捆绑法 4. 定序问题缩倍法 5.多排问题直排法 6.排列组合混合题先选后排法 7.相同元素分配问题隔板法 8.正难则反间接法
第2课时 排列组合综合应用
2 4 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 5 A4
C
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.
练习题6
某种产品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰 好在第五次测试中被发现的不同情况有多少 种？
C C A = 576
练习1.
1.分配问题
5 （1）6本不同的书分给5名同学每 6 人一本，有多少种不同分法？ （2）5本相同的书分给6名同学每人至 多一本，有多少种不同的分法？
A
C
5 6
（3）6本不同的书全部分给5名 同学每人至少一本，有多 少种不同的分法？
C A
捆绑法
2 6
5 5
分配问题
练习1 （4）6本不同的书分给3名同学，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少种不同的分法？
C C 3 解： ( ). A 90 3 2 A2
2 5
2 3
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不 同的盒子中，共有多少种不同的方法？ 解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解： 小球数 隔板数 7 3 10
3 10
共有不同方法数 C
分配问题 隔板法 练习2： （2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？ 解：将7个小球用3块隔板分
3 4
1 6
4 4
七.相同元素分配问题隔板策略 例7.有10个三好学生名额，分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 将n个相同的元素分成m份（n，m为正 在９个空档中选６个位置插个隔板， 整数） ,每份至少一个元素,可以用m可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 1块隔板，插入 n 6个元素排成一排的nC9 共有___________ 种分法。 m- 1
捆绑法
解：C C C
1 6
2 5
3 3
（5）6本不同的书分给甲、乙、丙3名同学 每人两本，有多少种不同分法？
C C C 2 解 2 2： 2 3 解1 ：C C C ( ).A3
2 6 2 4 2 2
注：C6 C4 C2 均分有序 A
2 6
2 4 3 3
2 2
分配问题
练习1 （6）8本不同的书分给3名同学，其中1名同 学2本、另两人3本，有多少种不同分法？
共有 C C A + C C A
1 6
8 8
六.排列组合混合问题先选后排策略 例6.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 2 有C __ 5 种方法.再把5个元素(包含一个复合 4 元素)装入4个不同的盒内有_____ A4 种方法.
1 1 A3 求, 再处理其它位置。 由分步计数原理得 C3 C4 4 =288
4
4
3
练习1
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成； 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 3 第二步排其余的位置：有A 4 有A5 种排法 4种排法
解：C (6C 4 2)
4 8 4 4
练习5：10双不相同的鞋子混装在一 只口袋中，从中任取4只，试求符合 下列各种情形的方法数？ 2 （1）4只鞋子恰成两双； 解：C10 (2)4只鞋子没有成双； 先成双后成单 (3)4只鞋子恰有2只成双；
解1 ：C .C C C C 3360
4 10 1 2 1 2 1 2 1 2
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出的4点共面有三类： 4 （1）过四面体的一个面有4C6 种； （2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱 的中点的平面有6种； （3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平 行的平面有3种； 4 4 故取4个不共面的点有 C10 - (4C6 + 6 + 3) = 141